Numere reale, logică matematică și inducție

Modulul, partea întreagă și partea fracționară, intervale, propoziții și cuantificatori, reducerea la absurd și inducția matematică, cu calculele care apar la itemul I.1.

22 min
La BAC: I.1 · I.3
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
|x| ≤ a (a > 0) înseamnă −a ≤ x ≤ a; |x| ≥ a înseamnă x ≤ −a sau x ≥ a.
02
[x] e întregul din stânga lui x (sau x însuși): [x] ≤ x < [x] + 1. {x} = x − [x] e mereu în [0, 1).
Truc: [−2,5] = −3, nu −2: mergi spre stânga pe axă.
03
Negația lui „oricare” este „există ... care nu”. Negația lui „p și q” este „non p sau non q”.
04
Inducția are două etape: verificarea pentru primul n și p(k) ⇒ p(k + 1). Fără concluzia scrisă la final, demonstrația e incompletă.
05
La I.1, numerele cu radicali se simplifică prin conjugat: (a − √b)(a + √b) = a² − b.

1 din 8

Pe scurt

3 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie

Mulțimile de numere: $N \subset Z \subset Q \subset R$ ; un număr real care nu e rațional este irațional ( $2$ , $π$ ).
Modulul: $∣ x ∣ = x$ pentru $x \geq 0$ , $∣ x ∣ = - x$ pentru $x < 0$ . Inegalitățile cu modul se transformă în duble inegalități.
Partea întreagă $[x]$ și partea fracționară ${x} = x - [x]$ , cu $[x] \leq x < [x] + 1$ și $0 \leq {x} < 1$ .
Logica: propoziție, predicat, cuantificatorii $\forall$ și $\exists$ , conectorii non, și, sau, implicație, echivalență, legați de operațiile cu mulțimi.
Reducere la absurd și inducție matematică: cele două metode de demonstrație cerute de programă.
La BAC, partea aceasta apare mai ales ca calcul la itemul I.1 și ca justificare în redactare.

Mulțimea numerelor reale, modulul, intervalele

5 min o întrebare la final

Ordinea pe $R$ se păstrează la adunare și la înmulțirea cu un număr pozitiv; se inversează la înmulțirea cu un număr negativ ( $x < y \Rightarrow - 2 x > - 2 y$ ).

Modulul are proprietățile:

∣ x ∣ \geq 0, ∣ x \cdot y ∣ = ∣ x ∣ \cdot ∣ y ∣, ∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣, x^{2} = ∣ x ∣.

Pentru $a > 0$ :

∣ x ∣ \leq a ⟺ - a \leq x \leq a, ∣ x ∣ \geq a ⟺ x \leq - a sau x \geq a .

Intervalele sunt submulțimi ale lui $R$ : $[a, b]$ , $(a, b)$ , $[a, b)$ , $(a, + \infty)$ etc. Cu ele se fac reuniuni, intersecții și diferențe, ca la orice mulțimi; reprezentarea pe axă evită greșelile.

Aproximarea unui număr real: $1, 41 < 2 < 1, 42$ , deci 1,41 este aproximarea prin lipsă și 1,42 aproximarea prin adaos, la o sutime.

Simplificarea numerelor cu radicali folosește formulele de calcul prescurtat și conjugatul: $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ , $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$ . De exemplu $(5 - 3) (5 + 3) = 5 - 3 = 2$ . Dacă se cere să arăți că un număr este natural, calculezi până la o valoare concretă și scrii explicit concluzia („care este număr natural”).

Ce mulțime descrie |2x − 3| ≤ 5?

Partea întreagă și partea fracționară

2 min

$[x]$ este cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu x. Exemple: $[3, 7] = 3$ , $[5] = 5$ , $[- 0, 3] = - 1$ , $[- 2, 5] = - 3$ .

Proprietăți utile:

$[x] \leq x < [x] + 1$ și, echivalent, $x - 1 < [x] \leq x$ ;
$[x + k] = [x] + k$ pentru orice $k \in Z$ ;
${x} = x - [x] \in [0, 1)$ , iar ${x} = 0 ⟺ x \in Z$ .

O ecuație $[E (x)] = k$ , cu $k$ întreg, se rezolvă prin dubla inegalitate $k \leq E (x) < k + 1$ .

Graficul părții întregi

Fiecare treaptă include capătul din stânga și îl exclude pe cel din dreapta. Treptele stau sub dreapta y = x, iar distanța până la ea e mai mică decât 1: [x] ≤ x < [x] + 1.

Elemente de logică matematică

3 min

Un predicat $p (x)$ devine propoziție când îi dai valoare lui $x$ sau când îl legi cu un cuantificator: $\forall x$ („oricare ar fi”), $\exists x$ („există”).

negația

Simbol

non p

Operație cu mulțimi

complementara

conjuncția

Simbol

p ∧ q

Operație cu mulțimi

intersecția

disjuncția

Simbol

p ∨ q

Operație cu mulțimi

reuniunea

implicația

Simbol

p ⇒ q

Operație cu mulțimi

incluziunea

echivalența

Simbol

p ⇔ q

Operație cu mulțimi

egalitatea

1 / 5

Operație logică	Simbol	Operație cu mulțimi
negația	non p	complementara
conjuncția	p ∧ q	intersecția
disjuncția	p ∨ q	reuniunea
implicația	p ⇒ q	incluziunea
echivalența	p ⇔ q	egalitatea

Regulile de negare (legile lui De Morgan): non(p și q) = non p sau non q; non(p sau q) = non p și non q; non( $\forall x$ , $p (x)$ ) = $\exists x$ , non $p (x)$ .

Reducerea la absurd. Pentru a arăta că $2$ este irațional, presupui contrariul: $2 = \frac{p}{q}$ , fracție ireductibilă. Atunci $p^{2} = 2 q^{2}$ , deci $p$ este par, $p = 2 m$ , de unde $q^{2} = 2 m^{2}$ și $q$ este par: contradicție cu ireductibilitatea. Deci $2 \in / Q$ .

Inducția matematică

3 min o întrebare la final

Verificarea
Arăți că $p (n_{0})$ este adevărată (de obicei $n_{0} = 0$ sau $n_{0} = 1$ ).
Ipoteza
Presupui $p (k)$ adevărată, pentru un $k \geq n_{0}$ oarecare.
Pasul de inducție
Demonstrezi $p (k + 1)$ folosind $p (k)$ .
Concluzia
Scrii: „din principiul inducției matematice, $p (n)$ este adevărată pentru orice $n \geq n_{0}$ ”.

Exemplu: suma primelor n numere impare

Demonstrăm că $1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$ , pentru orice $n \in N^{*}$ .

Verificare: pentru $n = 1$ , membrul stâng este 1, membrul drept este $1^{2} = 1$ , deci $p (1)$ este adevărată.

Presupunem $1 + 3 + \dots + (2 k - 1) = k^{2}$ . Atunci $1 + 3 + \dots + (2 k - 1) + (2 k + 1) = k^{2} + 2 k + 1 = (k + 1)^{2}$ , deci $p (k + 1)$ este adevărată.

Conform principiului inducției matematice, egalitatea are loc pentru orice $n \in N^{*}$ .

Care sunt cele două etape ale inducției?

Exemple rezolvate

2 min o întrebare la final

Oficial: BAC 2021, sesiunea august, varianta 4, I.1

Enunț: Calculați media aritmetică a numerelor reale $a = 2021 - 2$ și $b = 2021 + 2$ .

$m_{a} = \frac{a + b}{2} = \frac{2021 - 2 + 2021 + 2}{2} =$

$= \frac{2 \cdot 2021}{2} = 2021$

(Răspunsul din barem: 2021.)

Ecuație cu parte întreagă

Rezolvați în $R$ ecuația $[\frac{2 x + 1}{3}] = 2$ .

$2 \leq \frac{2 x + 1}{3} < 3 ⟺ 6 \leq 2 x + 1 < 9 ⟺ 5 \leq 2 x < 8$

$x \in [\frac{5}{2}, 4)$

Inecuație cu modul

Determinați numerele întregi $x$ pentru care $∣2 x - 3∣ \leq 5$ .

$- 5 \leq 2 x - 3 \leq 5 ⟺ - 2 \leq 2 x \leq 8 ⟺ x \in [- 1, 4]$

Numerele întregi din interval: $- 1, 0, 1, 2, 3, 4$ (șase numere).

Cât este [−2,5] și cât este {−2,5}?

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

I.1, calcul cu numere reale: o medie, o sumă cu radicali conjugați, un număr care trebuie arătat natural. Exemplu: BAC 2021 august, varianta 4, I.1 (media aritmetică a numerelor $2021 \pm 2$ , răspuns: 2021).
Inducția apare rar ca cerință separată, dar se folosește în Subiectele II și III pentru proprietăți „pentru orice n”.
Modulul și partea întreagă apar în condiții de existență sau în inecuații; regula $∣ x ∣ \leq a ⟺ - a \leq x \leq a$ trebuie aplicată sigur.
În 2024–2026: în cele 11 lucrări M_mate-info verificate, I.1 a fost o progresie, un număr complex sau un calcul cu logaritmi; modulul și partea întreagă nu au apărut ca item separat, dar raționamentele de aici rămân în spatele tuturor justificărilor.

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Inegalitatea neinversată la înmulțirea cu un număr negativ.
$x^{2} = x$ scris fără modul: corect este $x^{2} = ∣ x ∣$ .
Partea întreagă a unui număr negativ calculată „prin tăiere”: $[- 2, 5] = - 3$ , nu $- 2$ .
Inducție fără pasul de verificare sau fără concluzie.
La „arătați că numărul este natural”: lipsa propoziției finale de concluzie.

Termeni-cheie

Modulul unui număr real: |x| = x dacă x ≥ 0 și |x| = −x dacă x < 0; distanța de la x la 0 pe axă, mereu ≥ 0.
Partea întreagă: [x] = cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu x; are loc [x] ≤ x < [x] + 1.
Partea fracționară: {x} = x − [x]; are loc 0 ≤ {x} < 1.
Aproximare prin lipsă / prin adaos: Un număr rațional mai mic, respectiv mai mare decât x, la o precizie dată (de exemplu 1,41 și 1,42 pentru √2, la o sutime).
Propoziție: Enunț despre care se poate spune cu certitudine că este adevărat sau fals.
Predicat: Enunț care depinde de una sau mai multe variabile și devine propoziție când variabilele primesc valori.
Cuantificatori: ∀ (oricare ar fi) și ∃ (există). Negația lui „∀x, p(x)” este „∃x, non p(x)”, și invers.
Reducere la absurd: Presupui că concluzia este falsă și ajungi la o contradicție cu ipoteza sau cu un adevăr cunoscut.
Inducția matematică: Dacă p(n₀) este adevărată și p(k) ⇒ p(k + 1) pentru orice k ≥ n₀, atunci p(n) este adevărată pentru orice n ≥ n₀.
Media aritmetică: Pentru a și b: (a + b)/2.

Notițele mele

Salvat local

Pe scurt

Mulțimea numerelor reale, modulul, intervalele

Partea întreagă și partea fracționară

Elemente de logică matematică

Inducția matematică

Exemple rezolvate

Ce se cere la BAC

Greșeli care costă puncte

Termeni-cheie

Notițele mele

Surse