Primitive uzuale și forma lor compusă

Tabelul primitivelor uzuale, varianta lui cu u(x) în loc de x (u′·uⁿ, u′/u, u′·eᵘ, u′/(u² + a²)) și cum recunoști rapid forma potrivită.

22 min
La BAC: Subiectul al III-lea (2)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
∫ xⁿ = xⁿ⁺¹/(n + 1), ∫ 1/x = ln |x|, ∫ eˣ = eˣ, ∫ 1/(x² + a²) = (1/a)·arctg(x/a): patru rânduri care apar aproape la fiecare BAC.
02
∫ u′/u = ln |u|: dacă numărătorul e (aproape) derivata numitorului, ajustezi constanta și ai terminat.
Truc: „Sus e derivata lui jos” ⇒ logaritm.
03
Orice formulă din tabel rămâne adevărată cu u(x) în loc de x, dacă înmulțești cu u′(x).
04
Verifici orice primitivă derivând-o: dacă iese funcția de sub integrală, e corectă.
05
Atenție la domeniu: ln |x| pe intervale fără 0; formulele cu √(a² − x²) doar pentru |x| < a.

1 din 6

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie

Tabelul de primitive se obține citind invers tabelul de derivate.
Cele mai folosite: puteri, $\frac{1}{x}$ , $e^{x}$ și $a^{x}$ , $\frac{1}{x ^{2} + a ^{2}}$ , $\frac{1}{x ^{2} - a ^{2}}$ , sinus și cosinus.
Forma compusă: în orice rând, $x$ se poate înlocui cu $u (x)$ , cu condiția să apară factorul $u^{'} (x)$ .
Cea mai frecventă la BAC: $\int u^{'} / u d x = ln ∣ u ∣ + C$ .
Orice primitivă se verifică prin derivare.

Tabelul primitivelor uzuale

6 min o întrebare la final

Pe fiecare interval pe care funcția este definită ( $a > 0$ unde apare sub radical sau logaritm, $a \neq = 0$ în rest):

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C, n \in N \int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C \int \frac{1}{x ^{2} + a ^{2}} d x = \frac{1}{a} arctg \frac{x}{a} + C \int sin x d x = - cos x + C \int \frac{1}{cos ^{2} x} d x = tg x + C \int tg x d x = - ln ∣ cos x ∣ + C \int \frac{1}{a ^{2} - x ^{2}} d x = arcsin \frac{x}{a} + C \int \frac{1}{x ^{2} - a ^{2}} d x = ln x + x^{2} - a^{2} + C \int x^{a} d x = \frac{x ^{a + 1}}{a + 1} + C, a \in R ∖ {- 1}, x > 0 \int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C, a > 0, a \neq = 1; \int e^{x} d x = e^{x} + C \int \frac{1}{x ^{2} - a ^{2}} d x = \frac{1}{2 a} ln \frac{x - a}{x + a} + C \int cos x d x = sin x + C \int \frac{1}{sin ^{2} x} d x = - ctg x + C \int ctg x d x = ln ∣ sin x ∣ + C \int \frac{1}{x ^{2} + a ^{2}} d x = ln (x + x^{2} + a^{2}) + C

Cât este ∫ tg x dx pe (−π/2, π/2)?

Forma compusă (cu u(x))

4 min

Proprietate. Dacă $F$ este o primitivă a lui $f$ și $u$ este derivabilă, cu valori în domeniul lui $f$ , atunci $F \circ u$ este o primitivă a lui $(f \circ u) \cdot u^{'}$ , pentru că $(F (u (x)))^{'} = f (u (x)) \cdot u^{'} (x)$ .

\int u^{n} u^{'} d x = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1} + C \int e^{u} u^{'} d x = e^{u} + C \int \frac{u ^{'}}{u} d x = 2 u + C \int \frac{u ^{'}}{u} d x = ln ∣ u ∣ + C \int \frac{u ^{'}}{u ^{2} + a ^{2}} d x = \frac{1}{a} arctg \frac{u}{a} + C \int u^{'} cos u d x = sin u + C

Identifici u
Ce expresie apare „în interiorul” altei funcții sau la numitor? Aceea e candidatul pentru $u$ .
Calculezi u′ și o cauți în integrală
Dacă apare doar până la o constantă, înmulțești și împarți cu acea constantă.
Aplici rândul din tabel
Și verifici prin derivare.

Exemple rezolvate

8 min 2 întrebări la final

Exercițiu de tip BAC: liniaritate și tabel

Pe $(0, + \infty)$ :

\int (3 x^{2} - \frac{4}{x} + e^{x}) d x = 3 \cdot \frac{x ^{3}}{3} - 4 ln x + e^{x} + C = x^{3} - 4 ln x + e^{x} + C .

Verificare: $(x^{3} - 4 ln x + e^{x})^{'} = 3 x^{2} - \frac{4}{x} + e^{x}$ .

Exercițiu de tip BAC: logaritm și arctangentă

\int \frac{x}{x ^{2} + 1} d x = \frac{1}{2} \int \frac{( x ^{2} + 1 ) ^{'}}{x ^{2} + 1} d x = \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C

\int \frac{1}{x ^{2} + 9} d x = \frac{1}{3} arctg \frac{x}{3} + C, \int \frac{1}{x ^{2} - 4} d x = \frac{1}{4} ln \frac{x - 2}{x + 2} + C .

Forma u′/u, pas cu pas

Identifici u
Numitorul: u = x² + 1
Cauți u′ în integrală
u′ = 2x, dar sus apare doar x, deci înmulțești și împarți cu 2
Aplici rândul din tabel
½ ∫ u′/u dx = ½ ln(x² + 1) + C
Verifici prin derivare
(½ ln(x² + 1))′ = ½ · 2x/(x² + 1) = x/(x² + 1)

Prima integrală din exemplul de mai sus, desfăcută pe pași. Logaritmul se scrie fără modul pentru că x² + 1 este pozitiv.

BAC 2020, sesiunea specială, varianta 1, III.2.b

Funcțiile din enunț:

f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 2 x + 5}, g (x) = f (x) + \frac{1}{x ^{2} + 2 x + 5} = \frac{x + 1}{x ^{2} + 2 x + 5} .

Arătați că integrala lui $g$ pe $[0, 1]$ este $\frac{1}{2} ln \frac{8}{5}$ .

\int_{0}^{1} g (x) d x = \int_{0}^{1} \frac{x + 1}{x ^{2} + 2 x + 5} d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{( x ^{2} + 2 x + 5 ) ^{'}}{x ^{2} + 2 x + 5} d x = \frac{1}{2} ln (x^{2} + 2 x + 5)_{0}^{1} = \frac{1}{2} (ln 8 - ln 5) = \frac{1}{2} ln \frac{8}{5} .

Barem oficial: forma „jumătate din $u^{'} / u$ ” 3p, rezultatul 2p.

Exercițiu de tip BAC: compusă cu exponențială

\int x e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} \int (x^{2})^{'} e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C .

Verificare: $(\frac{1}{2} e^{x^{2}})^{'} = \frac{1}{2} \cdot 2 x \cdot e^{x^{2}} = x e^{x^{2}}$ .

BAC 2026, model, III.2.b (forma u′/(2√u))

$f (x) = x^{2} - 2 + x^{2} + 4$ . Arătați că $\int_{0}^{5} \frac{x}{f ( x ) - x ^{2} + 2} d x = 1$ .

\int_{0}^{5} \frac{x}{x ^{2} + 4} d x = \int_{0}^{5} \frac{( x ^{2} + 4 ) ^{'}}{2 x ^{2} + 4} d x = x^{2} + 4_{0}^{5} = 3 - 2 = 1.

Barem oficial: primitiva $x^{2} + 4$ 3p; valoarea 2p.

BAC 2023, sesiunea specială, varianta 6, III.2.b (forma u′/u)

$f (x) = \frac{4 x}{x ^{3} + 8}$ , $x > - 2$ . Arătați că $\int_{1}^{4} x f (x) d x = 4 ln 2$ .

\int_{1}^{4} \frac{4 x ^{2}}{x ^{3} + 8} d x = \frac{4}{3} \int_{1}^{4} \frac{( x ^{3} + 8 ) ^{'}}{x ^{3} + 8} d x = \frac{4}{3} ln (x^{3} + 8)_{1}^{4} = \frac{4}{3} (ln 72 - ln 9) = \frac{4}{3} ln 8 = 4 ln 2.

Barem oficial: forma $\frac{4}{3} \cdot \frac{u ^{'}}{u}$ și primitiva 3p; valoarea 2p.

Cât este ∫ 1/(x² − 4) dx?

Cât este ∫ 2ˣ dx?

Ce se cere la BAC

2 mincum apare la examen

Tabelul nu se cere separat, dar orice punct a) sau b) îl folosește: specială 2020, III.2.b (forma $u^{'} / u$ , rezultat $\frac{1}{2} ln \frac{8}{5}$ ); august 2020, III.2.b (logaritm și arctangentă în aceeași integrală, rezultat $1 - ln \frac{4}{3} - \frac{π}{9} 3$ , vezi lecția despre funcții raționale).
Cerința tipică „Arătați că $\int_{a}^{b} f (x) d x = \dots$ ” se punctează: primitiva corectă (de regulă 3p) și valoarea (2p).

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

$\int \frac{1}{x ^{2}} d x = ln x^{2}$ (corect: $- \frac{1}{x} + C$ ).
Factorul $\frac{1}{a}$ uitat la arctangentă sau $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a}$ la logaritmul diferenței de pătrate.
Semnul la $\int sin x d x$ (este $- cos x$ ).
Modulul la logaritm omis acolo unde argumentul poate fi negativ.
Primitiva unui produs luată ca produs de primitive.

Termeni-cheie

Puteri: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C; pentru exponent real a ≠ −1, pe (0, +∞): ∫ xᵃ dx = xᵃ⁺¹/(a + 1) + C.
Inversul lui x: ∫ (1/x) dx = ln |x| + C, pe orice interval care nu conține 0.
Exponențiala: ∫ eˣ dx = eˣ + C; ∫ aˣ dx = aˣ/ln a + C, pentru a > 0, a ≠ 1.
Arctangentă: ∫ 1/(x² + a²) dx = (1/a)·arctg(x/a) + C, a ≠ 0.
Diferența de pătrate: ∫ 1/(x² − a²) dx = (1/(2a))·ln |(x − a)/(x + a)| + C, a ≠ 0, pe intervale care nu conțin ±a.
Trigonometrice: ∫ sin x dx = −cos x + C; ∫ cos x dx = sin x + C; ∫ 1/cos²x dx = tg x + C; ∫ 1/sin²x dx = −ctg x + C.
Radicali: ∫ 1/√(a² − x²) dx = arcsin(x/a) + C; ∫ 1/√(x² + a²) dx = ln(x + √(x² + a²)) + C.
Forma compusă: Dacă ∫ f(x) dx = F(x) + C, atunci ∫ f(u(x))·u′(x) dx = F(u(x)) + C; de exemplu ∫ u′/u = ln |u| + C.

Notițele mele

Salvat local

Surse

Programa de examen Matematică M_mate-info, Bacalaureat 2015 (Anexa 2 la OMEN 4430/2014), clasa a XII-a, Primitive uzuale
BAC 2020, sesiunea specială, varianta 1, Subiectul al III-lea, 2.b (subiect și barem)
BAC 2026, model, Subiectul al III-lea, 2.b (subiect și barem)
BAC 2023, sesiunea specială, varianta 6, Subiectul al III-lea, 2.b (subiect și barem)