Subiectul al II-lea: cum se lucrează algebra

Problema 1 (matrice, determinanți, sisteme) și problema 2 (legi de compoziție, structuri, polinoame): tiparul cerințelor a), b), c), ce punctează baremul și cinci cerințe oficiale rezolvate pas cu pas.

20 min
La BAC: Subiectul al II-lea
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Subiectul al II-lea are două probleme a câte trei cerințe: matrice/sisteme și legi/polinoame. Cerințele a) sunt calcule directe.
02
La b) apare „pentru orice a”: lucrezi literal și ajungi la o formă care se vede că e adevărată (de exemplu (a − 1)² + 2 ≠ 0).
Truc: a) un număr, b) o formulă, c) o condiție.
03
Legea de compoziție se scrie aproape mereu ca k(x − a)(y − a) + a: cu ea elementul neutru și calculele ies imediat.
04
Un sistem pătratic cu determinant nenul are soluție unică (sistem de tip Cramer).
05
În ℤₙ calculezi cu resturi: 2̂ · 2̂ = 1̂ în ℤ₃.

1 din 5

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie

II.1: o matrice (sau un sistem) care depinde de un parametru; a) un determinant sau un produs, b) o proprietate pentru orice parametru, c) un parametru cu o condiție.
II.2: o lege de compoziție pe o mulțime sau un polinom; a) un calcul, b) o proprietate sau o ecuație, c) o cerință cu legea iterată ori cu numere întregi/naturale.
Timp recomandat: aproximativ 55 de minute pentru ambele probleme.
Baremul are, pe fiecare cerință, o etapă de calcul și o etapă de concluzie.
Teoria detaliată: modulele „Matrice, determinanți, sisteme” și „Legi de compoziție, grupuri, inele, polinoame”.

Problema II.1: matrice, determinanți, sisteme

8 min 3 întrebări la final

Tipic

det A (1)

A \cdot B

A^{2}

Ce scrii

matricea concretă, apoi calculul (Sarrus pentru ordinul 3)

Tipic

„pentru orice a”, „A(a) este inversabilă”

Ce scrii

det A (a)

ca expresie, factorizată sau restrânsă la pătrat

Tipic

soluție naturală,

z_{0} = n x_{0}

, inversa cu elemente întregi

Ce scrii

sistemul rezolvat (Cramer), condiția transformată în ecuație în

a

1 / 3

Cerința	Tipic	Ce scrii
a)	$det A (1)$ , $A \cdot B$ , $A^{2}$	matricea concretă, apoi calculul (Sarrus pentru ordinul 3)
b)	„pentru orice a”, „A(a) este inversabilă”	$det A (a)$ ca expresie, factorizată sau restrânsă la pătrat
c)	soluție naturală, $z_{0} = n x_{0}$ , inversa cu elemente întregi	sistemul rezolvat (Cramer), condiția transformată în ecuație în $a$

Regula lui Sarrus (ordinul 3): pentru matricea cu liniile $(a_{11}, a_{12}, a_{13})$ , $(a_{21}, a_{22}, a_{23})$ , $(a_{31}, a_{32}, a_{33})$ ,

det A = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} .

Oficial: BAC 2026, iunie-iulie, varianta 3, II.1.a

Enunț: $A (a) = 1 a 0 a 32 a a 1$ . Arătați că $det (A (1)) = 2$ .

$A (1) = 110132111$ , $det (A (1)) = 110132111 =$

$= 3 + 2 + 0 - 0 - 2 - 1 = 2$

Oficial: BAC 2026, iunie-iulie, varianta 3, II.1.b

Enunț: sistemul $x + a y + a z = 1$ , $a x + 3 y + a z = 0$ , $2 y + z = 0$ (cu matricea $A (a)$ ). Arătați că, pentru orice număr real $a$ , sistemul are soluție unică.

$det (A (a)) = 1 a 0 a 32 a a 1 = a^{2} - 2 a + 3$ , pentru orice număr real $a$

$det (A (a)) = (a - 1)^{2} + 2 \neq = 0$ , pentru orice număr real $a$ , deci sistemul are soluție unică

II.1, pe varianta din 2026

a) Un caz concret
det(A(1)) = 2
b) Pentru orice a
det(A(a)) = (a − 1)² + 2 ≠ 0, deci soluție unică
c) O condiție
soluția de la b) și z₀ = n x₀

Fiecare cerință o folosește pe cea dinainte: de la o valoare a parametrului, la orice valoare, apoi la valoarea care respectă o condiție.

Oficial: BAC 2021, model, II.1.a

Enunț: $A (a, b, c)$ are liniile $(1, 1, 1)$ , $(a, b, c)$ , $(b c, a c, ab)$ . Arătați că $det (A (0, 1, 2)) = 2$ .

$A (0, 1, 2) = 102110120$ , $det (A (0, 1, 2)) = 0 + 4 + 0 - 2 - 0 - 0 = 2$

Cât este det A(1) pentru A(a) cu liniile (1, a, a), (a, 3, a), (0, 2, 1)?

De ce sistemul cu det A(a) = a² − 2a + 3 are soluție unică pentru orice a?

Rezolvați x ∗ (3x/2) = 5x pentru x ∗ y = (2/3)(x − 3)(y − 3) + 3.

Problema II.2: legi de compoziție și polinoame

6 min

Tipic

x * y

pentru numere date; forma produs

Ce scrii

înlocuirea în formula legii

Tipic

element neutru, simetric, ecuație

x * f (x) = \dots

, divizibilitate

Ce scrii

calcul literal, rezolvarea ecuației

Tipic

legea iterată

x * x * x

, perechi de numere naturale, parte stabilă

Ce scrii

formula pentru compunerea repetată, apoi condiția

1 / 3

Cerința	Tipic	Ce scrii
a)	$x * y$ pentru numere date; forma produs	înlocuirea în formula legii
b)	element neutru, simetric, ecuație $x * f (x) = \dots$ , divizibilitate	calcul literal, rezolvarea ecuației
c)	legea iterată $x * x * x$ , perechi de numere naturale, parte stabilă	formula pentru compunerea repetată, apoi condiția

Oficial: BAC 2026, iunie-iulie, varianta 3, II.2.a și II.2.b

Legea: $x * y = \frac{2}{3} (x - 3) (y - 3) + 3$ , pe $R$ .

a) $0 * 2 = \frac{2}{3} (0 - 3) (2 - 3) + 3 = 2 + 3 = 5$

b) $x * \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (x - 3) (\frac{3 x}{2} - 3) + 3 = (x - 3) (x - 2) + 3 = x^{2} - 5 x + 9$ , pentru orice număr real $x$

$x^{2} - 5 x + 9 = 5 x$ , de unde obținem $x = 1$ sau $x = 9$

Oficial: BAC 2021, model, II.2.a

Enunț: în $Z_{3} [X]$ , $f = X^{4} + a X^{3} + \hat{2} X + b$ . Pentru $a = \hat{1}$ și $b = \hat{2}$ , arătați că $f (\hat{0}) + f (\hat{2}) = \hat{2}$ .

$f = X^{4} + X^{3} + \hat{2} X + \hat{2}$ , deci $f (\hat{0}) = \hat{2}$ și $f (\hat{2}) = \hat{16} + \hat{8} + \hat{4} + \hat{2} = \hat{30} = \hat{0}$

$f (\hat{0}) + f (\hat{2}) = \hat{2} + \hat{0} = \hat{2}$

Ce se cere la BAC

2 mincum apare la examen

II.1.a și II.2.a sunt aproape mereu calcule de 3–5 minute: un determinant, o compunere, o valoare. Nu le sări.
II.1.b: proprietăți pentru orice parametru (inversabilitate, soluție unică, o identitate cu determinanți).
II.2.b: element neutru, simetric, ecuații cu legea, divizibilitatea unui polinom.
c): cerințe cu numere naturale sau întregi, care se reduc la ecuații în $N$ sau $Z$ .
Polinom la II.2 (august 2026): varianta 4, II.2.b: $f = X^{3} + X^{2} + a X + 8$ este divizibil cu $X + 2$ ; barem: $f (- 2) = 4 - 2 a$ , iar $4 - 2 a = 0$ dă $a = 2$ .

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Semne greșite la Sarrus (termenii cu minus sunt pe diagonala secundară).
Legea confundată cu înmulțirea obișnuită.
„Pentru orice a” demonstrat pe exemple în loc de calcul literal.
Calcule în ℤₙ fără reducere modulo n.
Rezultatul de la b) nefolosit la c), când cerința c) este construită pe el.

Termeni-cheie

Problema II.1: Matrice care depind de un parametru, determinanți, matrice inversabile, sisteme liniare; trei cerințe a câte 5 puncte.
Problema II.2: O lege de compoziție (sau un polinom) pe o mulțime dată: calcule, proprietăți (element neutru, simetric, parte stabilă), ecuații.
Cerința a): Un calcul direct: un determinant pentru o valoare dată, o compunere x ∗ y pentru numere date, o valoare a polinomului.
Cerința b): O proprietate generală („pentru orice a”) sau o ecuație; cere calcul literal, nu numeric.
Cerința c): Cerința de sinteză: un parametru cu o condiție (soluție naturală, inversă cu elemente întregi), o ecuație cu legea iterată.
Regula lui Sarrus: Pentru determinantul de ordin 3: suma produselor pe diagonala principală și paralelele ei minus suma produselor pe diagonala secundară și paralelele ei.
Sistem de tip Cramer: Sistem cu n ecuații și n necunoscute cu determinantul matricei sistemului nenul; are soluție unică.
Forma „produs” a unei legi: Scrierea x ∗ y = k(x − a)(y − a) + a, care face calculele cu legea aproape imediate.

Notițele mele

Salvat local

Pe scurt

Problema II.1: matrice, determinanți, sisteme

Problema II.2: legi de compoziție și polinoame

Ce se cere la BAC

Greșeli care costă puncte

Termeni-cheie

Notițele mele

Surse