Șiruri de numere reale: monotonie, mărginire, limite

Limita unui șir cu vecinătăți, șiruri convergente, teorema lui Weierstrass, limitele de referință (aⁿ, n la puterea α, numărul e), operațiile cu limite, criteriul cleștelui și cazurile exceptate la șiruri.

25 min
La BAC: Subiectul al III-lea (1) · Subiectul al III-lea (2), cerința c)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Monoton + mărginit ⇒ convergent (Weierstrass). Pentru un șir dat prin recurență: arăți monotonia, mărginirea, apoi treci la limită în relație.
02
aⁿ: tinde la 0 dacă |a| < 1, la 1 dacă a = 1, la +∞ dacă a > 1, nu are limită dacă a ≤ −1.
03
Polinom / polinom: compari gradele; la grade egale, limita = raportul coeficienților dominanți.
Truc: Câștigă termenul „cel mai gras”: cel de grad maxim.
04
∞ − ∞ cu radicali: amplifici cu conjugata. Exponențiale: dai factor comun pe cea cu baza cea mai mare.
05
1^∞: (1 + uₙ)^(1/uₙ) → e; în general, limita lui (1 + uₙ)^(vₙ) este e^(lim uₙ·vₙ).
06
Cleștele: încadrezi xₙ între două șiruri cu aceeași limită. La BAC închide aproape orice „lim Iₙ” de la integrale.

1 din 7

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

Un șir $(a_{n})$ are limita l dacă orice vecinătate a lui $l$ conține toți termenii, cu excepția unui număr finit. Limita, dacă există, este unică.
Convergent = limită finită. Orice șir convergent este mărginit.
Weierstrass: monoton și mărginit $\Rightarrow$ convergent.
Referințe: $a^{n}$ ; $n^{α}$ ; $(1 + 1/ n)^{n} \to e$ ; $(1 + u_{n})^{1/ u_{n}} \to e$ dacă $u_{n} \to 0$ , $u_{n} \neq = 0$ .
Operațiile cu limite funcționează când nu se ajunge la un caz exceptat ( $\infty - \infty$ , $0 \cdot \infty$ , $0/0$ , $\infty/\infty$ , $1^{\infty}$ , $\infty^{0}$ , $0^{0}$ ).
Criteriul cleștelui pentru încadrări.

Monotonie, mărginire, limită

7 min 3 întrebări la final

Monotonie. Studiezi semnul lui $a_{n + 1} - a_{n}$ sau, pentru termeni pozitivi, compari $a_{n + 1} / a_{n}$ cu 1.

Mărginire. Găsești $m$ , $M$ cu $m \leq a_{n} \leq M$ pentru orice $n$ (adesea prin inducție).

Limita cu vecinătăți. $a_{n} \to l$ dacă pentru orice vecinătate $V$ a lui $l$ există un rang $n_{V}$ de la care $a_{n} \in V$ . Pentru $l = + \infty$ , vecinătățile sunt intervale $(c, + \infty)$ .

Proprietatea lui Weierstrass. Orice șir monoton și mărginit este convergent. Un șir crescător și nemărginit superior are limita $+ \infty$ .

Șiruri date prin recurență (schema completă):

Mărginire
Prin inducție: de exemplu $0 < x_{n} < 2$ .
Monotonie
Semnul lui $x_{n + 1} - x_{n}$ , folosind mărginirea.
Convergență
Weierstrass: șirul are limita finită $l$ .
Calculul limitei
Treci la limită în relația de recurență și rezolvi ecuația în $l$ , păstrând soluția compatibilă cu mărginirea.

Exemplul 1. Șir dat prin recurență

$x_{1} = 1$ , $x_{n + 1} = 2 + x_{n}$ . Arătați că șirul este convergent și calculați limita.

Mărginire, prin inducție: $0 < x_{1} < 2$ ; dacă $0 < x_{n} < 2$ , atunci $x_{n + 1} = 2 + x_{n} < 4 = 2$ și $x_{n + 1} > 0$ .

Monotonie: $x_{n + 1}^{2} - x_{n}^{2} = 2 + x_{n} - x_{n}^{2} = (2 - x_{n}) (1 + x_{n}) > 0$ , deci $x_{n + 1} > x_{n}$ : șirul este crescător.

Fiind crescător și mărginit, este convergent; fie $l$ limita, $l \in [1, 2]$ . Trecând la limită: $l = 2 + l$ , adică $l^{2} - l - 2 = 0$ , cu soluțiile $- 1$ și $2$ . Rezultă l = 2.

Șirul urcă și se oprește sub 2

Fiecare termen e mai mare decât cel dinainte (crescător) și rămâne sub 2 (mărginit). Weierstrass spune că are limită, iar calculul arată că limita este 2.

Ce limită are 0,9ⁿ? Dar (−2)ⁿ?

Ce spune proprietatea lui Weierstrass?

Cât este limita lui ((n + 3)/(n + 1))ⁿ?

Limite de referință

4 min

ȘirulLimita

a^{n}

+ \infty

pentru

a > 1

;

1

pentru

a = 1

;

0

pentru

- 1 < a < 1

; nu are limită pentru

a \leq - 1

n^{α}

+ \infty

pentru

α > 0

;

1

pentru

α = 0

;

0

pentru

α < 0

(1 + 1/ n)^{n}

e

, aproximativ 2,718 (șir crescător și mărginit)

(1 + u_{n})^{1/ u_{n}}

, cu

u_{n} \to 0

u_{n} \neq = 0

e

Șirul	Limita
$a^{n}$	$+ \infty$ pentru $a > 1$ ; $1$ pentru $a = 1$ ; $0$ pentru $- 1 < a < 1$ ; nu are limită pentru $a \leq - 1$
$n^{α}$	$+ \infty$ pentru $α > 0$ ; $1$ pentru $α = 0$ ; $0$ pentru $α < 0$
$(1 + 1/ n)^{n}$	$e$ , aproximativ 2,718 (șir crescător și mărginit)
$(1 + u_{n})^{1/ u_{n}}$ , cu $u_{n} \to 0$ , $u_{n} \neq = 0$	$e$

Raport de polinoame în $n$ , cu coeficienții dominanți $a_{p}$ (sus, grad $p$ ) și $b_{q}$ (jos, grad $q$ ):

n \to \infty lim \frac{a _{p} n ^{p} + \dots + a _{0}}{b _{q} n ^{q} + \dots + b _{0}} = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{a _{p}}{b _{q}}, \pm \infty (semnul lui a_{p} / b_{q}), p < q p = q p > q

Operații și cazuri exceptate

3 min

Dacă $a_{n} \to a$ și $b_{n} \to b$ , atunci suma, diferența, produsul, câtul (cu $b \neq = 0$ ) și puterea au limita „naturală”, cu regulile din dreapta încheiată: $\infty + \infty = \infty$ , $a \cdot \infty = \pm \infty$ pentru $a \neq = 0$ , $a /\infty = 0$ etc. Cazurile $\infty - \infty$ , $0 \cdot \infty$ , $0/0$ , $\infty/\infty$ , $1^{\infty}$ , $\infty^{0}$ , $0^{0}$ sunt exceptate: expresia trebuie transformată.

Exemplul 2. Trei transformări tipice

a) Raport de polinoame, grade egale:

n \to \infty lim \frac{2 n ^{2} + 3 n}{n ^{2} + 1} = n \to \infty lim \frac{2 + \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n ^{2}}} = 2

b) $\infty - \infty$ cu radical, conjugata:

n \to \infty lim (n^{2} + n - n) = n \to \infty lim \frac{n}{n ^{2} + n + n} = n \to \infty lim \frac{1}{1 + \frac{1}{n} + 1} = \frac{1}{2}

c) Exponențiale, factor comun forțat cu baza cea mai mare:

n \to \infty lim \frac{3 ^{n} + 2 ^{n}}{3 ^{n + 1} - 2 ^{n}} = n \to \infty lim \frac{1 + ( \frac{2}{3} ) ^{n}}{3 - ( \frac{2}{3} ) ^{n}} = \frac{1}{3}

Exemplul 3. Cazul 1 la puterea infinit

n \to \infty lim (\frac{n + 3}{n + 1})^{n} = n \to \infty lim [(1 + \frac{2}{n + 1})^{\frac{n + 1}{2}}]^{\frac{2 n}{n + 1}} = e^{2}

pentru că $u_{n} = 2/ (n + 1) \to 0$ , paranteza mare tinde la $e$ , iar exponentul $2 n / (n + 1) \to 2$ . Analog, $(1 + 2/ n)^{n} \to e^{2}$ și $(n / (n + 1))^{n} \to 1/ e$ .

Criteriul cleștelui și aplicația de la integrale

4 min

Criteriul cleștelui. Dacă $a_{n} \leq x_{n} \leq b_{n}$ de la un rang încolo și $lim a_{n} = lim b_{n} = l$ , atunci $lim x_{n} = l$ . Variantă: dacă $x_{n} \geq b_{n}$ și $b_{n} \to + \infty$ , atunci $x_{n} \to + \infty$ .

BAC 2020, iunie–iulie, varianta 6, III.2.c (partea de limită)

Funcția și șirul din enunț, împreună cu majorarea folosită de barem pe intervalul $[0, 1]$ :

f (x) = \frac{x}{x ^{3} + 1}, I_{n} = \int_{0}^{1} f (x^{n}) d x, 0 \leq \frac{x ^{n}}{x ^{3 n} + 1} \leq x^{n}

de unde

0 \leq I_{n} \leq \int_{0}^{1} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1}

Cum $1/ (n + 1) \to 0$ , din criteriul cleștelui lim Iₙ = 0 (barem: 3p încadrarea, 2p concluzia).

Toate limitele au fost verificate numeric pentru valori mari ale lui $n$ .

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

III.2.c: „Demonstrați că $lim I_{n} = 0$ ” sau „ $= + \infty$ ”: încadrare + limită de referință (2020 iunie: majorantul $1/ (n + 1)$ ).
III.1 (rar): un șir definit cu ajutorul funcției, de exemplu prin recurență; se cer monotonia, mărginirea și limita. În cele 17 lucrări M_mate-info din 2024–2026 (modele, simulări, sesiuni speciale, iunie, rezerve, august), problema III.1 nu a conținut niciun șir, așa că rolul principal al lecției rămâne cel de unealtă pentru III.2.c și pentru limitele de funcții.
Limitele de șiruri sunt și unelte pentru limitele de funcții (lecția următoare): aceleași cazuri exceptate și aceleași transformări.

Greșeli care costă puncte

2 mincapcanele de evitat

$1^{\infty} = 1$ : fals; e caz exceptat.
Trecerea la limită în recurență înainte de a demonstra convergența.
La $a^{n}$ cu $a \leq - 1$ : „limita este $\pm \infty$ ”. Corect: șirul nu are limită.
La radicali: uitarea conjugatei și „ $\infty - \infty = 0$ ”.
La clește: cele două șiruri care încadrează nu au aceeași limită, deci concluzia nu rezultă.

Termeni-cheie

Șir monoton: Șir crescător (aₙ ≤ aₙ₊₁ pentru orice n) sau descrescător (aₙ ≥ aₙ₊₁ pentru orice n).
Șir mărginit: Există numerele m și M astfel încât m ≤ aₙ ≤ M, pentru orice n.
Limita unui șir: Numărul l (sau ±∞) cu proprietatea că orice vecinătate a lui l conține toți termenii șirului, cu excepția unui număr finit.
Șir convergent: Șir care are limită finită; un șir convergent este mărginit.
Proprietatea lui Weierstrass: Orice șir monoton și mărginit este convergent.
Numărul e: Limita șirului (1 + 1/n)ⁿ; e ≈ 2,718, iar șirul este crescător și mărginit.
Limita (1 + uₙ)^(1/uₙ): Dacă uₙ → 0 și uₙ ≠ 0, atunci (1 + uₙ)^(1/uₙ) → e.
Limita șirului aⁿ: +∞ dacă a > 1; 1 dacă a = 1; 0 dacă −1 < a < 1; nu are limită dacă a ≤ −1.
Criteriul cleștelui: Dacă aₙ ≤ xₙ ≤ bₙ de la un rang încolo și aₙ, bₙ au aceeași limită l, atunci xₙ → l.
Cazuri exceptate: ∞ − ∞, 0·∞, 0/0, ∞/∞, 1^∞, ∞⁰, 0⁰: operațiile nu dau direct limita; expresia se transformă.

Notițele mele

Salvat local

Pe scurt

Monotonie, mărginire, limită

Limite de referință

Operații și cazuri exceptate

Criteriul cleștelui și aplicația de la integrale

Ce se cere la BAC

Greșeli care costă puncte

Termeni-cheie

Notițele mele

Surse