Morfisme și izomorfisme de grupuri

Definiția morfismului și a izomorfismului, proprietățile care se transportă (neutru, simetric, puteri, ordin), izomorfismele clasice și cum găsești funcția f(x) = ax + b care face izomorfismul.

24 min
La BAC: Subiectul al II-lea (2)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Morfism: f(x ∗ y) = f(x) ∘ f(y) pentru orice x, y. Izomorfism: morfism bijectiv.
02
Un morfism duce neutrul în neutru și simetricul în simetric: f(e) = e′, f(x′) = (f(x))′.
03
Pentru legea (x − a)(y − a) + a pe (a, +∞), f(x) = x − a este izomorfism către ((0, +∞), ·).
Truc: Muți originea în a și legea devine înmulțire obișnuită.
04
Pentru a găsi f(x) = mx + n: scrii f(x ∗ y) = f(x) ∘ f(y) pentru orice x, y și identifici coeficienții.
05
Bijectivitatea o arăți cel mai rapid dând inversa explicit (sau strict monotonă + surjectivă).

1 din 6

Pe scurt

1 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

$f : (G, *) \to (H, \circ)$ este morfism de grupuri dacă $f (x * y) = f (x) \circ f (y)$ pentru orice $x, y \in G$ .
Izomorfism = morfism bijectiv; grupurile sunt izomorfe.
Orice morfism verifică $f (e_{G}) = e_{H}$ și $f (x^{'}) = (f (x))^{'}$ .
Izomorfismele transportă proprietățile: comutativitate, ordinele elementelor, subgrupuri, rezultate de calcul.
Pentru $x * y = (x - a) (y - a) + a$ pe $(a, + \infty)$ : $f (x) = x - a$ este izomorfism către $((0, + \infty), \cdot)$ .

Definiții și proprietăți

2 min

Definiție. Fie $(G, *)$ și $(H, \circ)$ grupuri. O funcție $f : G \to H$ este morfism de grupuri dacă

f (x * y) = f (x) \circ f (y), pentru orice x, y \in G .

Un morfism bijectiv se numește izomorfism de grupuri.

Proprietăți (pentru un morfism $f$ ):

$f (e_{G}) = e_{H}$ : din $f (e_{G}) = f (e_{G} * e_{G}) = f (e_{G}) \circ f (e_{G})$ și simplificarea în $H$ ;
$f (x^{'}) = (f (x))^{'}$ : $f (x) \circ f (x^{'}) = f (x * x^{'}) = f (e_{G}) = e_{H}$ ;
$f (x^{n}) = (f (x))^{n}$ pentru orice $n \in Z$ ;
compunerea a două morfisme este morfism; inversa unui izomorfism este izomorfism;
un izomorfism păstrează comutativitatea, numărul elementelor, ordinul fiecărui element.

Morfismul: două drumuri, același rezultat

f(x + y) = f(x) · f(y) înseamnă că poți aduna întâi și aplica f la final, sau aplica f întâi și înmulți la final. Rezultatul e același.

Izomorfisme clasice

5 min

f (x) = e^{x}

(sau

a^{x}

a > 0

a \neq = 1

)

De la

(R, +)

((0, + \infty), \cdot)

De ce

e^{x + y} = e^{x} e^{y}

f (x) = ln x

De la

((0, + \infty), \cdot)

(R, +)

De ce

ln (x y) = ln x + ln y

f (x) = x - a

De la

(a, + \infty)

(x - a) (y - a) + a

((0, + \infty), \cdot)

De ce

f (x * y) = (x - a) (y - a)

f (x) = x - a

De la

R

x + y - a

(R, +)

De ce

f (x * y) = (x - a) + (y - a)

f (a) = A (a)

A (a) = (10 a 1)

De la

(R, +)

matricele

A (a)

, cu

\cdot

De ce

A (a) A (b) = A (a + b)

f (\hat{k}) = i^{k}

De la

(Z_{4}, +)

({1, i, - 1, - i}, \cdot)

De ce

i^{k + m} = i^{k} i^{m}

i^{4} = 1

1 / 6

Funcția	De la	La	De ce
$f (x) = e^{x}$ (sau $a^{x}$ , $a > 0$ , $a \neq = 1$ )	$(R, +)$	$((0, + \infty), \cdot)$	$e^{x + y} = e^{x} e^{y}$
$f (x) = ln x$	$((0, + \infty), \cdot)$	$(R, +)$	$ln (x y) = ln x + ln y$
$f (x) = x - a$	$(a, + \infty)$ cu $(x - a) (y - a) + a$	$((0, + \infty), \cdot)$	$f (x * y) = (x - a) (y - a)$
$f (x) = x - a$	$R$ cu $x + y - a$	$(R, +)$	$f (x * y) = (x - a) + (y - a)$
$f (a) = A (a)$ , $A (a) = (10 a 1)$	$(R, +)$	matricele $A (a)$ , cu $\cdot$	$A (a) A (b) = A (a + b)$
$f (\hat{k}) = i^{k}$	$(Z_{4}, +)$	$({1, i, - 1, - i}, \cdot)$	$i^{k + m} = i^{k} i^{m}$ , $i^{4} = 1$

Relația de morfism
Calculezi separat $f (x * y)$ și $f (x) \circ f (y)$ pentru $x, y$ oarecare și arăți că sunt egale.
Bijectivitatea
Dai inversa explicit ( $f^{- 1} (y) = \dots$ , cu verificarea că ajunge în $G$ ) sau arăți că $f$ este strict monotonă și surjectivă.
Concluzia
„deci $f$ este izomorfism de grupuri de la $(G, *)$ la $(H, \circ)$ ”.

Exemple rezolvate

12 min 3 întrebări la final

Exercițiu de tip BAC: izomorfism pe un interval

$G = (2, + \infty)$ , $x * y = x y - 2 x - 2 y + 6$ , $f : G \to (0, + \infty)$ , $f (x) = x - 2$ .

Morfism: $x * y = (x - 2) (y - 2) + 2$ , deci $f (x * y) = (x - 2) (y - 2) = f (x) f (y)$ , pentru orice $x, y \in G$ .

Bijectivitate: pentru orice $t \in (0, + \infty)$ , ecuația $f (x) = t$ are soluția unică $x = t + 2 \in G$ . Deci $f$ este bijectivă.

Concluzie: $f$ este izomorfism de la $(G, *)$ la $((0, + \infty), \cdot)$ .

Aplicație: $f (x * x * \dots * x) = f (x)^{n}$ (de $n$ ori), deci $x * x * \dots * x = (x - 2)^{n} + 2$ .

Pornind de la BAC 2022, model, II.2

În subiect, $M = [1, + \infty)$ și $x * y = lo g_{2} ((2^{x} - 2) (2^{y} - 2) + 2)$ ; baremul oficial dă la b) elementul neutru $e = lo g_{2} 3$ . Pe $M$ elementul 1 nu are simetric ( $1 * y = 1$ ), deci izomorfismul de grupuri se face pe $M^{'} = (1, + \infty)$ , unde $(M^{'}, *)$ este grup.

Fie $f : M^{'} \to (0, + \infty)$ , $f (x) = 2^{x} - 2$ . Din definiția legii, $z = x * y$ verifică $2^{z} = (2^{x} - 2) (2^{y} - 2) + 2$ , deci

f (x * y) = 2^{x * y} - 2 = (2^{x} - 2) (2^{y} - 2) = f (x) f (y) .

Bijectivitate: pentru orice $t > 0$ , $f (x) = t ⟺ x = lo g_{2} (t + 2)$ , iar $t + 2 > 2$ dă $x > 1$ , adică $x \in M^{'}$ . Deci $f$ este izomorfism de la $(M^{'}, *)$ la $((0, + \infty), \cdot)$ . (Pe tot $M$ , aceeași formulă duce 1 în 0, iar $([0, + \infty), \cdot)$ nu este grup.)

Verificare cu baremul: neutrul trebuie dus în 1, iar $f (lo g_{2} 3) = 3 - 2 = 1$ .

BAC 2024, model, II.2.c (relația de morfism)

Pe $M = [3, + \infty)$ : $x \circ y = m (x - 3) (y - 3) + 3$ , $m > 0$ . Pentru $m = 1$ și $f : M \to M$ , $f (x) = 3 + x - 3$ , arătați că $f (x \circ y) = f (x) \circ f (y)$ pentru orice $x, y \in M$ .

f (x \circ y) = 3 + (x - 3) (y - 3) + 3 - 3 = 3 + x - 3 y - 3

f (x) \circ f (y) = (f (x) - 3) (f (y) - 3) + 3 = x - 3 y - 3 + 3 = f (x \circ y) .

Barem oficial: $f (x \circ y)$ 2p; $f (x) \circ f (y)$ și egalitatea 3p. Cerința a fost doar relația de morfism (f nu e aici izomorfism de grupuri: pe $[3, + \infty)$ elementul 3 nu are simetric).

Exercițiu de tip BAC: ℤ₄ și rădăcinile de ordinul 4 ale unității

$f : (Z_{4}, +) \to (U_{4}, \cdot)$ , $U_{4} = {1, i, - 1, - i}$ , $f (\hat{k}) = i^{k}$ .

$f$ este bine definită: dacă $\hat{k} = \overset{m}{^}$ , atunci $k - m = 4 q$ și $i^{k} = i^{m} \cdot (i^{4})^{q} = i^{m}$ .

Morfism: $f (\hat{k} + \overset{m}{^}) = i^{k + m} = i^{k} \cdot i^{m} = f (\hat{k}) f (\overset{m}{^})$ .

Bijectivitate: $f (\hat{0}) = 1$ , $f (\hat{1}) = i$ , $f (\hat{2}) = - 1$ , $f (\hat{3}) = - i$ , valori distincte care acoperă $U_{4}$ .

Exercițiu de tip BAC: determinarea unui morfism afin

Pe $R$ : $x \circ y = x + y + 3$ . Determinați $n \in R$ pentru care $f (x) = 2 x + n$ este morfism de la $(R, +)$ la $(R, \circ)$ .

$f (x + y) = 2 x + 2 y + n$ și $f (x) \circ f (y) = (2 x + n) + (2 y + n) + 3 = 2 x + 2 y + 2 n + 3$ .

Egalitatea pentru orice $x, y$ dă $n = 2 n + 3$ , deci $n = - 3$ . Funcția $f (x) = 2 x - 3$ este și bijectivă (inversa $f^{- 1} (y) = \frac{y + 3}{2}$ ), deci izomorfism.

Cât este f(e) pentru un morfism de grupuri f?

Care funcție duce ((3, +∞), (x − 3)(y − 3) + 3) în ((0, +∞), ·)?

Pentru ce n este f(x) = 2x + n morfism de la (ℝ, +) la (ℝ, ∘), x ∘ y = x + y + 3?

Ce se cere la BAC

2 mincum apare la examen

„Arătați că $f$ este izomorfism de grupuri” (relație de morfism + bijectivitate) sau „Determinați $a, b$ pentru care $f (x) = a x + b$ este izomorfism”.
Un izomorfism ascuns ușurează punctul c): la model 2022 (II.2), $f (x) = 2^{x} - 2$ transformă legea în înmulțire; neutrul oficial $e = lo g_{2} 3$ corespunde lui 1.
Model 2024, II.2.c: doar relația $f (x \circ y) = f (x) \circ f (y)$ pentru $f (x) = 3 + x - 3$ (2p + 3p). Este singurul item cu morfism din subiectele M_mate-info 2023–2026; „izomorfism” nu a fost cerut în această perioadă.
Proprietățile transportate se folosesc ca argument: „cum $f$ este izomorfism și $f (e_{G}) = e_{H}$ , obținem…”.

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Doar relația de morfism, fără bijectivitate, când se cere izomorfism.
Inversa care iese din domeniu: la $f (x) = x - 2$ pe $(2, + \infty)$ , verifici $t + 2 > 2$ .
Direcția greșită: $f$ de la $(G, *)$ la $(H, \circ)$ înseamnă $f (x * y) = f (x) \circ f (y)$ , nu $f (x \circ y) = f (x) * f (y)$ .
Funcție nebine definită pe $Z_{n}$ : trebuie arătat că rezultatul nu depinde de reprezentantul clasei.

Termeni-cheie

Morfism de grupuri: f: (G, ∗) → (H, ∘) cu f(x ∗ y) = f(x) ∘ f(y), pentru orice x, y ∈ G.
Izomorfism de grupuri: Morfism de grupuri bijectiv. Grupurile se numesc izomorfe (G ≅ H).
Neutrul se transportă: Dacă f este morfism de grupuri, atunci f(e_G) = e_H.
Simetricul se transportă: f(x′) = (f(x))′, simetricul lui f(x) în H; în general f(xⁿ) = (f(x))ⁿ pentru orice n întreg.
Inversul unui izomorfism: Dacă f este izomorfism, f⁻¹ este tot izomorfism; compunerea a două morfisme este morfism.
Izomorfisme clasice: (ℝ, +) → ((0, +∞), ·), x ↦ eˣ; ((0, +∞), ·) → (ℝ, +), x ↦ ln x; ((a, +∞), (x − a)(y − a) + a) → ((0, +∞), ·), x ↦ x − a.
Ce păstrează un izomorfism: Comutativitatea, numărul de elemente, ordinul fiecărui element, subgrupurile (imaginea unui subgrup este subgrup).

Notițele mele

Salvat local

Surse

Programa de examen Matematică M_mate-info, Bacalaureat 2015 (Anexa 2 la OMEN 4430/2014), clasa a XII-a, Grupuri
BAC 2022, model, Subiectul al II-lea, 2 (subiect și barem)
BAC 2020, sesiunea iunie, varianta 6, Subiectul al II-lea, 2.b
BAC 2024, model, Subiectul al II-lea, 2.c (subiect și barem)