Metode de numărare: regula produsului, permutări, aranjamente

Pe scurt

3 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie

• Regula produsului (alegeri succesive) și regula sumei (cazuri care se exclud) sunt baza oricărei numărări.
• $n!=1\cdot 2\cdots n$, $0!=1$; permutări $P_n=n!$.
• Aranjamente: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)\cdots (n-k+1)$, submulțimi ordonate de $k$ elemente.
• Funcții $f:A\to B$, $|A|=m$, $|B|=n$: $n^m$ în total, $A_n^m$ injective ($m\le n$), $n!$ bijective ($m=n$).
• La BAC, I.4 cere numărarea unor numere, submulțimi sau funcții, sau o probabilitate care se bazează pe o numărare.

Urmează · 3 min

Regula produsului și regula sumei

1 min

1. Descompune construcția
   Ce alegi întâi, ce alegi apoi (de exemplu: cifra zecilor, apoi cifra unităților).
2. Numără la fiecare pas
   Ține cont de restricții: cifra 0 nu poate fi prima, cifrele distincte, paritatea.
3. Înmulțește sau adună
   Produs pentru pași succesivi; sumă pentru cazuri disjuncte (de exemplu: numere care se termină în 0 / care nu se termină în 0).

Urmează · 1 min

Permutări și aranjamente

4 min

O mulțime ordonată este o mulțime în care s-a stabilit ordinea elementelor: $(a,b,c)$ și $(b,a,c)$ sunt ordonări diferite ale aceleiași mulțimi.

• Permutări de n elemente: numărul ordonărilor unei mulțimi cu $n$ elemente, $P_n=n!$ (primul loc: $n$ variante, al doilea: $n-1$, …).
• Aranjamente de n luate câte k: numărul submulțimilor ordonate cu $k$ elemente: $A_n^k=n(n-1)\cdots (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$; $A_n^n=P_n$, $A_n^1=n$, $A_n^0=1$.

Urmează · 4 min

Numărul funcțiilor

3 min o întrebare la final

Fie $A$ cu $m$ elemente și $B$ cu $n$ elemente.

• Toate funcțiile $f:A\to B$: fiecare dintre cele $m$ elemente are $n$ imagini posibile, deci $n^m$.
• Funcțiile injective ($m\le n$): imaginile trebuie să fie distincte: $n(n-1)\cdots (n-m+1)=A_n^m$.
• Funcțiile bijective ($m=n$): $n!$; o funcție bijectivă $f:A\to A$ este o permutare a lui $A$.

Urmează · 3 min

Exemple rezolvate

6 min 2 întrebări la final

Urmează · 6 min

Ce se cere la BAC

4 mincum apare la examen

• Numere cu cifre date: model 2020, I.4 (25 de numere); M_șt-nat rezervă iunie 2021, I.4 (12 numere pare).
• Numere cu cifre date (2025–2026): august 2026, varianta 4, I.4: numere naturale pare de două cifre cu cifre din $\{1,2,4,6,8\}$; barem: cifra unităților în 4 moduri, cifra zecilor în câte 5 moduri, deci $4\cdot 5=20$. August 2025, varianta 9, I.4: numere naturale impare de două cifre distincte cu cifre din $\{3,4,5,7,9\}$; barem: unitățile în 4 moduri, zecile în câte 4, deci $16$.
• Numărul funcțiilor cu o proprietate (toate, injective, cu o valoare fixată).
• Ecuații cu $A_n^k$ sau $P_n$, cu condiția ca $n$ să fie natural.
• Numărările sunt primul pas al probabilităților de la același item I.4 (cazuri posibile și favorabile).

Urmează · 4 min

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

• Cifra 0 pe prima poziție numărată.
• Cifre distincte vs. cifre care se pot repeta: citește enunțul de două ori.
• Soluția negativă a ecuației cu $A_n^k$ păstrată: $n$ trebuie să fie natural și $n\ge k$.
• Rezultat fără justificarea pașilor: baremul punctează separat fiecare alegere („fiind nenulă”, „fiind pară”).

Urmează · 1 min