Proprietățile legilor: comutativitate, asociativitate, element neutru, simetrizabile

Definițiile exacte ale celor patru proprietăți, cum le demonstrezi în stil de barem și formulele rapide pentru legile de tip (x − a)(y − a) + a.

26 min
La BAC: Subiectul al II-lea (2)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Comutativă: x ∗ y = y ∗ x. Asociativă: (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z). Ambele pentru orice elemente din M.
02
Element neutru: x ∗ e = e ∗ x = x pentru orice x. Îl afli din x ∗ e = x pentru orice x, apoi verifici și e ∗ x = x (dacă legea nu e comutativă).
03
Simetricul lui x: x ∗ x′ = x′ ∗ x = e. La final verifici că x′ ∈ M.
04
Pentru x ∗ y = (x − a)(y − a) + a: e = a + 1, simetricul x′ = a + 1/(x − a), iar a nu are simetric.
Truc: a este „gaura neagră”: orice compui cu a dă a.
05
Când enunțul spune „legea este asociativă și are elementul neutru e”, folosești asta, nu o mai demonstrezi.

1 din 6

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

Comutativitate: $x * y = y * x$ , pentru orice $x, y \in M$ .
Asociativitate: $(x * y) * z = x * (y * z)$ , pentru orice $x, y, z \in M$ .
Element neutru $e \in M$ : $x * e = e * x = x$ , pentru orice $x \in M$ . Este unic.
Element simetrizabil $x$ : există $x^{'} \in M$ cu $x * x^{'} = x^{'} * x = e$ .
Legea $x * y = (x - a) (y - a) + a$ : comutativă, asociativă, $e = a + 1$ , $x^{'} = a + \frac{1}{x - a}$ pentru $x \neq = a$ .

Definițiile

4 min o întrebare la final

Fie $*$ o lege de compoziție pe mulțimea $M$ .

Comutativitate

Definiție (pentru orice elemente din M)

x * y = y * x

Exemple

adunarea și înmulțirea numerelor; NU: înmulțirea matricelor

Asociativitate

Definiție (pentru orice elemente din M)

(x * y) * z = x * (y * z)

Exemple

adunarea, înmulțirea, compunerea funcțiilor; NU: scăderea

Element neutru

Definiție (pentru orice elemente din M)

există

e \in M

x * e = e * x = x

Exemple

0 pentru adunare, 1 pentru înmulțire,

I_{n}

pentru matrice

Element simetrizabil

Definiție (pentru orice elemente din M)

există

x^{'} \in M

x * x^{'} = x^{'} * x = e

Exemple

opusul

- x

la adunare, inversul

\frac{1}{x}

la înmulțire (

x \neq = 0

)

1 / 4

Proprietate	Definiție (pentru orice elemente din $M$ )	Exemple
Comutativitate	$x * y = y * x$	adunarea și înmulțirea numerelor; NU: înmulțirea matricelor
Asociativitate	$(x * y) * z = x * (y * z)$	adunarea, înmulțirea, compunerea funcțiilor; NU: scăderea
Element neutru	există $e \in M$ : $x * e = e * x = x$	0 pentru adunare, 1 pentru înmulțire, $I_{n}$ pentru matrice
Element simetrizabil	există $x^{'} \in M$ : $x * x^{'} = x^{'} * x = e$	opusul $- x$ la adunare, inversul $\frac{1}{x}$ la înmulțire ( $x \neq = 0$ )

Unicitatea elementului neutru. Dacă $e_{1}, e_{2}$ sunt elemente neutre, atunci $e_{1} = e_{1} * e_{2} = e_{2}$ .

Unicitatea simetricului (pentru o lege asociativă cu element neutru). Dacă $x^{'}$ și $x^{''}$ sunt simetrice ale lui $x$ :

x^{'} = x^{'} * e = x^{'} * (x * x^{''}) = (x^{'} * x) * x^{''} = e * x^{''} = x^{''} .

De ce simetricul e unic la o lege asociativă cu neutru?

Cum demonstrezi fiecare proprietate

4 min

Comutativitatea
Calculezi $x * y$ și $y * x$ pentru $x, y$ oarecare și arăți că expresiile coincid (de obicei sunt simetrice în $x$ și $y$ ).
Asociativitatea
Calculezi separat $(x * y) * z$ și $x * (y * z)$ ; cu forma factorizată ambele ies într-o expresie simetrică în $x, y, z$ .
Elementul neutru
Din $x * e = x$ pentru orice $x$ obții $e$ (scrii diferența ca produs cu un factor care depinde de $x$ ). Verifici $e \in M$ și, dacă legea nu e comutativă, și $e * x = x$ .
Simetricul
Din $x * x^{'} = e$ obții $x^{'}$ în funcție de $x$ ; verifici $x^{'} \in M$ și precizezi pentru ce $x$ există.

Legea tip produs. Pentru $x * y = k (x - a) (y - a) + a$ , cu $k \neq = 0$ :

(x * y) * z = k (k (x - a) (y - a)) (z - a) + a = k^{2} (x - a) (y - a) (z - a) + a = x * (y * z)

x * e = x ⟺ k (x - a) (e - a) = x - a pentru orice x ⟺ e = a + \frac{1}{k}

x * x^{'} = e ⟺ k (x - a) (x^{'} - a) = \frac{1}{k} ⟺ x^{'} = a + \frac{1}{k ^{2} ( x - a )}, x \neq = a .

Pentru $k = 1$ : $e = a + 1$ și $x^{'} = a + \frac{1}{x - a}$ . Elementul $a$ verifică $x * a = a$ pentru orice $x$ (element absorbant), deci nu este simetrizabil.

Legea tip sumă. Pentru $x * y = x + y + c$ : $e = - c$ , iar $x^{'} = - x - 2 c$ (din $x + x^{'} + c = - c$ ).

Exemple rezolvate

12 min 2 întrebări la final

BAC 2020, model, II.2.a și c

Pe $R$ : $x * y = x y - \frac{1}{2} (x + y) + \frac{3}{4}$ . Legea este asociativă și are elementul neutru $e = \frac{3}{2}$ .

a) Pentru orice numere reale $x, y$ :

x * y = x y - \frac{x}{2} - \frac{y}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = x (y - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (y - \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} = (x - \frac{1}{2}) (y - \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} .

c) Presupunem că există $x, y \in Z$ cu $x$ simetricul lui $y$ , deci $x * y = e$ :

(x - \frac{1}{2}) (y - \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} ⟺ (x - \frac{1}{2}) (y - \frac{1}{2}) = 1 ⟺ (2 x - 1) (2 y - 1) = 4.

Pentru $x, y$ întregi, $2 x - 1$ și $2 y - 1$ sunt impare, deci produsul lor este impar și nu poate fi 4. Contradicție: nu există astfel de numere întregi.

Barem oficial: a) 2p + 3p; c) ecuația $x * y = e$ 2p, contradicția de paritate 3p.

BAC august 2020, varianta 3, II.2.b

Pentru $a = 20$ : $x * y = x y - 4 (x + y) + 20$ . Arătați că $e = 5$ este elementul neutru.

$x * 5 = 5 x - 4 (x + 5) + 20 = 5 x - 4 x - 20 + 20 = x$ , pentru orice număr real $x$ .

$5 * x = 5 x - 4 (5 + x) + 20 = x$ , pentru orice număr real $x$ .

Deci $e = 5$ este elementul neutru al legii $*$ .

Exercițiu de tip BAC: toate proprietățile unei legi

Pe $R$ : $x * y = 2 x y - 6 x - 6 y + 21$ .

Forma factorizată: $x * y = 2 (x y - 3 x - 3 y + 9) + 3 = 2 (x - 3) (y - 3) + 3$ .

Comutativitate: $y * x = 2 (y - 3) (x - 3) + 3 = x * y$ , pentru orice $x, y \in R$ .

Asociativitate: $(x * y) * z = 2 (2 (x - 3) (y - 3)) (z - 3) + 3 = 4 (x - 3) (y - 3) (z - 3) + 3$ și, analog, $x * (y * z) = 4 (x - 3) (y - 3) (z - 3) + 3$ .

Element neutru: $x * e = x ⟺ 2 (x - 3) (e - 3) = x - 3$ pentru orice $x ⟺ e - 3 = \frac{1}{2}$ , deci $e = \frac{7}{2}$ .

Simetrizabile: pentru $x \neq = 3$ , $x * x^{'} = \frac{7}{2} ⟺ 2 (x - 3) (x^{'} - 3) = \frac{1}{2} ⟺ x^{'} = 3 + \frac{1}{4 ( x - 3 )}$ , iar $x = 3$ nu este simetrizabil.

Elementul neutru lasă x pe loc

e = 4,5

Linia plină este x ∗ e, cea punctată este y = x. Se suprapun exact la e = 7/2 = 3,5, elementul neutru, iar toate dreptele trec prin (3, 3), pentru că 3 ∗ e = 3 oricare ar fi e.

BAC 2022, model, II.2.b (element neutru pe un interval)

Pe $M = [1, + \infty)$ , legea asociativă are forma (punctul a) $x * y = lo g_{2} ((2^{x} - 2) (2^{y} - 2) + 2)$ .

Dacă $e$ este elementul neutru, $x * e = x$ pentru orice $x \in M$ :

(2^{x} - 2) (2^{e} - 2) + 2 = 2^{x} ⟺ (2^{x} - 2) (2^{e} - 3) = 0, pentru orice x \in M,

deci $2^{e} = 3$ , $e = lo g_{2} 3 \in M$ (pentru că $lo g_{2} 3 > 1$ ). Se verifică $(lo g_{2} 3) * x = x$ , deci $e = lo g_{2} 3$ .

Barem oficial: ecuația $(2^{x} - 2) (2^{e} - 3) = 0$ și $e = lo g_{2} 3$ 3p; verificarea și concluzia 2p.

BAC 2025, sesiunea specială, varianta 3, II.2.b și c

Pe $R$ : legea asociativă $x * y = 5 (x - 1) (y - 1) + 1$ (tipul $k (x - a) (y - a) + a$ cu $k = 5$ , $a = 1$ ).

b) $x * \frac{6}{5} = 5 (x - 1) \cdot \frac{1}{5} + 1 = x$ și $\frac{6}{5} * x = x$ , pentru orice număr real $x$ , deci $e = \frac{6}{5}$ (formula $a + \frac{1}{k}$ ).

c) Determinați perechile $(m, n)$ de numere naturale pentru care $\frac{m}{25}$ este simetricul lui $n$ . Condiția $\frac{m}{25} * n = \frac{6}{5}$ devine

5 (\frac{m}{25} - 1) (n - 1) + 1 = \frac{6}{5} ⟺ (m - 25) (n - 1) = 1.

Cum $m, n \in N$ : $m - 25 = n - 1 = 1$ sau $m - 25 = n - 1 = - 1$ , deci perechile $(26, 2)$ și $(24, 0)$ . Același rezultat dă formula $x^{'} = a + \frac{1}{k ^{2} ( x - a )} = 1 + \frac{1}{25 ( n - 1 )}$ .

Barem oficial: b) 2p + 3p; c) ecuația $(m - 25) (n - 1) = 1$ 3p, perechile 2p.

BAC 2026, simulare, II.2.c: când este legea asociativă?

Pe $R$ : $x * y = (x^{2} + 2) (y^{2} + 2) + m$ , $m \in [- 4, + \infty)$ . Determinați $m$ pentru care legea este asociativă.

Ridicând la pătrat, $(x * y) * z = x * (y * z)$ pentru orice $x, y, z$ revine la

((x^{2} + 2) (y^{2} + 2) + m + 2) (z^{2} + 2) + m = (x^{2} + 2) ((y^{2} + 2) (z^{2} + 2) + m + 2) + m,

adică $(m + 2) (z^{2} + 2) = (x^{2} + 2) (m + 2)$ pentru orice $x, z$ reali, ceea ce are loc dacă și numai dacă $m = - 2$ .

Barem oficial: scrierea egalității 3p, $m = - 2$ 2p. Atenție: aici asociativitatea se cere, nu se dă în enunț.

Care e elementul neutru pentru x ∗ y = xy − 4(x + y) + 20?

Ce element nu are simetric la legea (x − a)(y − a) + a?

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

Punctul b) cere de obicei o proprietate: „Arătați că $e$ este elementul neutru” (august 2020, v3), „Demonstrați că legea este comutativă” (specială 2020, v1: $x * y = lo g_{2} (2^{x} + 2^{y}) = lo g_{2} (2^{y} + 2^{x}) = y * x$ , 3p + 2p) sau „Determinați elementul neutru” (model 2022).
Variante recente ale lui b): iunie 2023, v1 ( $x \circ y = x y + (2^{x} - 2) (2^{y} - 2)$ , $e = 1$ ), model 2024 ( $m (x - 3) (y - 3) + 3$ pe $[3, + \infty)$ , pentru $m = 2$ : $e = \frac{7}{2}$ ), specială 2025 ( $e = \frac{6}{5}$ ).
Punctul c) poate cere un simetric sau o proprietate a simetricilor (model 2020: nu există întregi simetrici unul altuia; specială 2025: perechile $(24, 0)$ și $(26, 2)$ ) sau chiar parametrul pentru care legea e asociativă (simulare 2026: $m = - 2$ ).
Enunțul spune des „legea este asociativă și are elementul neutru $e$ ”: aceste date se folosesc fără demonstrație.

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Neutrul găsit pentru un singur $x$ : din $2 * e = 2$ nu rezulți $e$ ; condiția e „pentru orice $x$ ”.
$e$ sau $x^{'}$ care nu aparțin lui $M$ (pe intervale): verifici apartenența explicit.
Simetric scris pentru toate elementele, inclusiv pentru elementul absorbant $a$ , care nu are simetric.
Asociativitate „din comutativitate”: sunt proprietăți diferite; scăderea nu e nici una, media aritmetică $\frac{x + y}{2}$ e comutativă, dar nu asociativă.
Calcul în loc de concluzie: scrie „deci $e = 5$ este elementul neutru al legii”.

Termeni-cheie

Lege comutativă: x ∗ y = y ∗ x, pentru orice x, y ∈ M.
Lege asociativă: (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z), pentru orice x, y, z ∈ M.
Element neutru: e ∈ M cu x ∗ e = e ∗ x = x, pentru orice x ∈ M. Dacă există, este unic.
Element simetrizabil: x ∈ M pentru care există x′ ∈ M cu x ∗ x′ = x′ ∗ x = e; x′ se numește simetricul lui x.
Unicitatea simetricului: Dacă legea este asociativă și are element neutru, simetricul unui element simetrizabil este unic.
Element absorbant: a ∈ M cu x ∗ a = a ∗ x = a pentru orice x; la legea (x − a)(y − a) + a, elementul a nu este simetrizabil.
Legea k(x − a)(y − a) + a: Este comutativă și asociativă; are e = a + 1/k; x ≠ a are simetricul x′ = a + 1/(k²(x − a)).
Legea x + y + c: Este comutativă și asociativă; e = −c; simetricul lui x este x′ = −x − 2c.

Notițele mele

Salvat local

Surse

Programa de examen Matematică M_mate-info, Bacalaureat 2015 (Anexa 2 la OMEN 4430/2014), clasa a XII-a, Grupuri
BAC 2020, model, Subiectul al II-lea, 2 (subiect și barem)
BAC 2020, sesiunea august, varianta 3, Subiectul al II-lea, 2.b
BAC 2020, sesiunea specială, varianta 1, Subiectul al II-lea, 2.b
BAC 2022, model, Subiectul al II-lea, 2.b
BAC 2025, sesiunea specială, varianta 3, Subiectul al II-lea, 2 (subiect și barem)
BAC 2026, simulare, Subiectul al II-lea, 2.c (subiect și barem)
BAC 2023, sesiunea iunie-iulie, varianta 1, și BAC 2024, model, Subiectul al II-lea, 2.b