Monotonie și puncte de extrem: teoremele lui Fermat, Rolle și Lagrange

Puncte de extrem, teorema lui Fermat, teoremele lui Rolle și Lagrange cu interpretarea geometrică, consecințele lor (semnul derivatei dă monotonia, corolarul despre derivata într-un punct) și tabelul de variație cerut la Subiectul al III-lea.

30 min
La BAC: Subiectul al III-lea (1)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Semnul lui f′ dă monotonia: f′ > 0 pe un interval ⇒ f strict crescătoare acolo; f′ < 0 ⇒ strict descrescătoare.
02
Extrem = schimbare de semn a lui f′: − → + dă minim, + → − dă maxim. Doar f′(x₀) = 0 nu ajunge (x³ în 0).
Truc: Vale = cobori, apoi urci; vârf = urci, apoi cobori.
03
Fermat: extrem în interior + derivabilă ⇒ f′(x₀) = 0. Îți spune unde să cauți extremele.
04
Rolle: f(a) = f(b) ⇒ undeva între ele tangenta e orizontală. Lagrange: undeva tangenta e paralelă cu coarda: f′(c) = (f(b) − f(a))/(b − a).
05
Monotonia se stabilește pe intervale, nu pe reuniuni: 1/x e descrescătoare pe (−∞, 0) și pe (0, +∞), dar nu pe reuniune.
06
Corolarul lui Lagrange: la funcții pe ramuri continue, f′(x₀) = limita lui f′(x) când x → x₀.

1 din 7

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

Extrem local: $f (x) \geq f (x_{0})$ (minim) sau $f (x) \leq f (x_{0})$ (maxim) pe o vecinătate a lui $x_{0}$ .
Fermat: extrem interior + derivabilă $\Rightarrow f^{'} (x_{0}) = 0$ .
Rolle: continuă pe $[a, b]$ , derivabilă pe $(a, b)$ , $f (a) = f (b)$ $\Rightarrow$ există $c$ cu $f^{'} (c) = 0$ .
Lagrange: continuă pe $[a, b]$ , derivabilă pe $(a, b)$ $\Rightarrow$ există $c$ cu $f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a)$ .
Consecințe: semnul lui $f^{'}$ pe un interval dă monotonia; $f^{'} = 0$ pe un interval $\Rightarrow$ constantă.
Extrem: $f^{'}$ își schimbă semnul în $x_{0}$ .

Puncte de extrem și teorema lui Fermat

4 min o întrebare la final

Definiție. Fie $f : D \to R$ . Punctul $x_{0} \in D$ este punct de minim local dacă există o vecinătate $V$ a lui $x_{0}$ astfel încât $f (x) \geq f (x_{0})$ pentru orice $x \in V \cap D$ ; punct de maxim local dacă $f (x) \leq f (x_{0})$ . Dacă inegalitatea are loc pe tot $D$ , extremul este global.

Teorema lui Fermat. Fie $f : I \to R$ , $I$ interval, și $x_{0}$ un punct de extrem interior lui $I$ . Dacă $f$ este derivabilă în $x_{0}$ , atunci $f^{'} (x_{0}) = 0$ .

Interpretare geometrică: în punctul de extrem, tangenta la grafic este paralelă cu $O x$ .

Ce spune teorema lui Fermat?

Teoremele lui Rolle și Lagrange

9 min o întrebare la final

Teorema lui Rolle. Fie $f : [a, b] \to R$ continuă pe $[a, b]$ , derivabilă pe $(a, b)$ , cu $f (a) = f (b)$ . Atunci există $c \in (a, b)$ astfel încât $f^{'} (c) = 0$ .

Interpretare geometrică: există un punct al graficului, între capete, în care tangenta este paralelă cu $O x$ .

Teorema lui Lagrange. Fie $f : [a, b] \to R$ continuă pe $[a, b]$ și derivabilă pe $(a, b)$ . Atunci există $c \in (a, b)$ astfel încât

\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} = f^{'} (c)

Interpretare geometrică: există un punct al graficului în care tangenta este paralelă cu coarda care unește punctele $(a, f (a))$ și $(b, f (b))$ .

Exemplul 1. Punctele c din Rolle și Lagrange

a) Rolle pentru $f (x) = x^{2} - 4 x$ pe $[0, 4]$ : $f$ polinomială (continuă, derivabilă), $f (0) = f (4) = 0$ . Din $f^{'} (c) = 2 c - 4 = 0$ : $c = 2 \in (0, 4)$ .

b) Lagrange pentru $f (x) = x^{2}$ pe $[1, 3]$ : $\frac{9 - 1}{3 - 1} = 4 = 2 c$ , deci $c = 2$ .

c) Lagrange pentru $f (x) = ln x$ pe $[1, e]$ : $\frac{1 - 0}{e - 1} = \frac{1}{c}$ , deci $c = e - 1 \in (1, e)$ .

Tangenta paralelă cu coarda

c = 1,5panta = 3

Coarda AB are panta (9 − 1)/(3 − 1) = 4. Mută cursorul: panta tangentei ajunge la 4 exact în c = 2, rezultatul de la punctul b).

Consecințele teoremei lui Lagrange (pentru $f$ derivabilă pe un interval $I$ ):

$f^{'} (x) = 0$ pentru orice $x \in I$ $\Rightarrow$ $f$ este constantă pe $I$ ;
$f^{'} (x) \geq 0$ pe $I$ $\Rightarrow$ $f$ crescătoare; $f^{'} (x) > 0$ pe $I$ (sau $\geq 0$ cu zerouri izolate) $\Rightarrow$ strict crescătoare;
$f^{'} (x) \leq 0$ pe $I$ $\Rightarrow$ $f$ descrescătoare; $f^{'} (x) < 0$ $\Rightarrow$ strict descrescătoare.

Corolarul teoremei lui Lagrange. Fie $f$ continuă în $x_{0}$ și derivabilă pe o vecinătate a lui $x_{0}$ , cu excepția lui $x_{0}$ . Dacă există limita lui $f^{'} (x)$ când $x \to x_{0}$ , egală cu $l$ , atunci $f$ are derivată în $x_{0}$ și $f^{'} (x_{0}) = l$ ; dacă $l$ este finit, $f$ este derivabilă în $x_{0}$ .

Exemplul 2. Corolarul pentru o funcție pe ramuri

$f (x) = x^{2} + x$ pentru $x \leq 0$ și $f (x) = sin x$ pentru $x > 0$ . $f$ este continuă în 0 (ambele ramuri dau 0). Pentru $x < 0$ , $f^{'} (x) = 2 x + 1 \to 1$ ; pentru $x > 0$ , $f^{'} (x) = cos x \to 1$ . Din corolar, $f_{s}^{'} (0) = f_{d}^{'} (0) = 1$ , deci $f$ este derivabilă în 0 și $f^{'} (0) = 1$ .

Ce garantează teorema lui Lagrange?

Monotonie și extreme: tabelul de variație

4 min

Domeniul și derivata
Stabilești domeniul, calculezi $f^{'}$ și o aduci la formă factorizată.
Zerourile
Rezolvi $f^{'} (x) = 0$ în domeniu.
Semnul
Faci tabelul de semn al lui $f^{'}$ (fiecare factor, semnul lui pe intervale).
Concluzia
Scrii intervalele de monotonie și punctele de extrem, cu valorile $f (x_{0})$ .

Exemplul 3. Polinom de gradul 3

$f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ : $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ ; $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x \in {- 1, 1}$ .

f^{'} (x)

(-\infty, -1)

+

-1

0

(-1, 1)

-

0

(1, +\infty)

+

f (x)

(-\infty, -1)

crește

-1

3

(maxim)

(-1, 1)

scade

- 1

(minim)

(1, +\infty)

crește

1 / 2

$x$	$(- \infty, - 1)$	$- 1$	$(- 1, 1)$	$1$	$(1, + \infty)$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$	crește	$3$ (maxim)	scade	$- 1$ (minim)	crește

$f$ este strict crescătoare pe $(- \infty, - 1]$ și pe $[1, + \infty)$ , strict descrescătoare pe $[- 1, 1]$ ; $x = - 1$ este punct de maxim local, $x = 1$ punct de minim local.

Semnul pantei dă monotonia

x₀ = −1,6panta = 4,68

Panta este f′(x₀) = 3x₀² − 3: pozitivă unde f crește, negativă unde f scade, 0 în cele două extreme.

Exemplul 4. Funcție cu logaritm

$f (x) = x ln x$ , $x > 0$ : $f^{'} (x) = ln x + 1$ , $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 1/ e$ . $f^{'} < 0$ pe $(0, 1/ e)$ și $f^{'} > 0$ pe $(1/ e, + \infty)$ , deci $x = 1/ e$ este punct de minim, cu $f (1/ e) = - 1/ e$ (minim global pe $(0, + \infty)$ ).

Itemi oficiali rezolvați

7 min o întrebare la final

BAC 2021, august, varianta 4, III.1.b

$f (x) = x^{4} - 2 - 4 ln x$ , $x > 0$ , $f^{'} (x) = \frac{4 ( x ^{2} + 1 ) ( x + 1 ) ( x - 1 )}{x}$ . Determinați intervalele de monotonie.

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ (pe $(0, + \infty)$ , ceilalți factori sunt pozitivi) (2p).

$f^{'} (x) \leq 0$ pentru $x \in (0, 1]$ , deci $f$ este descrescătoare pe $(0, 1]$ ; $f^{'} (x) \geq 0$ pentru $x \in [1, + \infty)$ , deci $f$ este crescătoare pe $[1, + \infty)$ (3p).

Model BAC 2021, III.1.c

Demonstrați că $f$ are un unic punct de extrem, unde

f (x) = \frac{x e ^{x}}{e ^{x} + 2}, f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( e ^{x} + 2 x + 2 )}{( e ^{x} + 2 ) ^{2}}

Semnul lui $f^{'}$ este semnul lui $g (x) = e^{x} + 2 x + 2$ . $g$ este continuă și strict crescătoare, cu limitele $- \infty$ și $+ \infty$ la capete, deci are un unic zero $c$ (3p). $f^{'} < 0$ pe $(- \infty, c)$ și $f^{'} > 0$ pe $(c, + \infty)$ : $f$ este strict descrescătoare, apoi strict crescătoare, deci $c$ este unicul punct de extrem (minim) (2p).

Simulare BAC 2024, III.1.b. Intervale de monotonie

$f : R \to R$ , $f (x) = (x + 6) x^{2} + 4$ , cu $f^{'} (x) = \frac{2 ( x ^{2} + 3 x + 2 )}{x ^{2} + 4}$ . Determinați intervalele de monotonie.

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 3 x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2$ sau $x = - 1$ (2p).

$f^{'} (x) \geq 0$ pe $(- \infty, - 2]$ , deci $f$ este crescătoare pe $(- \infty, - 2]$ ; $f^{'} (x) \leq 0$ pe $[- 2, - 1]$ , deci $f$ este descrescătoare pe $[- 2, - 1]$ ; $f^{'} (x) \geq 0$ pe $[- 1, + \infty)$ , deci $f$ este crescătoare pe $[- 1, + \infty)$ (3p).

BAC 2026, sesiunea specială, varianta 2, III.1.c. Semnul derivatei printr-o funcție auxiliară

$f : (- 1, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{e ^{x} + 2 x + 1}{x + 1}$ , $f^{'} (x) = \frac{x e ^{x} + 1}{( x + 1 ) ^{2}}$ . Demonstrați că $f$ este strict crescătoare.

Fie $g : [- 1, + \infty) \to R$ , $g (x) = x e^{x} + 1$ : $g^{'} (x) = (x + 1) e^{x} \geq 0$ , deci $g$ este crescătoare; cum $g (- 1) = 1 - \frac{1}{e} > 0$ , rezultă $g (x) > 0$ pentru orice $x \in (- 1, + \infty)$ (3p). Cum $(x + 1)^{2} > 0$ , obținem $f^{'} (x) > 0$ pe $(- 1, + \infty)$ , deci $f$ este strict crescătoare (2p).

Toate valorile și semnele au fost verificate numeric.

Când e x₀ punct de maxim, după semnul lui f′?

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

III.1.b: intervalele de monotonie (2021 august: descrescătoare pe $(0, 1]$ , crescătoare pe $[1, + \infty)$ ).
Exemple recente la III.1.b: intervalele de monotonie (simulare 2024: crescătoare pe $(- \infty, - 2]$ și pe $[- 1, + \infty)$ , descrescătoare pe $[- 2, - 1]$ ; 2025 iunie rezervă: puncte critice $\frac{1}{2}$ și 2).
III.1.c: „Demonstrați că $f$ are un unic punct de extrem” (model 2021; model 2022 pentru o funcție cu modul, cu extrem în 0 unde nu e derivabilă) sau „Demonstrați că $f$ este strict crescătoare” (2026 specială: semnul numărătorului lui $f^{'}$ printr-o funcție auxiliară).
Rolle și Lagrange apar mai rar direct; ideea lor (o funcție cu $f (a) = f (b)$ are un punct critic între ele; diferența de valori controlată de derivată) se folosește în demonstrații de inegalități și în numărul de soluții.

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Extrem declarat doar din $f^{'} (x_{0}) = 0$ , fără schimbarea semnului.
Monotonie pe reuniuni de intervale.
Tabelul de semn făcut pentru $f$ în loc de $f^{'}$ .
Ipotezele lui Rolle/Lagrange nescrise (continuitate pe închis, derivabilitate pe deschis).
Valoarea extremului omisă când se cere „extremul funcției” (se cere $f (x_{0})$ , nu doar $x_{0}$ ).

Termeni-cheie

Punct de minim local: x₀ ∈ D pentru care există o vecinătate V a lui x₀ cu f(x) ≥ f(x₀), pentru orice x ∈ V ∩ D (analog maxim, cu ≤).
Punct de extrem: Punct de minim sau de maxim local; valoarea f(x₀) se numește extrem al funcției.
Teorema lui Fermat: Dacă x₀ este punct de extrem interior intervalului și f este derivabilă în x₀, atunci f′(x₀) = 0.
Punct critic: Zero al derivatei; nu orice punct critic este punct de extrem (x³ în 0).
Teorema lui Rolle: f continuă pe [a, b], derivabilă pe (a, b), f(a) = f(b) ⇒ există c ∈ (a, b) cu f′(c) = 0.
Teorema lui Lagrange: f continuă pe [a, b], derivabilă pe (a, b) ⇒ există c ∈ (a, b) cu f(b) − f(a) = f′(c)(b − a).
Monotonie din semnul derivatei: Pe un interval: f′ > 0 ⇒ f strict crescătoare; f′ < 0 ⇒ strict descrescătoare; f′ = 0 ⇒ f constantă.
Extrem din schimbarea semnului: Dacă f′ își schimbă semnul în x₀ (f continuă în x₀), atunci x₀ este punct de extrem: minim pentru − → +, maxim pentru + → −.
Corolarul teoremei lui Lagrange: f continuă în x₀, derivabilă pe o vecinătate a lui x₀ fără x₀, și există lim (x → x₀) f′(x) = l ⇒ f are derivată în x₀ și f′(x₀) = l.

Notițele mele

Salvat local