Energia cinetică, energia potențială și conservarea energiei mecanice
Energia cinetică și teorema variației ei, energia potențială gravitațională, energia mecanică și conservarea ei, cu probleme pe pendul, plan înclinat, resort și macara.
- 32 min
- La BAC: Subiectul al III-lea (A) · I (A) · Subiectul al II-lea (A)
- Verificat pe bareme
ții minte doar fișa asta și ești acoperit
Fișa de aur
- 01
Ec = m·v²/2; Ep = m·g·h (nivel zero ales de tine); E = Ec + Ep.
- 02
Teorema variației energiei cinetice: ΔEc = Ltotal (suma lucrurilor tuturor forțelor, inclusiv frecarea cu semn negativ).
Truc: Final minus inițial, egal cu lucrul total.
- 03
Conservarea: fără frecare, Ec₁ + Ep₁ = Ec₂ + Ep₂. Cu frecare: E₂ − E₁ = Lf (negativ).
- 04
La cădere liberă de la h: v = √(2·g·h); pentru h = 20 m, v = 20 m/s; masa nu contează.
- 05
La pendul: tensiunea din fir nu lucrează (perpendiculară pe deplasare); viteza depinde doar de diferența de nivel.
- 06
Variația Ep nu depinde de nivelul zero; Ep da. Spune în rezolvare unde pui nivelul zero (de obicei solul).
Pe scurt
Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie
- Ec = m·v²/2; Ep = m·g·h față de un nivel de referință; E = Ec + Ep.
- Teorema: ΔEc = Ltotal = suma lucrurilor tuturor forțelor.
- Conservarea: fără frecare, E₁ = E₂. Cu frecare, E₂ − E₁ = Lf.
- Variația energiei potențiale gravitaționale: ΔEp = m·g·Δh = −Lg.
- Pendul: tensiunea nu lucrează (⊥ viteza).
- Resort: lucrul forței elastice Le = −k·x²/2, deci energia potențială elastică k·x²/2.
Energia cinetică și teorema variației ei
Ec = m·v²/2. Ea nu depinde de direcție și nu e negativă. Pentru un corp care trece de la v₁ la v₂:
ΔEc = m·v₂²/2 − m·v₁²/2 = Ltotal
Ltotal este suma lucrurilor tuturor forțelor: greutate, frecare, tensiune, forța de tracțiune. Teorema funcționează oricare ar fi forțele (și constante, și variabile).
Ce arată teorema variației energiei cinetice?
Energia potențială gravitațională și energia mecanică
Pentru corpul din câmp gravitațional uniform, față de un nivel zero ales: Ep = m·g·h. Variația ei, ΔEp = m·g·(h₂ − h₁), este egală cu −Lg, lucrul greutății cu semn schimbat. Energia mecanică a sistemului corp–Pământ: E = Ec + Ep.
Legea conservării. Dacă asupra corpului lucrează numai forțe conservative (greutatea, forța elastică), E = constant: Ec₁ + Ep₁ = Ec₂ + Ep₂. Dacă mai lucrează și forțe neconservative (frecare), E₂ − E₁ = Lneconservative (negativ pentru frecare).
Pendulul fără frecări: în pozițiile extreme bila e o clipă în repaus (doar Ep), jos are viteza maximă (Ec maximă). Fără frecări, Ec + Ep rămâne constantă.
Ilustrație ZECE, generată cu AI pentru această lecție.
Când se conservă energia mecanică?
Probleme rezolvate
Date: m = 2 kg, v₁ = 4 m/s, v₂ = 10 m/s.
ΔEc = m·(v₂² − v₁²)/2 = 2·(100 − 16)/2
rezultat final: ΔEc = 84 J
Dacă variația apare pe o distanță d = 12 m, forța rezultantă medie (constantă) este F = ΔEc/d = 7 N.
Date: h = 20 m, v₀ = 0, g = 10 m/s², nivel zero la sol.
Conservarea: m·g·h = m·v²/2 ⇒ v = √(2·g·h) = √400
rezultat final: v = 20 m/s
Ec la sol = m·g·h; pentru m = 1 kg: Ec = 200 J. Masa nu influențează viteza.
Date: m = 0,2 kg, fir de lungime l = 1,5 m, eliberat din repaus de la unghiul α = 60° față de verticală.
Înălțimea inițială față de punctul cel mai de jos: h = l·(1 − cos α) = 1,5·(1 − 0,5) = 0,75 m
Tensiunea nu lucrează; conservarea: m·g·h = m·v²/2 ⇒ v = √(2·g·h) = √15
rezultat final: v ≈ 3,87 m/s
Date: v₀ = 10 m/s, μ = 0,25, g = 10 m/s².
ΔEc = Lf ⇒ 0 − m·v₀²/2 = −μ·m·g·d
d = v₀²/(2·μ·g) = 100/(2·0,25·10)
rezultat final: d = 20 m
Date: resort cu k = 400 N/m comprimat cu x = 0,1 m, lansează un corp cu m = 0,5 kg pe suprafață orizontală fără frecare.
Energia elastică: k·x²/2 = 400·0,01/2 = 2 J, transformată în energie cinetică:
m·v²/2 = 2 J ⇒ v = √(2·2/0,5) = √8
rezultat final: v ≈ 2,83 m/s
Date: m = 1 kg coboară de la înălțimea h = 2 m pe un plan de lungime l = 4 m (sin α = 0,5, cos α = √3/2), μ = 0,2, g = 10 m/s², pornește din repaus.
ΔEc = Lg + Lf = m·g·h − μ·m·g·cos α·l
m·v²/2 = 1·10·2 − 0,2·1·10·0,866·4 = 20 − 6,93 = 13,07 J
rezultat final: v ≈ 5,11 m/s
Date: m = 100 kg (benă goală), v = 0,5 m/s coborâre uniformă timp de t = 18 s de la H = 9,3 m; apoi cablul se rupe; nivel zero la sol; g = 10 m/s².
b) d = v·t = 0,5·18 = 9 m; h = H − d
rezultat final: h = 0,3 m
c) E = Ec + Ep = m·v²/2 + m·g·h = 100·0,25/2 + 100·10·0,3 = 12,5 + 300
rezultat final: E = 312,5 J
d) Ec,sol = Ltotal (numai greutatea lucrează): m·vsol²/2 − m·v²/2 = m·g·h ⇒ vsol² = v² + 2·g·h = 0,25 + 6
rezultat final: vsol = 2,5 m/s
Date: m = 50 g = 0,05 kg, l = 1,0 m, H = 3,8 m (punctul de suspensie față de sol), eliberat din A (α = 53°, cos α = 0,6), firul se rupe în B (β = 37°, cos β = 0,8); nivel zero la sol; g = 10 m/s².
a) hA = H − l·cos α = 3,8 − 0,6 = 3,2 m; EA = EpA = m·g·hA
rezultat final: EA = 1,6 J
b) hB = H − l·cos β = 3,8 − 0,8 = 3,0 m; Lg = m·g·(hA − hB)
rezultat final: Lg = 0,1 J
c) Ec,B − Ec,A = Ltotal,AB = Lg; Ec,A = 0 ⇒ m·vB²/2 = 0,1 J
rezultat final: vB = 2 m/s
d) Impuls la sol: p = m·v_C; m·v_C²/2 = m·g·hB + m·vB²/2 = 1,5 + 0,1 = 1,6 J ⇒ v_C = 8 m/s
rezultat final: p = 0,05·8 = 0,4 kg·m/s
Valorile P1–P8 au fost recalculate independent în Node: 84 J; 20 m/s; 3,873 m/s; 20 m; 2,83 m/s; 5,11 m/s; 0,3 m, 312,5 J, 2,5 m/s; 1,6 J, 0,1 J, 2 m/s, 0,4 kg·m/s. Rezultatele P7 și P8 coincid cu baremele oficiale.
Un corp cade liber de la 20 m, g = 10. Cu ce viteză ajunge la sol?
Ce se cere la BAC
- Aria A, Subiectul al III-lea: aproape în fiecare variantă o problemă cu energie: pendul (iunie 2025), benă care cade (model 2026), corp pe plan înclinat sau pe suprafață cu porțiuni cu frecare. Structura constantă: a) energia mecanică într-un punct; b) lucrul unei forțe; c) viteza într-un punct; d) o mărime la sfârșit (viteza la sol, impulsul, înălțimea maximă).
- Punctaj tipic pentru viteza finală (4 p): teorema ΔEc = Ltotal (1 p), Ec exprimată (1 p), lucrul exprimat (1 p), rezultat (1 p).
- Itemi cu grafic: energia cinetică sau potențială în funcție de înălțime sau timp (panta și intersecțiile au sens fizic).
Greșeli care costă puncte
- Tensiunea din fir inclusă în lucrul total la pendul.
- Ep calculată față de alt nivel decât cel declarat, între puncte diferite ale aceleiași probleme.
- Conservarea aplicată cu frecare (energia scade cu |Lf|).
- Viteza la pătrat uitată: m·v²/2, nu m·v/2.
- Lucrul greutății cu semn greșit: pozitiv la coborâre, negativ la urcare.
Termeni-cheie
- Energia cinetică
- Ec = m·v²/2, energia unui corp aflat în mișcare; mărime de stare, mereu pozitivă; unitate J.
- Teorema variației energiei cinetice
- Variația energiei cinetice a punctului material este egală cu suma lucrurilor tuturor forțelor care acționează asupra lui: ΔEc = Ltotal.
- Energia potențială gravitațională
- Ep = m·g·h față de un nivel de referință ales; variația ΔEp = m·g·Δh nu depinde de nivelul zero.
- Energia mecanică
- E = Ec + Ep, mărime de stare a sistemului corp–Pământ.
- Legea conservării energiei mecanice
- Dacă asupra corpului lucrează numai forțe conservative (greutate, elastică), E = Ec + Ep = constant; Lforțelor neconservative = ΔE.
- Forță conservativă
- Forță al cărei lucru nu depinde de drum (greutatea, forța elastică); frecarea nu este conservativă.
- Energie potențială elastică
- Ep,el = k·x²/2, egală cu lucrul exterior pentru deformarea resortului cu x; rezultă din lucrul forței elastice.