Șiruri, progresii aritmetice și geometrice

Șiruri monotone și mărginite, termenul general și suma primilor n termeni ai progresiilor, condiția ca trei numere să fie în progresie, cu itemii oficiali de tip I.1.

22 min
La BAC: I.1 · I.6
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Aritmetică: aₙ = a₁ + (n − 1)r, Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2. Geometrică: bₙ = b₁qⁿ⁻¹, Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1).
02
Trei termeni consecutivi: 2b = a + c (aritmetică), b² = ac (geometrică). Termenul din mijloc e media lor.
Truc: Aritmetică = media aritmetică; geometrică = media geometrică.
03
Suma a trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice este 3 × termenul din mijloc.
04
Monotonia unui șir: semnul lui aₙ₊₁ − aₙ (sau raportul aₙ₊₁/aₙ pentru termeni pozitivi).
05
Unghiurile unui triunghi în progresie aritmetică ⇒ unghiul din mijloc este π/3, pentru că 3B = π.

1 din 7

Pe scurt

3 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheieexemplu

Un șir este o funcție definită pe $N$ (sau $N^{*}$ ); se poate da prin formula termenului general, printr-o relație de recurență sau printr-o proprietate.
Monoton: semnul lui $a_{n + 1} - a_{n}$ . Mărginit: $m \leq a_{n} \leq M$ pentru orice $n$ .
Progresia aritmetică: $a_{n + 1} = a_{n} + r$ , $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ , $S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) n}{2}$ .
Progresia geometrică: $b_{n + 1} = b_{n} q$ , $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ , $S_{n} = b_{1} \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ pentru $q \neq = 1$ .
Condiția pentru trei termeni consecutivi: $2 b = a + c$ , respectiv $b^{2} = a c$ .
La BAC: un termen sau o sumă (I.1), condiția de progresie (I.1) și progresii „ascunse” în alte itemi (unghiurile unui triunghi, I.6).

Șiruri: definire, monotonie, mărginire

2 min o întrebare la final

Un șir se poate defini:

prin formula termenului general: $a_{n} = \frac{n}{n + 1}$ ;
prin recurență: $a_{1} = 1$ , $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ;
descriptiv: șirul numerelor prime.

Monotonia se studiază prin semnul diferenței $a_{n + 1} - a_{n}$ (crescător dacă e $\geq 0$ pentru orice $n$ ). Pentru termeni strict pozitivi se poate compara raportul $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ cu 1.

Exemplu: $a_{n} = \frac{n}{n + 1}$ , $n \geq 1$ . Atunci $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{n + 1}{n + 2} - \frac{n}{n + 1} = \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )} > 0$ , deci șirul este strict crescător. În plus $0 < a_{n} < 1$ pentru orice $n$ , deci este mărginit.

b₅ = 6, b₆ = 18. Cât este b₄?

Progresia aritmetică

3 min

$(a_{n})_{n \geq 1}$ este progresie aritmetică de rație $r$ dacă $a_{n + 1} = a_{n} + r$ pentru orice $n \geq 1$ .

a_{n} = a_{1} + (n - 1) r, S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) n}{2} = \frac{( 2 a _{1} + ( n - 1 ) r ) n}{2} .

Orice termen (începând cu al doilea) este media aritmetică a vecinilor: $a_{n} = \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2}$ . Mai general, $a_{m} = a_{k} + (m - k) r$ .

Condiția pentru n numere ( $n \geq 3$ ): $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice dacă și numai dacă $x_{k + 1} - x_{k}$ este același pentru toți $k$ ; pentru trei numere: $2 b = a + c$ .

Progresia geometrică

5 min o întrebare la final

$(b_{n})_{n \geq 1}$ , cu $b_{1} \neq = 0$ , este progresie geometrică de rație $q \neq = 0$ dacă $b_{n + 1} = b_{n} \cdot q$ pentru orice $n \geq 1$ .

b_{n} = b_{1} q^{n - 1}, S_{n} = b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1} (q \neq = 1), S_{n} = n b_{1} (q = 1) .

Orice termen (începând cu al doilea) verifică $b_{n}^{2} = b_{n - 1} \cdot b_{n + 1}$ . Pentru trei numere nenule: $a, b, c$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice $⟺ b^{2} = a c$ .

Aritmetică

Geometrică

Definiție

a_{n + 1} = a_{n} + r

b_{n + 1} = b_{n} q

Termen general

a_{1} + (n - 1) r

b_{1} q^{n - 1}

Suma primilor n

\frac{( a _{1} + a _{n} ) n}{2}

b_{1} \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}

Trei termeni

2 b = a + c

b^{2} = a c

	Aritmetică	Geometrică
Definiție	$a_{n + 1} = a_{n} + r$	$b_{n + 1} = b_{n} q$
Termen general	$a_{1} + (n - 1) r$	$b_{1} q^{n - 1}$
Suma primilor n	$\frac{( a _{1} + a _{n} ) n}{2}$	$b_{1} \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$
Trei termeni	$2 b = a + c$	$b^{2} = a c$

Cum arăți că 6 − 3√3, √3, 2 + √3 sunt în progresie geometrică?

Exemple rezolvate

5 min o întrebare la final

Oficial: BAC 2020, model, I.1

Enunț: Suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice $(a_{n})_{n \geq 1}$ este egală cu 30. Determinați $a_{2}$ .

$a_{2} = \frac{a _{1} + a _{3}}{2} \Rightarrow 2 a_{2} = a_{1} + a_{3}$

$a_{1} + a_{2} + a_{3} = 3 a_{2} ⟺ 30 = 3 a_{2} ⟺ a_{2} = 10$

(Răspunsul din barem: $a_{2} = 10$ .)

Oficial: BAC 2022, model, I.1

Enunț: Arătați că numerele $6 - 33$ , $3$ și $2 + 3$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

$(6 - 33) (2 + 3) = 12 + 63 - 63 - 9 = 3$ și $(3)^{2} = 3$

Deci $(3)^{2} = (6 - 33) (2 + 3)$ , adică numerele date sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Oficial: BAC 2020, sesiunea august, varianta 3, I.6

Enunț: Măsurile unghiurilor $A$ , $B$ și $C$ ale triunghiului $A B C$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Demonstrați că măsura unghiului $B$ este egală cu $\frac{π}{3}$ .

$A + B + C = π$ , $2 B = A + C$

$3 B = π \Rightarrow B = \frac{π}{3}$

Oficial: BAC 2021, iunie (rezervă), M_șt-nat, varianta 1, I.1

Enunț: Determinați termenul $b_{4}$ al progresiei geometrice $(b_{n})_{n \geq 1}$ , știind că $b_{5} = 6$ și $b_{6} = 18$ .

$b_{5}^{2} = b_{4} \cdot b_{6} \Rightarrow 36 = 18 b_{4}$

$b_{4} = 2$

Termen și sumă

Progresia aritmetică are $a_{1} = 2$ și $r = 3$ . Calculați $a_{10}$ și $S_{10}$ .

$a_{10} = a_{1} + 9 r = 2 + 27 = 29$

$S_{10} = \frac{( a _{1} + a _{10} ) \cdot 10}{2} = \frac{31 \cdot 10}{2} = 155$

Progresia geometrică cu $b_{1} = 3$ , $q = 2$ : $S_{5} = 3 \cdot \frac{2 ^{5} - 1}{2 - 1} = 3 \cdot 31 = 93$ .

Aritmetică și geometrică, pe același grafic

Cu datele din exemplu: la aritmetică, pasul este mereu +3, deci termenii stau pe o dreaptă. La geometrică, fiecare termen se dublează, deci diferențele cresc tot mai repede.

a₁ = 2, r = 3. Cât sunt a₁₀ și S₁₀?

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

Un termen sau o rație din doi termeni dați: $a_{2} = 3$ , $a_{3} = 5 \Rightarrow r = 2$ , $a_{1} = 1$ (M_șt-nat, august 2020, I.1).
Recente: august 2026, varianta 4, I.1: $b_{1} = 2$ , $b_{2} = 10$ ; barem: $q = \frac{b _{2}}{b _{1}} = 5$ , $b_{3} = b_{1} q^{2} = 50$ . August 2024, varianta 3, I.1: $a_{2} = 14$ , $a_{3} = 18$ ; barem: $a_{2} = \frac{a _{1} + a _{3}}{2}$ , deci $a_{1} = 10$ .
Suma primilor termeni, eventual „ascunsă” într-o sumă de forma $1 + 3 + 5 + \dots$ .
Arătați că sunt în progresie: condiția $2 b = a + c$ sau $b^{2} = a c$ (model 2022, I.1), uneori cu logaritmi.
Progresii în alte contexte: unghiurile unui triunghi (august 2020, I.6), laturile unui triunghi, rădăcinile unei ecuații.

Greșeli care costă puncte

2 mincapcanele de evitat

$q^{n}$ în loc de $q^{n - 1}$ în termenul general.
Formula sumei geometrice aplicată pentru $q = 1$ (împărțire la zero).
La „arătați că” se scrie relația verificată și concluzia, nu doar două numere egale.
Ordinea termenilor: „în această ordine” contează; $a, b, c$ în progresie înseamnă că $b$ este termenul din mijloc.
Rația geometrică negativă uitată când se cere $q$ din $q^{2} = 4$ : $q = 2$ sau $q = - 2$ , dacă enunțul nu precizează altfel.

Termeni-cheie

Șir de numere reale: Funcție a : ℕ → ℝ (sau definită pe ℕ*); termenul de rang n se notează aₙ.
Șir crescător: aₙ ≤ aₙ₊₁ pentru orice n; strict crescător dacă aₙ < aₙ₊₁. Se studiază semnul lui aₙ₊₁ − aₙ.
Șir mărginit: Există m, M reale cu m ≤ aₙ ≤ M pentru orice n.
Progresie aritmetică: Șir în care fiecare termen, începând cu al doilea, se obține din precedentul adunând același număr r (rația): aₙ₊₁ = aₙ + r.
Termenul general (aritmetică): aₙ = a₁ + (n − 1)·r.
Suma primilor n termeni (aritmetică): Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2 = (2a₁ + (n − 1)r)·n/2.
Progresie geometrică: Șir cu b₁ ≠ 0 în care fiecare termen, începând cu al doilea, se obține din precedentul înmulțind cu același număr q ≠ 0 (rația).
Termenul general (geometrică): bₙ = b₁·qⁿ⁻¹.
Suma primilor n termeni (geometrică): Sₙ = b₁·(qⁿ − 1)/(q − 1) pentru q ≠ 1; Sₙ = n·b₁ pentru q = 1.
Condiția de progresie (trei termeni): a, b, c sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice ⇔ 2b = a + c; ai unei progresii geometrice (nenuli) ⇔ b² = a·c.

Notițele mele

Salvat local