Vectori în plan, coliniaritate și centrul de greutate

Segment orientat, vectori, adunarea (regula triunghiului și a paralelogramului), înmulțirea cu un scalar, coliniaritatea, vectorul de poziție, mijlocul unui segment, centrul de greutate, Thales, Menelau și Ceva, cu itemii oficiali de tip I.5.

24 min
La BAC: I.5
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Regula triunghiului: AB + BC = AC. Regula paralelogramului: AB + AD = AC. Orice vector se „sparge” printr-un punct intermediar.
02
M mijlocul lui BC ⇒ AM = (AB + AC)/2 (vectori). E cea mai folosită relație de la I.5.
Truc: Mediana e media vectorilor laturilor din același vârf.
03
Coliniari ⇔ u = αv. Dreptele MD și AB sunt paralele dacă vectorii MD și AB sunt coliniari (și punctele nu sunt pe aceeași dreaptă).
04
Centrul de greutate: GA + GB + GC = 0 și r_G = (r_A + r_B + r_C)/3.
05
Vectorul de poziție: AB = r_B − r_A. Cu el, orice relație vectorială devine un calcul algebric.

1 din 7

Pe scurt

3 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie

Un vector are direcție, sens și lungime; $0$ are lungimea 0; $- A B = B A$ .
Adunarea: regula triunghiului $A B + B C = A C$ , regula paralelogramului $A B + A D = A C$ .
Coliniaritate: $u$ și $v \neq = 0$ sunt coliniari $⟺ u = α v$ .
Vectori de poziție: $A B = r_{B} - r_{A}$ ; mijlocul $r_{M} = \frac{r _{A} + r _{B}}{2}$ ; centrul de greutate $r_{G} = \frac{r _{A} + r _{B} + r _{C}}{3}$ .
Thales, Menelau, Ceva: rapoarte de segmente pentru paralelism, coliniaritate, concurență.
La BAC, I.5 este o relație vectorială de demonstrat în 3 din cele 8 variante M_mate-info 2020–2022 consultate (modelele 2020, 2021, 2022); în lucrările 2024–2026 verificate, I.5 s-a lucrat în coordonate (vectori cu $i$ , $j$ sau pante).

Operații cu vectori

4 min 2 întrebări la final

Adunarea este comutativă și asociativă, are element neutru $0$ și orice vector are un opus: $u + (- u) = 0$ .

Regula paralelogramului

Așezi cei doi vectori în același punct și completezi paralelogramul: suma este diagonala lui. Pe coordonate, (3, 1) + (1, 2) = (4, 3).

Înmulțirea cu un scalar $α \in R$ : $α u$ are direcția lui $u$ , lungimea $∣ α ∣ \cdot ∣ u ∣$ și sensul lui $u$ pentru $α > 0$ (opus pentru $α < 0$ ). Proprietăți: $α (u + v) = α u + α v$ , $(α + β) u = α u + β u$ , $α (β u) = (α β) u$ , $1 \cdot u = u$ .

Descompunerea: dacă $a$ și $b$ sunt necoliniari, pentru orice vector $v$ există numerele reale unice $α$ , $β$ cu $v = α a + β b$ .

Relații standard în triunghi (le folosești fără să le mai demonstrezi pe larg, dar scrie-le):

$M$ mijlocul lui $B C$ : $A M = \frac{1}{2} (A B + A C)$ , iar pentru orice punct $P$ : $P B + P C = 2 P M$ .
$G$ centrul de greutate: $A G = \frac{2}{3} A M = \frac{1}{3} (A B + A C)$ și $G A + GB + GC = 0$ .
$A B C D$ paralelogram: $A B = D C$ , $A B + A D = A C$ .

Centrul de greutate împarte mediana în 2 și 1

AG reprezintă două treimi din AM, iar GM o treime. De aici vectorul AG este 2/3 din AM.

M e mijlocul lui BC. Cum scrii AM prin AB și AC?

Ce relație vectorială verifică centrul de greutate G al triunghiului ABC?

Vectorul de poziție, coliniaritate, paralelism

3 min

Fixând un punct $O$ , fiecărui punct $M$ îi corespunde vectorul de poziție $r_{M} = O M$ . Atunci:

A B = r_{B} - r_{A}, M \in (A B), \frac{M A}{M B} = k \Rightarrow r_{M} = \frac{r _{A} + k r _{B}}{1 + k} .

Trei puncte coliniare: $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare $⟺ A C = α A B$ pentru un $α$ real.
Drepte paralele: $A B ∥ C D ⟺ C D = α A B$ și punctele $A, B, C$ nu sunt coliniare.
Teorema lui Thales (și reciproca): în triunghiul $A B C$ , cu $M \in A B$ , $N \in A C$ : $M N ∥ B C ⟺ \frac{A M}{M B} = \frac{A N}{N C}$ ; vectorial, $A M = t A B$ și $A N = t A C$ dau $M N = t B C$ .

Menelau și Ceva

4 min

Menelau

Configurația

o dreaptă taie

B C

C A

A B

în

M

N

P

Relația

\frac{M B}{M C} \cdot \frac{N C}{N A} \cdot \frac{P A}{P B} = 1

Ceva

Configurația

A M

B N

C P

concurente,

M \in B C

N \in C A

P \in A B

Relația

\frac{M B}{M C} \cdot \frac{N C}{N A} \cdot \frac{P A}{P B} = 1

1 / 2

Teorema	Configurația	Relația
Menelau	o dreaptă taie $B C$ , $C A$ , $A B$ în $M$ , $N$ , $P$	$\frac{M B}{M C} \cdot \frac{N C}{N A} \cdot \frac{P A}{P B} = 1$
Ceva	$A M$ , $B N$ , $C P$ concurente, $M \in B C$ , $N \in C A$ , $P \in A B$	$\frac{M B}{M C} \cdot \frac{N C}{N A} \cdot \frac{P A}{P B} = 1$

Rapoartele se scriu în același sens de parcurgere a triunghiului (de la vârf la punct, apoi de la punct la vârful următor). Ceva are și reciprocă: dacă punctele sunt pe laturi și produsul este 1, cele trei drepte sunt concurente (așa se arată, de exemplu, că medianele sunt concurente: fiecare raport este 1).

Itemi oficiali rezolvați

6 min o întrebare la final

Oficial: BAC 2020, model, I.5

Enunț: Se consideră triunghiul $A B C$ , punctul $D$ mijlocul laturii $A C$ și punctul $E$ mijlocul segmentului $B D$ . Arătați că $C E = \frac{1}{4} C A - \frac{1}{2} B C$ .

$C E = \frac{1}{2} C D + \frac{1}{2} C B$

Cum $C D = \frac{1}{2} C A$ , obținem $C E = \frac{1}{4} C A + \frac{1}{2} C B = \frac{1}{4} C A - \frac{1}{2} B C$

Oficial: BAC 2021, model, I.5

Enunț: Se consideră triunghiul $A B C$ și punctele $M$ , $N$ și $P$ mijloacele segmentelor $B C$ , $B M$ , respectiv $C M$ . Arătați că $A M + A N + A P = \frac{3}{2} (A B + A C)$ .

$M$ mijlocul lui $B C \Rightarrow A M = \frac{1}{2} (A B + A C)$

$M$ mijlocul lui $N P \Rightarrow A M = \frac{1}{2} (A N + A P)$ , deci $A M + A N + A P = 3 A M = \frac{3}{2} (A B + A C)$

Oficial: BAC 2022, model, I.5

Enunț: Se consideră triunghiul $A B C$ , punctul $D$ mijlocul laturii $A C$ și punctul $M$ astfel încât $M A + 2 M B + 3 M C = 0$ . Arătați că dreptele $M D$ și $A B$ sunt paralele.

$M A + 2 M A + 2 A B + 3 M C = 0$ , deci $3 (M A + M C) + 2 A B = 0$ și, cum $M A + M C = 2 M D$ , obținem $M D = - \frac{1}{3} A B$

Vectorii $M D$ și $A B$ sunt coliniari, deci dreptele $M D$ și $A B$ sunt paralele

Oficial: BAC 2020, model, M_șt-nat, I.5

Enunț: Determinați numărul real $a$ pentru care vectorii $u = a i + (a - 1) j$ și $v = 3 i + 4 j$ sunt coliniari.

$\frac{a}{3} = \frac{a - 1}{4} ⟺ 4 a = 3 a - 3$

$a = - 3$

Paralelogram și centru de greutate

În paralelogramul $A B C D$ , cu ${O} = A C \cap B D$ , pentru orice punct $P$ : $P A + P C = 2 P O$ și $P B + P D = 2 P O$ , deci $P A + P C = P B + P D$ (M_șt-nat, iunie 2020, I.5).

Pentru $G$ centrul de greutate al triunghiului $A B C$ și $M$ mijlocul lui $B C$ : $A G = \frac{2}{3} A M = \frac{1}{3} (A B + A C)$ .

În paralelogramul ABCD, de ce PA + PC = PB + PD pentru orice punct P?

Ce se cere la BAC

2 mincum apare la examen

Relație vectorială de demonstrat cu mijloace: model 2020, I.5; model 2021, I.5.
Paralelism din coliniaritatea vectorilor: model 2022, I.5.
Coliniaritate în coordonate cu versorii $i$ , $j$ : M_șt-nat model 2020, I.5 ( $a = - 3$ ).
Vectori în coordonate (2024–2026): iunie-iulie 2024, varianta 10, I.5: $A (3, 1)$ , $B (3, 0)$ , $A C = O B$ ; barem: $(x_{C} - 3) i + (y_{C} - 1) j = 3 i$ , deci $C (6, 1)$ . Specială 2026, varianta 2, I.5: $A (6, 4)$ , $B (1, 3)$ , $2 B C = O A$ ; barem: $B C = \frac{1}{2} O A = 3 i + 2 j$ , deci $C (4, 5)$ .
În celelalte variante, I.5 este de geometrie analitică (vezi lecția următoare).

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Sensul vectorilor schimbat fără semn: $C B = - B C$ .
Relația mijlocului aplicată din punctul greșit: $A M = \frac{1}{2} (A B + A C)$ cere ca $M$ să fie mijlocul lui $B C$ și vectorii să plece din $A$ .
Paralelism declarat fără vectori coliniari scriși.
Vectori notați fără săgeată: $A B$ este o lungime, $A B$ este un vector.

Termeni-cheie

Vector: Mulțimea segmentelor orientate cu aceeași direcție, același sens și aceeași lungime; se notează AB cu săgeată sau u.
Vectori coliniari: Vectori cu aceeași direcție (dreptele suport paralele sau confundate); u și v ≠ 0 sunt coliniari ⇔ există α real cu u = α·v.
Regula triunghiului: AB + BC = AC (vectori): capătul primului este originea celui de-al doilea.
Regula paralelogramului: În paralelogramul ABCD, AB + AD = AC (vectori).
Vectorul de poziție: Pentru un punct fixat O, r_M = OM (vector); atunci AB = r_B − r_A.
Mijlocul unui segment: M mijlocul lui AB ⇔ r_M = (r_A + r_B)/2; pentru orice punct P, PA + PB = 2PM (vectori).
Punctul care împarte un segment: Dacă M ∈ (AB) și MA/MB = k, atunci r_M = (r_A + k·r_B)/(1 + k).
Centrul de greutate: G, intersecția medianelor: r_G = (r_A + r_B + r_C)/3; GA + GB + GC = 0 (vectori); AG = 2/3 din mediană.
Teorema lui Thales: O paralelă la o latură a unui triunghi determină pe celelalte două laturi (sau pe prelungiri) segmente proporționale.
Teorema lui Menelau: Dacă o dreaptă taie dreptele BC, CA, AB în M, N, P, atunci (MB/MC)·(NC/NA)·(PA/PB) = 1.
Teorema lui Ceva: Dacă dreptele AM, BN, CP (M ∈ BC, N ∈ CA, P ∈ AB) sunt concurente, atunci (MB/MC)·(NC/NA)·(PA/PB) = 1.

Notițele mele

Salvat local