Legile lui Kirchhoff: rețele cu mai multe surse
Nodul, ochiul și ramura unei rețele; legea I (a curenților) și legea a II-a (a tensiunilor), cu o metodă fără greșeli de semn și probleme cu două surse, ca la BAC.
- 30 min
- La BAC: Subiectul al II-lea (C) · Subiectul al III-lea (C)
- Verificat pe bareme
ții minte doar fișa asta și ești acoperit
Fișa de aur
- 01
Legea I (noduri): ce intră = ce iese. Alegi un sens pentru fiecare curent; dacă iese negativ, sensul real e invers.
- 02
Legea a II-a (ochiuri): parcurgi ochiul într-un sens; ΣE = ΣI·R, unde R include r al fiecărei surse.
Truc: E în sensul parcurgerii: +. Curent în sensul parcurgerii: +.
- 03
Pentru o rețea cu b ramuri ai nevoie de b ecuații independente: (nod − 1) ecuații de nod și restul de ochi.
- 04
O sursă poate funcționa ca receptor (curent invers prin ea): atunci intensitatea prin ea iese negativă în sensul ales.
- 05
Poți lua tensiunea între noduri: UMN = I·R pe orice ramură cu rezistor: UMN = E − I·r pentru o ramură cu sursă.
Pe scurt
Culorile din lecție:termenidee-cheie
- Nod: punct cu cel puțin 3 ramuri. Ochi: circuit închis. Ramură: între două noduri.
- Legea I: ΣIintrare = ΣIieșire.
- Legea a II-a: ΣE = ΣI·R pe un ochi (cu r incluse).
- Pentru b ramuri: b ecuații independente; necunoscute: curenții din ramuri.
- Curent negativ = sens real invers față de cel ales.
Definiții
Într-o rețea electrică există ramuri (porțiuni parcurse de același curent), noduri (unde se întâlnesc ramuri) și ochiuri (circuite închise). Kirchhoff leagă mărimile din rețea prin două legi, care rezultă din conservarea sarcinii și a energiei.
- Legea I (nodului): ΣI(intră) = ΣI(iese). Ex.: I₁ + I₂ = I₃ într-un nod cu două ramuri care intră și una care iese.
- Legea a II-a (ochiului): pe un ochi, într-un sens ales de parcurgere, ΣE = ΣI·R, cu semnul „+" pentru E și I orientați în sensul parcurgerii și „−" altfel.
Un nod de rețea: curentul care intră (săgeata mare) se împarte pe ramurile care ies. Legea I: suma curenților care intră este egală cu suma curenților care ies.
Ilustrație ZECE, generată cu AI pentru această lecție.
Enunță legea I a lui Kirchhoff.
De câte ecuații ai nevoie pentru o rețea cu 3 ramuri și 2 noduri?
Metoda de rezolvare
- Desenează rețeaua și notează nodurile
Notează nodurile M, N etc. și ramurile între ele. Pe fiecare ramură pune un curent cu sens arbitrar (I₁, I₂, I₃).
- Scrie legea I pe noduri
Pentru n noduri scrie n − 1 ecuații independente (a n-a rezultă din celelalte).
- Scrie legea a II-a pe ochiuri
Alege un sens de parcurgere pe fiecare ochi. Pentru fiecare sursă: +E dacă o parcurgi de la − la +; pentru fiecare rezistor/r: +I·R dacă curentul are sensul parcurgerii.
- Rezolvă sistemul și interpretează semnele
Curent negativ înseamnă sens real invers; sursa respectivă funcționează ca receptor.
- Verifică
Testează legea I într-un nod și o tensiune între noduri calculată pe două ramuri diferite: trebuie să iasă la fel.
Ce înseamnă un curent negativ într-o ramură, după rezolvare?
Probleme rezolvate
Date: ramura 1: E₁ = 10 V, r₁ = 1 Ω; ramura 2: E₂ = 2 V, r₂ = 1 Ω; ramura 3: rezistor R = 2 Ω. Sursele au polii + spre același nod (A). Curenții I₁, I₂ ies din surse spre A și I₃ trece prin R de la A la B.
Legea I în A: I₁ + I₂ = I₃
Ochi (ramura 1 + ramura 3): E₁ = I₁·r₁ + I₃·R
Ochi (ramura 2 + ramura 3): E₂ = I₂·r₂ + I₃·R
Substituind I₁ = 10 − 2·I₃ și I₂ = 2 − 2·I₃ în I₁ + I₂ = I₃: 12 − 4·I₃ = I₃ ⇒ 5·I₃ = 12
rezultat final: I₃ = 2,4 A
I₁ = 10 − 2·2,4 = 5,2 A; I₂ = 2 − 2·2,4 = −2,8 A
Curentul I₂ este negativ: prin sursa 2 curentul circulă în sens invers (sursa 2 se încarcă). Control: I₁ + I₂ = 5,2 − 2,8 = 2,4 = I₃ ✓; UAB = I₃·R = 4,8 V = E₁ − I₁·r₁ = 10 − 5,2 ✓.
Date: două generatoare E₁ = E₂ = 15 V, r₁ = 1 Ω, r₂ = 2 Ω; R₃ = 6 Ω (între nodurile M și N); ampermetrul din ramura sursei 1 are RA = 2 Ω și indică IA = 1 A; în ramura sursei 2 se află R₂ (necunoscut).
a) Ramura 1: E₁ = IA·(r₁ + RA) + I₃·R₃ ⇒ 15 = 1·3 + 6·I₃ ⇒ I₃ = 2 A
UMN = I₃·R₃
rezultat final: UMN = 12 V
b) IA + I₂ = I₃ ⇒ I₂ = 2 − 1 = 1 A; E₂ = I₂·(r₂ + R₂) + I₃·R₃ ⇒ 15 = 1·(2 + R₂) + 12
rezultat final: R₂ = 1 Ω
c) Voltmetrul ideal la bornele sursei 1: UV = E₁ − IA·r₁ = 15 − 1·1
rezultat final: UV = 14 V
d) Sursa 1 este înlocuită cu un fir (E₁ și r₁ dispar; ampermetrul rămâne în ramura respectivă): rezistența echivalentă văzută de sursa 2: Re = R₂ + R₃·RA/(R₃ + RA) = 1 + 12/8 = 2,5 Ω; I' = E₂/(Re + r₂) = 15/4,5
rezultat final: I' ≈ 3,3 A
Valorile au fost recalculate în Node: P1 prin sistemul Kirchhoff și prin metoda potențialului nodului (V = (E₁/r₁ + E₂/r₂)/(1/r₁ + 1/r₂ + 1/R) = 4,8 V; I₁ = 5,2 A; I₂ = −2,8 A; I₃ = 2,4 A); P2: 2 A; 12 V; 1 A; 1 Ω; 14 V; 2,5 Ω; 3,33 A (concordă cu baremul).
Ce se cere la BAC
- C.II (model 2026): rețea cu două generatoare și trei ramuri. Cerințe: tensiunea între două noduri, o rezistență necunoscută dintr-o ecuație de ochi, indicația unui voltmetru la bornele unei surse, curentul prin cealaltă sursă după înlocuirea primeia cu un fir.
- Rețelele cu două surse apar în aria C la Subiectul al II-lea sau al III-lea; Kirchhoff poate fi aplicat direct sau pot fi folosite reduceri echivalente (serie/paralel).
Greșeli care costă puncte
- Lipsa unei ecuații independente (mai puține ecuații decât necunoscute).
- Semne amestecate între sensul de parcurgere și sensul curentului.
- r omis în ΣI·R.
- Interpretarea curentului negativ: nu e o greșeală, e un sens invers.
- Înlocuirea unei surse cu un fir: se păstrează rezistența interioară a celeilalte surse și toate rezistoarele (inclusiv ampermetrul).
Termeni-cheie
- Rețea electrică
- Ansamblu de generatoare și rezistori legate prin conductoare, care formează mai multe circuite.
- Nod de rețea
- Punct în care se întâlnesc cel puțin trei conductoare (trei ramuri).
- Ochi de rețea
- Circuit închis format din ramuri ale rețelei, parcurs într-un sens ales.
- Ramură
- Porțiune de circuit între două noduri, parcursă de același curent.
- Legea I a lui Kirchhoff
- Suma curenților care intră într-un nod este egală cu suma curenților care ies din nod: ΣIintrare = ΣIieșire.
- Legea a II-a a lui Kirchhoff
- Pe un ochi de rețea, suma algebrică a t.e.m. este egală cu suma algebrică a căderilor de tensiune: ΣE = ΣI·R (rezistențele includ și pe cele interioare ale surselor).
- Convenție de semne
- Alegi un sens de parcurgere pe ochi: curentul parcurs în acel sens și t.e.m. care ajută parcurgerea sunt pozitive; altfel negative.