Asimptotele graficului unei funcții

Asimptote orizontale, oblice și verticale: definițiile cu limite, formulele pentru m și n, unde se caută fiecare tip și cum se redactează la Subiectul al III-lea.

22 min
La BAC: Subiectul al III-lea (1)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Orizontală: lim f(x) la ±∞ este un număr l ⇒ y = l.
02
Oblică: m = lim f(x)/x (finit, nenul), n = lim (f(x) − mx) (finit) ⇒ y = mx + n.
Truc: Întâi panta, apoi „cât lipsește” până la dreaptă.
03
Verticală: o limită laterală infinită într-un punct finit x₀ ⇒ x = x₀. Cauți la capetele deschise și în punctele excluse din domeniu.
04
+∞ și −∞ se studiază separat: o funcție poate avea orizontală într-o parte și oblică în cealaltă.
05
Pe un capăt: orizontală sau oblică, niciodată amândouă.

1 din 7

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie

Orizontală spre $+ \infty$ : $y = l$ , dacă limita lui $f$ la $+ \infty$ este $l \in R$ .
Oblică spre $+ \infty$ : $y = m x + n$ , cu $m$ finit nenul și $n$ finit (formulele de mai jos).
Verticală: $x = x_{0}$ , dacă o limită laterală în $x_{0}$ este infinită.
Fiecare capăt ( $+ \infty$ , $- \infty$ ) se studiază separat; pe un capăt există cel mult una dintre orizontală și oblică.
Funcțiile polinomiale de grad cel puțin 2 nu au asimptote.

Asimptote orizontale și oblice

3 min 2 întrebări la final

y = l asimptot \overset{a}{˘} orizontal \overset{a}{˘} spre + \infty ⟺ x \to + \infty lim f (x) = l \in R

y = m x + n asimptot \overset{a}{˘} oblic \overset{a}{˘} spre + \infty ⟺ m = x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} \in R^{*}, n = x \to + \infty lim (f (x) - m x) \in R

Analog spre $- \infty$ . Interpretare: distanța pe verticală dintre grafic și dreaptă, $f (x) - (m x + n)$ , tinde la 0.

Pentru funcții raționale $P / Q$ : orizontală dacă grad $P \leq$ grad $Q$ ; oblică dacă grad $P$ = grad $Q$ + 1 (aceeași dreaptă la $\pm \infty$ ; se poate găsi și prin împărțirea cu rest a lui $P$ la $Q$ ); niciuna dacă grad $P \geq$ grad $Q$ + 2.

Pentru funcții cu radical sau exponențiale, rezultatul poate diferi între $+ \infty$ și $- \infty$ , deci se fac ambele calcule.

Cum se calculează m și n la asimptota oblică?

Poate avea graficul, spre +∞, și orizontală și oblică?

Asimptote verticale

2 min o întrebare la final

x = x_{0} asimptot \overset{a}{˘} vertical \overset{a}{˘} ⟺ x \to x_{0} x < x_{0} lim f (x) = \pm \infty sau x \to x_{0} x > x_{0} lim f (x) = \pm \infty

Se studiază doar în puncte finite care sunt de acumulare pentru domeniu, dar în care funcția nu este definită (sau nu este continuă): numitori nuli, capete deschise ale domeniului logaritmului etc. Dacă $x_{0}$ este capăt al domeniului, se calculează doar limita laterală care are sens, iar asimptota se numește „la stânga” sau „la dreapta”.

Când e x = x₀ asimptotă verticală?

Exemple rezolvate

3 min

Exemplul 1. Funcție rațională: verticală și oblică

$f : R ∖ {1} \to R$ , $f (x) = (x^{2} + 1) / (x - 1)$ .

Verticală:

x \to 1 x < 1 lim \frac{x ^{2} + 1}{x - 1} = \frac{2}{0 _{-}} = - \infty, x \to 1 x > 1 lim \frac{x ^{2} + 1}{x - 1} = \frac{2}{0 _{+}} = + \infty

deci $x = 1$ este asimptotă verticală.

Oblică spre $+ \infty$ :

m = x \to + \infty lim \frac{x ^{2} + 1}{x ( x - 1 )} = 1, n = x \to + \infty lim (\frac{x ^{2} + 1}{x - 1} - x) = x \to + \infty lim \frac{x + 1}{x - 1} = 1

deci $y = x + 1$ este asimptotă oblică spre $+ \infty$ ; același calcul dă aceeași dreaptă spre $- \infty$ .

Graficul se lipește de asimptotă

x = 2

Mută cursorul spre dreapta: distanța pe verticală dintre cele două puncte este f(x) − (x + 1) = 2/(x − 1) și tinde la 0. Asta înseamnă asimptotă oblică.

Exemplul 2. Orizontală și verticală

$f (x) = (2 x + 1) / (x + 3)$ , $x \neq = - 3$ : limita la $\pm \infty$ este 2, deci $y = 2$ este asimptotă orizontală spre $+ \infty$ și spre $- \infty$ . În $- 3$ : numărătorul tinde la $- 5$ , iar numitorul la $0_{\pm}$ , deci limitele laterale sunt $+ \infty$ (la stânga) și $- \infty$ (la dreapta): $x = - 3$ este asimptotă verticală.

Exemplul 3. Radical: drepte diferite la +∞ și la −∞

Funcția este

f (x) = x^{2} + 2 x, x \in (- \infty, - 2] \cup [0, + \infty)

Spre $+ \infty$ : $m = 1$ și

n = x \to + \infty lim (x^{2} + 2 x - x) = x \to + \infty lim \frac{2 x}{x ^{2} + 2 x + x} = 1 \Rightarrow y = x + 1

Spre $- \infty$ avem $∣ x ∣ = - x$ , deci

x^{2} + 2 x = ∣ x ∣ 1 + \frac{2}{x} = - x 1 + \frac{2}{x}, m = x \to - \infty lim \frac{f ( x )}{x} = - 1

și

n = x \to - \infty lim (x^{2} + 2 x + x) = x \to - \infty lim \frac{2 x}{x ^{2} + 2 x - x} = x \to - \infty lim \frac{2 x}{- x ( 1 + \frac{2}{x} + 1 )} = - 1 \Rightarrow y = - x - 1

Câte o asimptotă pe fiecare parte

Funcția nu e definită între −2 și 0. Spre +∞ graficul se apropie de y = x + 1, iar spre −∞ de y = −x − 1, deci calculezi separat la fiecare capăt.

Itemi oficiali rezolvați

7 min

BAC 2020, iunie–iulie, varianta 6, III.1.b

$f : (2, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{1}{x - 2} + ln \frac{x - 1}{x}$ . Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+ \infty$ .

x \to + \infty lim f (x) = x \to + \infty lim (\frac{1}{x - 2} + ln (1 - \frac{1}{x})) = 0 + ln 1 = 0

Dreapta $y = 0$ este asimptotă orizontală spre $+ \infty$ (barem: 3p limita, 2p concluzia).

În plus (nu se cerea): în capătul $x = 2$ , $1/ (x - 2) \to + \infty$ , iar logaritmul tinde la $ln (1/2)$ , deci $x = 2$ este asimptotă verticală la dreapta.

Model BAC 2021, III.1.b

$f (x) = \frac{x e ^{x}}{e ^{x} + 2}$ . Arătați că $y = x$ este asimptotă oblică spre $+ \infty$ .

x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} = x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{e ^{x} + 2} = 1, x \to + \infty lim (f (x) - x) = x \to + \infty lim \frac{x e ^{x} - x ( e ^{x} + 2 )}{e ^{x} + 2} = x \to + \infty lim \frac{- 2 x}{e ^{x} + 2} = 0

deci dreapta $y = x$ este asimptotă oblică spre $+ \infty$ (barem: 2p pentru $m$ , 3p pentru $n$ și concluzie). Spre $- \infty$ , $x e^{x} \to 0$ , deci graficul are acolo asimptota orizontală $y = 0$ .

BAC 2025, iunie–iulie, varianta 1, III.1.b

$f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = 2 x + ln \frac{x}{x + 2}$ . Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+ \infty$ .

m = x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} = x \to + \infty lim (2 + \frac{1}{x} ln \frac{x}{x + 2}) = 2, n = x \to + \infty lim (f (x) - 2 x) = x \to + \infty lim ln \frac{x}{x + 2} = ln 1 = 0

Dreapta $y = 2 x$ este asimptotă oblică spre $+ \infty$ (barem: 2p pentru $m$ , 3p pentru $n$ și concluzie).

BAC 2026, iunie–iulie, varianta 3, III.1.b. Dreapta este dată

$f : R \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{3} - 4 x}{x ^{2} + 5}$ . Arătați că dreapta $y = x$ este asimptota oblică spre $+ \infty$ .

Când dreapta $y = m x + n$ este dată, ajunge să arăți că $f (x) - (m x + n) \to 0$ (aceasta este chiar definiția):

x \to + \infty lim (f (x) - x) = x \to + \infty lim \frac{x ^{3} - 4 x - x ^{3} - 5 x}{x ^{2} + 5} = x \to + \infty lim \frac{- 9 x}{x ^{2} + 5} = 0

deci $y = x$ este asimptota oblică spre $+ \infty$ (barem: 2p transformarea, 3p limita și concluzia). Calculul lui $m = lim f (x) / x = 1$ este și el corect, dar nu e cerut separat.

Toate limitele au fost verificate numeric la ambele capete.

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

III.1.b (5p): ecuația unei asimptote anume (orizontală spre $+ \infty$ : 2020 iunie, $y = 0$ ; oblică: 2025 iunie, $y = 2 x$ ; 2024 specială, $y = 4 x + 8$ ) sau demonstrarea că o dreaptă dată este asimptotă (model 2021 și 2026 iunie, $y = x$ ). În 2024–2026, III.1.b a cerut o asimptotă în 6 din 17 lucrări (model 2024, specială 2024, iunie 2025, model 2025, simulare 2025, iunie 2026).
Uneori asimptota verticală la un capăt deschis al domeniului (funcții cu $ln x$ sau cu numitor).
Asimptotele intră și în reprezentarea grafică (lecția despre numărul de soluții).

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Un singur capăt studiat când se cere „asimptotele graficului”.
Oblică cu $m = 0$ sau cu $n$ infinit.
Verticală căutată acolo unde funcția e continuă.
$x^{2} = x$ la $- \infty$ (corect: $- x$ ).
Concluzia nescrisă: baremul punctează propoziția „dreapta de ecuație ... este asimptotă ... spre ...”.

Termeni-cheie

Asimptotă orizontală spre +∞: Dreapta y = l, dacă lim (x → +∞) f(x) = l, cu l număr real (analog spre −∞).
Asimptotă oblică spre +∞: Dreapta y = mx + n, cu m = lim (x → +∞) f(x)/x finit și nenul și n = lim (x → +∞) (f(x) − mx) finit.
Asimptotă verticală: Dreapta x = x₀, dacă cel puțin una dintre limitele laterale ale lui f în x₀ este +∞ sau −∞.
Unde se caută asimptotele verticale: În punctele finite în care funcția nu e definită dar care sunt puncte de acumulare ale domeniului (capete deschise, puncte excluse) și în punctele de discontinuitate.
Excludere orizontală–oblică: Dacă graficul are asimptotă orizontală spre +∞, nu are asimptotă oblică spre +∞ (și invers); fiecare capăt se studiază separat.
Funcție rațională cu oblică: Raportul P/Q are asimptotă oblică dacă grad P = grad Q + 1; se găsește și prin împărțirea polinoamelor.

Notițele mele

Salvat local