Probabilitatea unui eveniment

Evenimente aleatoare egal probabile, operații cu evenimente, probabilitatea ca raport între cazurile favorabile și cele posibile, eveniment contrar, cu itemii oficiali de tip I.4 rezolvați ca în barem.

20 min
La BAC: I.4
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
p = numărul cazurilor favorabile / numărul cazurilor posibile. Barem: cazurile posibile, cazurile favorabile, raportul, fiecare scris separat.
02
Numere de două cifre: 90 în total; de două cifre distincte: 81.
Truc: De la 10 la 99 sunt 90 de numere; scazi cele 9 cu cifre egale (11, 22, …, 99).
03
P(Ā) = 1 − P(A): când e mai ușor să numeri ce nu convine.
04
Probabilitatea e mereu între 0 și 1. Un rezultat 7/5 înseamnă o numărare greșită.
05
Simplifică fracția la final: 6/120 = 1/20, 27/81 = 1/3.

1 din 6

Pe scurt

3 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie

Experiment aleator cu rezultate egal probabile: $P (A) = \frac{nr. cazuri favorabile}{nr. cazuri posibile}$ .
$0 \leq P (A) \leq 1$ ; evenimentul sigur are probabilitatea 1, cel imposibil 0.
Contrarul: $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$ .
Reuniunea: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ ; pentru evenimente incompatibile, $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .
Cazurile se numără cu regula produsului, aranjamente sau combinări.
La BAC, I.4 este o probabilitate în 2 din cele 8 variante M_mate-info 2020–2022 consultate (august 2020, model 2022) și în 4 din cele 11 lucrări 2024–2026 verificate (iunie 2025, specială 2025, rezervă iunie-iulie 2026, simulare 2026); în celelalte este o numărare de numere sau de submulțimi.

Evenimente și operații cu evenimente

3 min

Mulțimea tuturor rezultatelor posibile se notează de obicei $E$ . Un eveniment este o submulțime a lui $E$ .

A \cup B

În cuvinte

A sau B (cel puțin unul)

Ca mulțime

reuniunea

A \cap B

În cuvinte

A și B (amândouă)

Ca mulțime

intersecția

\overset{ˉ}{A}

În cuvinte

non A

Ca mulțime

complementara față de

E

A ∖ B

În cuvinte

A, dar nu B

Ca mulțime

diferența

1 / 4

Eveniment	În cuvinte	Ca mulțime
$A \cup B$	A sau B (cel puțin unul)	reuniunea
$A \cap B$	A și B (amândouă)	intersecția
$\overset{ˉ}{A}$	non A	complementara față de $E$
$A ∖ B$	A, dar nu B	diferența

Operațiile cu evenimente sunt operațiile cu mulțimi, de aceea numărarea cazurilor favorabile pentru $A \cup B$ se face cu formula $∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣$ .

Probabilitatea, pas cu pas

3 min

Cazurile posibile
Determini câte elemente are mulțimea din care se alege (de exemplu, toate numerele de două cifre: 90).
Cazurile favorabile
Numeri elementele care verifică proprietatea; scrie-le explicit dacă sunt puține.
Raportul
$p = \frac{favorabile}{posibile}$ , simplificat.

Numărări care revin des:

numere naturale de două cifre: $90$ ; de două cifre distincte: $9 \cdot 9 = 81$ ; de trei cifre: $900$ ;
numere de $n$ cifre distincte formate cu $n$ cifre date nenule: $n!$ ;
submulțimi cu $k$ elemente ale unei mulțimi cu $n$ elemente: $C_{n}^{k}$ ; toate submulțimile: $2^{n}$ .

Itemi oficiali rezolvați

7 min 3 întrebări la final

Oficial: BAC 2020, sesiunea august, varianta 3, I.4

Enunț: Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de cinci cifre distincte, formate cu cifre din mulțimea ${1, 2, 3, 4, 5}$ , acesta să aibă cifra zecilor egală cu 2 și cifra unităților egală cu 3.

Mulțimea numerelor naturale de cinci cifre distincte, formate cu cifre din mulțimea ${1, 2, 3, 4, 5}$ , are $5! = 120$ de elemente, deci sunt 120 de cazuri posibile

Numerele care au cifra zecilor egală cu 2 și cifra unităților egală cu 3 sunt $3! = 6$ , deci sunt 6 cazuri favorabile

$p = \frac{nr. cazuri favorabile}{nr. cazuri posibile} = \frac{6}{120} = \frac{1}{20}$

Oficial: BAC 2022, model, I.4

Enunț: Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre distincte, acesta să aibă cifra zecilor multiplu de 3.

Mulțimea numerelor naturale de două cifre distincte are 81 de elemente, deci sunt 81 de cazuri posibile

Sunt $3 \cdot 9 = 27$ de numere care au cifra zecilor multiplu de 3, deci sunt 27 de cazuri favorabile

$p = \frac{nr. cazuri favorabile}{nr. cazuri posibile} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$

Oficial: BAC 2020, sesiunea iunie, M_șt-nat, varianta 6, I.4

Enunț: Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ , acesta să fie divizor al lui 100.

Mulțimea $A$ are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile

Divizorii din mulțimea $A$ ai numărului 100 sunt 1, 2, 4 și 5, deci sunt 4 cazuri favorabile

$p = \frac{4}{9}$

Oficial: BAC 2022, model, M_șt-nat, I.4

Enunț: Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A = {1!, 2!, 3!, \dots, 10!}$ , acesta să fie divizibil cu 9.

Mulțimea $A$ are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile

Numerele divizibile cu 9 din mulțimea $A$ sunt $6!, 7!, 8!, 9!$ și $10!$ (au factorii 3 și 6), deci sunt 5 cazuri favorabile

$p = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Eveniment contrar

Alegem un număr de două cifre. Probabilitatea ca acesta să nu fie pătrat perfect:

Pătratele perfecte de două cifre sunt $16, 25, 36, 49, 64, 81$ : $P (A) = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$

$P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15}$

Eveniment și contrar: 90 de cazuri

Pătrate perfecte · 6 numereP(A) = 6/90 = 1/15
Celelalte numere · 84 numereP(Ā) = 84/90 = 14/15

Cele două părți acoperă toate cele 90 de cazuri, deci P(A) + P(Ā) = 1. Când A are puține cazuri, e mai rapid să calculezi P(Ā) = 1 − P(A).

Probabilitatea ca un număr de două cifre distincte să aibă cifra zecilor multiplu de 3?

Probabilitatea ca un număr de două cifre să fie divizibil cu 10?

Probabilitatea ca un număr de două cifre să fie pătrat perfect?

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

Numere cu cifre date: august 2020, varianta 3, I.4 ( $\frac{1}{20}$ ); model 2022, I.4 ( $\frac{1}{3}$ ).
Elemente ale unei mulțimi date cu o proprietate de divizibilitate: M_șt-nat iunie 2020 ( $\frac{4}{9}$ ), M_șt-nat model 2022 ( $\frac{1}{2}$ ).
Probabilități recente: iunie 2025, varianta 1, I.4: un număr de două cifre să fie divizor al lui $2^{6}$ ; barem: 90 de cazuri posibile, 3 favorabile (16, 32, 64), $p = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}$ . Rezervă iunie-iulie 2026, varianta 7, I.4: din $A = {3, 6, 9, \dots, 60}$ , un număr divizibil cu 5; barem: 20 de cazuri posibile, 4 favorabile (15, 30, 45, 60), $p = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$ .
Soluțiile unei ecuații printre elementele unei mulțimi: M_șt-nat specială 2020, I.4: din ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ , soluțiile ecuației $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ sunt 1 și 2, deci $p = \frac{2}{5}$ .

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Cazurile posibile numărate greșit (90 de numere de două cifre, 81 cu cifre distincte).
Lipsa scrierii separate a cazurilor posibile și favorabile: baremul le punctează distinct.
Probabilitate mai mare decât 1 lăsată ca răspuns.
Cifra 0 uitată printre cifrele unităților (la „cifre distincte”, unitățile pot fi 0).

Termeni-cheie

Experiment aleator: Experiment al cărui rezultat nu poate fi prevăzut dinainte (alegerea unui număr, aruncarea unui zar).
Evenimente elementare egal probabile: Rezultatele posibile ale experimentului, fiecare cu aceeași șansă de apariție.
Probabilitatea unui eveniment: P(A) = numărul cazurilor favorabile / numărul cazurilor posibile, pentru evenimente elementare egal probabile; 0 ≤ P(A) ≤ 1.
Eveniment sigur / imposibil: Evenimentul sigur are probabilitatea 1, evenimentul imposibil are probabilitatea 0.
Eveniment contrar: Ā se produce exact când A nu se produce; P(Ā) = 1 − P(A).
Reuniunea evenimentelor: A ∪ B (A sau B) se produce dacă se produce cel puțin unul dintre ele; P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Intersecția evenimentelor: A ∩ B (A și B) se produce dacă se produc ambele.
Evenimente incompatibile: A ∩ B = ∅ (nu se pot produce simultan); atunci P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Notițele mele

Salvat local

Pe scurt

Evenimente și operații cu evenimente

Probabilitatea, pas cu pas

Itemi oficiali rezolvați

Ce se cere la BAC

Greșeli care costă puncte

Termeni-cheie

Notițele mele

Surse