Permutări: compunere, inversă, inversiuni, semn

Permutările de grad n, compunerea și inversa, ecuațiile și puterile în Sₙ, inversiunile, semnul (signatura) și transpozițiile, cu toate calculele verificate prin enumerare completă în S₃ și S₄.

20 min
La BAC: Subiectul al II-lea (1) · Subiectul al II-lea (2)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
σ∘τ: aplici întâi τ, apoi σ (de la dreapta la stânga). În general σ∘τ ≠ τ∘σ.
Truc: Ca la funcții: f(g(x)) înseamnă întâi g.
02
Inversa: întorci tabelul (linia de jos devine sus) și reordonezi coloanele după 1, 2, ..., n.
03
Inversiune = pereche i < j cu σ(i) > σ(j). Le numeri pe rând: pentru fiecare poziție, câte numere mai mici sunt în dreapta ei.
04
ε(σ) = (−1)^m(σ); ε(σ∘τ) = ε(σ)·ε(τ), deci produsul a două impare e par.
05
Transpoziția e mereu impară; o permutare scrisă ca produs de k transpoziții are semnul (−1)^k.
06
σ²⁰²⁶: găsești ordinul k (cel mai mic cu σᵏ = e) și reduci exponentul: σ²⁰²⁶ = σ^(2026 mod k).
07
σ∘x = τ ⇒ x = σ⁻¹∘τ; x∘σ = τ ⇒ x = τ∘σ⁻¹: inversa stă lângă σ, ca la matrice.

1 din 9

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

O permutare de grad n este o funcție bijectivă $σ : {1, 2, \dots, n} \to {1, 2, \dots, n}$ ; mulțimea lor, $S_{n}$ , are $n!$ elemente.
Compunerea $σ \circ τ$ se citește de la dreapta: $(σ \circ τ) (k) = σ (τ (k))$ . Este asociativă, are elementul neutru $e$ , fiecare permutare are inversă, dar pentru $n \geq 3$ nu este comutativă.
Ecuații: $σ \circ x = τ \Rightarrow x = σ^{- 1} \circ τ$ ; $x \circ σ = τ \Rightarrow x = τ \circ σ^{- 1}$ .
Puteri: dacă $σ^{k} = e$ , exponenții se reduc modulo $k$ .
Inversiune: $i < j$ cu $σ (i) > σ (j)$ ; semnul $ε (σ) = (- 1)^{m (σ)}$ .
$ε (σ \circ τ) = ε (σ) ε (τ)$ ; orice transpoziție este impară.

Permutări de grad n

1 min

O permutare $σ \in S_{n}$ se scrie ca tabel cu două linii: pe prima linie $1, 2, \dots, n$ , pe a doua imaginile:

σ = (12243143) \overset{ı}{ˆ} nseamn \overset{a}{˘} σ (1) = 2, σ (2) = 4, σ (3) = 1, σ (4) = 3

Pe linia a doua apare fiecare număr de la 1 la $n$ exact o dată (bijecție). Numărul permutărilor de grad $n$ este $n! = 1 \cdot 2 \dots n$ (lecția despre metode de numărare): $S_{3}$ are 6 elemente, $S_{4}$ are 24.

Permutarea identică $e$ are $e (k) = k$ pentru orice $k$ . Două permutări sunt egale dacă au aceeași a doua linie.

Compunerea permutărilor

2 min

Pentru $σ, τ \in S_{n}$ , compusa $σ \circ τ$ (scrisă și $σ τ$ ) este permutarea $(σ \circ τ) (k) = σ (τ (k))$ : întâi $τ$ , apoi $σ$ .

Exemplul 1. Două compuneri diferite

$σ = (12243143)$ , $τ = (11233442)$ .

$(σ \circ τ) (1) = σ (1) = 2$ , $(σ \circ τ) (2) = σ (3) = 1$ , $(σ \circ τ) (3) = σ (4) = 3$ , $(σ \circ τ) (4) = σ (2) = 4$ , iar în cealaltă ordine $(τ \circ σ) (1) = τ (2) = 3$ , $(τ \circ σ) (2) = τ (4) = 2$ , $(τ \circ σ) (3) = τ (1) = 1$ , $(τ \circ σ) (4) = τ (3) = 4$ :

σ \circ τ = (12213344) \neq = τ \circ σ = (13223144)

Proprietăți (verificate pe toate perechile din $S_{3}$ și $S_{4}$ ):

asociativitate: $(σ \circ τ) \circ π = σ \circ (τ \circ π)$ ;
element neutru: $σ \circ e = e \circ σ = σ$ ;
fiecare $σ$ are o inversă $σ^{- 1}$ (secțiunea 3);
pentru $n \geq 3$ compunerea nu este comutativă (Exemplul 1).

Cu aceste proprietăți, $(S_{n}, \circ)$ este un grup, grupul permutărilor de grad $n$ (lecția despre grupuri, Subiectul al II-lea, problema 2).

Permutarea inversă și ecuații în Sₙ

2 min o întrebare la final

Inversa lui $σ$ este permutarea $σ^{- 1}$ cu $σ \circ σ^{- 1} = σ^{- 1} \circ σ = e$ : dacă $σ (i) = j$ , atunci $σ^{- 1} (j) = i$ . Practic, schimbi liniile tabelului și reordonezi coloanele.

Exemplul 2. Inversa și două ecuații

Pentru $σ$ din Exemplul 1: $σ (1) = 2$ , $σ (2) = 4$ , $σ (3) = 1$ , $σ (4) = 3$ , deci $σ^{- 1} (2) = 1$ , $σ^{- 1} (4) = 2$ , $σ^{- 1} (1) = 3$ , $σ^{- 1} (3) = 4$ :

σ^{- 1} = (13213442)

a) $σ \circ x = τ$ . Compunând la stânga cu $σ^{- 1}$ : $x = σ^{- 1} \circ τ$ , adică $x (1) = σ^{- 1} (1) = 3$ , $x (2) = σ^{- 1} (3) = 4$ , $x (3) = σ^{- 1} (4) = 2$ , $x (4) = σ^{- 1} (2) = 1$ :

x = (13243241)

b) $y \circ σ = τ$ . Compunând la dreapta cu $σ^{- 1}$ : $y = τ \circ σ^{- 1}$ , adică $y (1) = τ (3) = 4$ , $y (2) = τ (1) = 1$ , $y (3) = τ (4) = 2$ , $y (4) = τ (2) = 3$ :

y = (14213243)

Soluțiile sunt unice și diferite între ele; verificare: $σ \circ x = τ$ și $y \circ σ = τ$ .

Cum rezolvi σ∘x = τ în Sₙ?

Puterile unei permutări

2 min

$σ^{1} = σ$ , $σ^{k + 1} = σ^{k} \circ σ$ , $σ^{0} = e$ . Cel mai mic $k \geq 1$ cu $σ^{k} = e$ se numește ordinul lui $σ$ ; atunci $σ^{k q + r} = (σ^{k})^{q} \circ σ^{r} = σ^{r}$ .

Exemplul 3. σ la puterea 2026

Pentru $σ$ din Exemplul 1:

σ^{2} = (14233241), σ^{3} = (13213442), σ^{4} = e

Cum $2026 = 4 \cdot 506 + 2$ , $σ^{2026} = (σ^{4})^{506} \circ σ^{2} = σ^{2}$ . (Observă și că $σ^{3} = σ^{- 1}$ , pentru că $σ^{3} \circ σ = e$ .)

Inversiuni și semnul unei permutări

5 min o întrebare la final

Inversiune a lui $σ \in S_{n}$ este o pereche $(i, j)$ cu $1 \leq i < j \leq n$ și $σ (i) > σ (j)$ . Numărul inversiunilor se notează $m (σ)$ , iar semnul (signatura) este

ε (σ) = (- 1)^{m (σ)} = 1 \leq i < j \leq n \prod \frac{σ ( i ) - σ ( j )}{i - j}

$σ$ este pară dacă $ε (σ) = 1$ și impară dacă $ε (σ) = - 1$ .

Cum numeri repede: pe a doua linie, pentru fiecare număr, câte numere mai mici stau la dreapta lui; aduni.

Exemplul 4. Inversiuni și semn

Pentru $σ$ (linia a doua $2, 4, 1, 3$ ): la dreapta lui 2 e un număr mai mic (1); la dreapta lui 4, două (1 și 3); la dreapta lui 1, niciunul. Inversiunile sunt $(1, 3)$ , $(2, 3)$ , $(2, 4)$ , deci $m (σ) = 3$ și $ε (σ) = - 1$ : $σ$ este impară.

Pentru $τ$ (linia a doua $1, 3, 4, 2$ ): inversiunile sunt $(2, 4)$ și $(3, 4)$ , $m (τ) = 2$ , $ε (τ) = 1$ : $τ$ este pară.

Control cu proprietatea semnului: $ε (σ \circ τ) = (- 1) \cdot 1 = - 1$ , iar $σ \circ τ$ (linia a doua $2, 1, 3, 4$ ) are o singură inversiune.

Fiecare încrucișare e o inversiune

Săgețile arată σ din Exemplul 1. Ele se încrucișează de trei ori, deci m(σ) = 3 și σ este impară.

123

(identica)

m(\sigma)

\varepsilon(\sigma)

Inversa (a doua linie)

123

132

m(\sigma)

\varepsilon(\sigma)

−1

Inversa (a doua linie)

132

213

m(\sigma)

\varepsilon(\sigma)

−1

Inversa (a doua linie)

213

231

m(\sigma)

\varepsilon(\sigma)

Inversa (a doua linie)

312

312

m(\sigma)

\varepsilon(\sigma)

Inversa (a doua linie)

231

321

m(\sigma)

\varepsilon(\sigma)

−1

Inversa (a doua linie)

321

1 / 6

Permutarea din $S_{3}$ (a doua linie)	$m (σ)$	$ε (σ)$	Inversa (a doua linie)
$123$ (identica)	0	1	$123$
$132$	1	−1	$132$
$213$	1	−1	$213$
$231$	2	1	$312$
$312$	2	1	$231$
$321$	3	−1	$321$

Proprietăți (verificate prin enumerare completă în $S_{3}$ , $S_{4}$ și $S_{5}$ ):

$ε (σ \circ τ) = ε (σ) \cdot ε (τ)$ și $ε (σ^{- 1}) = ε (σ)$ (chiar $m (σ^{- 1}) = m (σ)$ );
$0 \leq m (σ) \leq \frac{n ( n - 1 )}{2}$ ; $m = 0$ doar pentru $e$ , iar maximul doar pentru permutarea cu a doua linie $n, n - 1, \dots, 1$ ;
pentru $n \geq 2$ , exact jumătate din permutări, adică $\frac{n !}{2}$ , sunt pare.

Câte inversiuni are permutarea n, n − 1, ..., 1?

Transpoziții

2 min o întrebare la final

Pentru $i \neq = j$ , transpoziția $τ_{ij}$ schimbă $i$ cu $j$ și lasă celelalte numere pe loc. De exemplu, în $S_{4}$ , $τ_{24} = (11243342)$ .

$τ_{ij} \circ τ_{ij} = e$ , deci $τ_{ij}^{- 1} = τ_{ij}$ ;
pentru $i < j$ , $τ_{ij}$ are $2 (j - i) - 1$ inversiuni, deci orice transpoziție este impară;
orice permutare se scrie ca produs (compunere) de transpoziții; dacă sunt $k$ factori, $ε (σ) = (- 1)^{k}$ .

Exemplul 5. Descompunere în transpoziții

Pentru $σ$ din Exemplul 1, $σ = τ_{13} \circ τ_{14} \circ τ_{12}$ . Verificare (de la dreapta): $1 \to 2 \to 2 \to 2$ , $2 \to 1 \to 4 \to 4$ , $3 \to 3 \to 3 \to 1$ , $4 \to 4 \to 1 \to 3$ , adică exact $σ (1) = 2$ , $σ (2) = 4$ , $σ (3) = 1$ , $σ (4) = 3$ . Trei transpoziții: $ε (σ) = (- 1)^{3} = - 1$ , la fel ca din numărarea inversiunilor.

Toate exemplele au fost recalculate cu un program, iar proprietățile au fost verificate pe toate elementele din $S_{3}$ , $S_{4}$ și $S_{5}$ .

Ce semn are o transpoziție?

Ce se cere la BAC

2 mincum apare la examen

Unde stă tema: programa de clasa a XI-a (capitolul de calcul matriceal) și grupul $(S_{n}, \circ)$ din clasa a XII-a, deci la Subiectul al II-lea, problema 1 sau 2.
Cerințe tipice: compunerea a două permutări din $S_{3}$ sau $S_{4}$ , inversa, o ecuație $σ \circ x = τ$ , o putere mare ( $σ^{2026}$ ), numărul de inversiuni și semnul, verificarea că o mulțime de permutări e închisă la compunere.
Frecvență reală: în cele 17 lucrări M_mate-info din 2024–2026 (modele, simulări, sesiuni speciale, iunie, rezerve, august) nu a apărut niciun item cu permutări. Tema rămâne în programă, deci poate apărea; lecția e scurtă tocmai ca să fie recuperată rapid.
Redactare: la compunere scrii valorile pe rând ( $(σ \circ τ) (1) = σ (τ (1)) = \dots$ ); la puteri, toate puterile până la $e$ și împărțirea cu rest a exponentului.

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Ordinea la compunere: $σ \circ τ$ înseamnă întâi $τ$ .
Inversa necitită corect: trebuie reordonate coloanele după prima linie.
Inversiuni numărate pe poziții în loc de valori, sau perechi numărate de două ori.
Ecuația $x \circ σ = τ$ rezolvată ca $σ^{- 1} \circ τ$ : inversa se pune pe partea lui $σ$ .
Exponentul redus greșit: $σ^{2026} = σ^{r}$ cu $r$ restul împărțirii la ordinul lui $σ$ , nu la $n$ .

Termeni-cheie

Permutare de grad n: Funcție bijectivă σ : {1, 2, ..., n} → {1, 2, ..., n}; se scrie ca tabel cu două linii: sus 1, 2, ..., n, jos σ(1), σ(2), ..., σ(n).
Mulțimea Sₙ: Mulțimea tuturor permutărilor de grad n; are n! elemente (S₃ are 6, S₄ are 24).
Permutarea identică e: Permutarea cu e(k) = k pentru orice k; element neutru la compunere: σ∘e = e∘σ = σ.
Compunerea σ∘τ: (σ∘τ)(k) = σ(τ(k)): se aplică întâi τ, apoi σ. Este asociativă, dar pentru n ≥ 3 nu este comutativă.
Permutarea inversă σ⁻¹: Permutarea cu σ∘σ⁻¹ = σ⁻¹∘σ = e; se obține schimbând liniile tabelului și reordonând coloanele după linia de sus.
Inversiune: Pereche (i, j) cu i < j și σ(i) > σ(j).
Numărul de inversiuni m(σ): Câte inversiuni are σ; 0 doar pentru e și maxim n(n − 1)/2, doar pentru permutarea n, n − 1, ..., 1.
Semnul (signatura) ε(σ): ε(σ) = (−1) la puterea m(σ); ε(σ) = 1: permutare pară, ε(σ) = −1: permutare impară.
Proprietatea semnului: ε(σ∘τ) = ε(σ)·ε(τ) și ε(σ⁻¹) = ε(σ), pentru orice σ, τ din Sₙ.
Transpoziția τᵢⱼ: Permutarea care schimbă i cu j (i ≠ j) și lasă restul pe loc; este impară și τᵢⱼ∘τᵢⱼ = e.
Ordinul unei permutări: Cel mai mic k ≥ 1 cu σᵏ = e; atunci σⁿ = σ la puterea restului împărțirii lui n la k.

Notițele mele

Salvat local

Pe scurt

Permutări de grad n

Compunerea permutărilor

Permutarea inversă și ecuații în Sₙ

Puterile unei permutări

Inversiuni și semnul unei permutări

Transpoziții

Ce se cere la BAC

Greșeli care costă puncte

Termeni-cheie

Notițele mele

Surse