Calcule și ecuații cu legi de compoziție

Compunerea repetată, elementul absorbant în „produse” lungi, ecuații de tipul x ∗ x = x și legi date cu radicali, logaritmi sau exponențiale, rezolvate ca în barem.

24 min
La BAC: Subiectul al II-lea (2)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Pentru x ∗ y = (x − a)(y − a) + a: x ∗ x ∗ … ∗ x (de n ori) = (x − a)ⁿ + a.
02
Dacă printre termeni apare elementul absorbant a, tot compusul este a.
Truc: Un zero într-un produs: orice ai înmulți cu el, rămâne zero.
03
Ecuațiile cu legi: formă factorizată → produs egal cu 0 → soluții → verificare în M.
04
Legile cu radical, log sau exponențială se calculează trecând prin funcția din interior (x³, 2ˣ), unde legea devine produs sau sumă.
05
„Pentru orice m” înseamnă: scrii egalitatea ca polinom în m și ceri coeficienți nuli, sau dai factor comun puterea lui m.

1 din 6

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

Pentru o lege asociativă, $x_{1} * x_{2} * \dots * x_{n}$ are sens fără paranteze.
Pentru $x * y = (x - a) (y - a) + a$ : $x_{1} * \dots * x_{n} = (x_{1} - a) \dots (x_{n} - a) + a$ ; în particular $x * x * x = (x - a)^{3} + a$ .
Dacă unul dintre termeni este elementul absorbant $a$ , compusul este $a$ .
Ecuațiile: formă factorizată, produs egal cu 0, soluții, verificare în $M$ .
Legile cu radical, logaritm sau exponențială: treci prin funcția din interior ( $t = x^{3}$ , $t = 2^{x}$ ).

Compunerea repetată

3 min o întrebare la final

Propoziție. Dacă $x * y = (x - a) (y - a) + a$ pe $R$ , atunci pentru orice $n \geq 2$ și orice $x_{1}, \dots, x_{n} \in R$ :

x_{1} * x_{2} * \dots * x_{n} = (x_{1} - a) (x_{2} - a) \dots (x_{n} - a) + a .

Demonstrație prin inducție: pentru $n = 2$ este definiția; dacă formula e adevărată pentru $n$ , atunci

(x_{1} * \dots * x_{n}) * x_{n + 1} = ((x_{1} - a) \dots (x_{n} - a) + a - a) (x_{n + 1} - a) + a = (x_{1} - a) \dots (x_{n + 1} - a) + a .

Pentru legea $k (x - a) (y - a) + a$ formula devine $x_{1} * \dots * x_{n} = k^{n - 1} (x_{1} - a) \dots (x_{n} - a) + a$ .

Consecință (elementul absorbant). Dacă un $x_{i} = a$ , produsul conține factorul 0, deci compusul este $a$ . Exemplu: pentru $x * y = (x - 3) (y - 3) + 3$ , $1 * 2 * 3 * \dots * 10 = 3$ .

August 2021: când este 2 ∘ 1 = 5, dacă x ∘ y = xy − m(x + y) + m(m + 1), m > 0?

Ecuații cu legi de compoziție

5 min o întrebare la final

Rescrii legea
Forma factorizată sau forma din punctul b), dacă enunțul ți-a dat-o.
Notezi expresia care se repetă
$t = x - a$ , $t = x^{3} - 1$ , $t = 2^{x}$ : ecuația devine polinomială.
Aduci la produs egal cu 0
Nu simplifici cu factori care pot fi 0.
Verifici apartenența la M
„care convine” / „care nu convine” pentru fiecare soluție.

Exercițiu de tip BAC: x ∗ x ∗ x = x

Pe $R$ : $x * y = x y - 3 x - 3 y + 12$ .

$x * y = (x - 3) (y - 3) + 3$ , deci $x * x * x = (x - 3)^{3} + 3$ .

$x * x * x = x ⟺ (x - 3)^{3} = x - 3 ⟺ (x - 3) ((x - 3)^{2} - 1) = 0 ⟺ (x - 3) (x - 2) (x - 4) = 0$ .

Soluțiile: $x = 2$ , $x = 3$ , $x = 4$ .

x ∗ x ∗ x = x, citită pe grafic

Membrul stâng este (x − 3)³ + 3, curba plină, iar cel drept este dreapta y = x. Cele trei intersecții sunt soluțiile x = 2, x = 3 și x = 4.

BAC 2026, sesiunea iunie-iulie, varianta 3, II.2.c

Pe $R$ , legea asociativă $x * y = \frac{2}{3} (x - 3) (y - 3) + 3$ (tipul $k (x - a) (y - a) + a$ ). Determinați perechile $(m, n)$ de numere naturale pentru care $m * m * n = - 1$ .

Cu formula compunerii repetate ( $k^{n - 1}$ , aici $k^{2} = \frac{4}{9}$ ):

m * m = \frac{2}{3} (m - 3)^{2} + 3, m * m * n = \frac{4}{9} (m - 3)^{2} (n - 3) + 3.

$\frac{4}{9} (m - 3)^{2} (n - 3) + 3 = - 1 ⟺ (m - 3)^{2} (n - 3) = - 9$ . Cum $(m - 3)^{2}$ este pătrat perfect care divide 9: $(m - 3)^{2} = 1$ , $n - 3 = - 9$ (imposibil în $N$ ) sau $(m - 3)^{2} = 9$ , $n - 3 = - 1$ , deci $m \in {0, 6}$ , $n = 2$ . Perechile: $(0, 2)$ și $(6, 2)$ .

Barem oficial: expresia lui $m * m * n$ 2p; rezolvarea și perechile 3p. La aceeași sesiune, b) cerea $x * \frac{3 x}{2} = 5 x$ , cu răspunsul $x = 1$ sau $x = 9$ .

Rezolvă x ∗ x ∗ x = x pentru aceeași lege.

Legi date prin radicali, logaritmi, exponențiale

9 min o întrebare la final

Unele legi sunt „produse sau sume deghizate”. Exemple din subiectele oficiale:

$x * y = lo g_{2} (2^{x} + 2^{y})$ : dacă $z = x * y$ , atunci $2^{z} = 2^{x} + 2^{y}$ (legea devine adunare pentru puterile lui 2);
iunie 2020: $(x * y)^{3} - 1 = \frac{1}{8} (x^{3} - 1) (y^{3} - 1)$ (legea devine înmulțire pentru $\frac{x ^{3} - 1}{8}$ ).

BAC iunie 2020, varianta 6, II.2.b și c

Pe $A = [1, + \infty)$ :

x * y = \frac{1}{2} 3 x^{3} y^{3} - x^{3} - y^{3} + 9 .

a) $1 * 2020 = \frac{1}{2} 3 - 1 + 9 = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ .

b) Pentru orice $x, y \in A$ :

x * y = \frac{1}{2} 3 x^{3} (y^{3} - 1) - (y^{3} - 1) + 8 = \frac{1}{2} 3 (x^{3} - 1) (y^{3} - 1) + 8 = 3 \frac{1}{8} (x^{3} - 1) (y^{3} - 1) + 1 .

c) Din b), pentru $y = x$ ecuația $x * x = x$ devine, după ridicarea la puterea a treia,

\frac{1}{8} (x^{3} - 1)^{2} + 1 = x^{3} ⟺ (x^{3} - 1)^{2} = 8 (x^{3} - 1) ⟺ (x^{3} - 1) (x^{3} - 9) = 0.

$x^{3} - 1 = 0$ sau $x^{3} - 1 = 8$ , de unde $x = 1$ sau $x = 39$ , care convin (ambele sunt în $A$ ).

Barem oficial: c) rescrierea 2p, rezolvarea 3p.

BAC august 2021, varianta 4, II.2.b și c

Pe $R$ : $x \circ y = x y - m (x + y) + m (m + 1)$ , $m \in (0, + \infty)$ .

b) $2 \circ 1 = 5 ⟺ 2 - 3 m + m^{2} + m = 5 ⟺ m^{2} - 2 m - 3 = 0$ , cu soluțiile $- 1$ și $3$ ; cum $m > 0$ , $m = 3$ .

Atunci $2 \circ 5 = 10 - 3 \cdot 7 + 3 \cdot 4 = 10 - 21 + 12 = 1$ .

c) Se cere $x$ real cu $(m x^{3}) \circ (- m x^{2}) = m$ pentru orice $m > 0$ . Cum $x \circ y = (x - m) (y - m) + m$ :

(m x^{3} - m) (- m x^{2} - m) + m = m ⟺ - m^{2} (x^{3} - 1) (x^{2} + 1) = 0.

Cum $m > 0$ și $x^{2} + 1 > 0$ , obținem $x^{3} = 1$ , deci $x = 1$ .

BAC 2020, sesiunea specială, varianta 1, II.2.c

Pe $R$ : $x * y = lo g_{2} (2^{x} + 2^{y})$ . Determinați $x$ pentru care $(x * x) * x = 3 + lo g_{2} 3$ .

$x * x = lo g_{2} (2 \cdot 2^{x}) = lo g_{2} 2^{x + 1} = x + 1$ .

$(x * x) * x = (x + 1) * x = lo g_{2} (2^{x + 1} + 2^{x}) = lo g_{2} (3 \cdot 2^{x}) = x + lo g_{2} 3$ .

$x + lo g_{2} 3 = 3 + lo g_{2} 3$ , deci $x = 3$ .

Cât face x ∗ x ∗ x pentru x ∗ y = (x − 3)(y − 3) + 3?

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

a) un calcul numeric direct (iunie 2020: $1 * 2020 = \frac{1}{2} 38 = 1$ ; august 2021: pentru $m = 1$ , $2 \circ 2 = 2$ ).
b) o rescriere a legii sau un parametru (august 2021: $m = 3$ , apoi $2 \circ 5 = 1$ ).
c) o ecuație (iunie 2020: $x * x = x$ ; specială 2020: $(x * x) * x = 3 + lo g_{2} 3$ ; august 2021: o egalitate pentru orice $m$ ) sau o inegalitate (model 2022).
Recent, c) cere des soluții naturale sau întregi: iunie 2026 ( $m * m * n = - 1$ : $(0, 2), (6, 2)$ ); iunie 2025 rezervă, v5 ( $x * y = 4 - \frac{1}{2} (x - 4) (y - 4)$ , tripletele naturale $m < n < p$ cu $m * n * p = 3$ : din $(m - 4) (n - 4) (p - 4) = - 4$ rezultă $(2, 5, 6)$ și $(3, 5, 8)$ ); specială 2023, v6 ( $(m - 2) (n - 2) = 4$ , $m \leq n$ : $(3, 6)$ , $(4, 4)$ ). Tiparul: rescrii ca produs de factori întregi egal cu un număr și enumeri divizorii.

Greșeli care costă puncte

2 mincapcanele de evitat

Simplificare cu un factor care poate fi 0 (pierzi soluții).
Soluții nefiltrate: nu scrii dacă aparțin mulțimii pe care e definită legea.
„Pentru orice m” tratat pentru un singur m (de exemplu $m = 1$ ): dă doar o condiție necesară.
Logaritmi: $lo g_{2} (2^{x} + 2^{y}) \neq = x + y$ ; se scoate factor comun o putere a lui 2 doar când termenii o permit.
Formula compunerii repetate folosită fără să spui că legea e asociativă.

Termeni-cheie

Compunere repetată: Pentru o lege asociativă se notează x ∗ x ∗ … ∗ x (de n ori); parantezele nu contează.
Formula pentru legea produs: Dacă x ∗ y = (x − a)(y − a) + a, atunci x₁ ∗ x₂ ∗ … ∗ xₙ = (x₁ − a)(x₂ − a)…(xₙ − a) + a.
Element absorbant în calcule: Dacă unul dintre termenii unui compus asociativ este elementul absorbant a, rezultatul este a.
Ecuația x ∗ x = x: Se rescrie cu forma factorizată și se aduce la un produs egal cu 0; soluțiile se verifică în mulțimea M.
Lege transportată: Lege de forma f⁻¹(f(x)·f(y)) sau f⁻¹(f(x) + f(y)): se calculează trecând prin f (de exemplu prin 2ˣ, x³, logaritm).
Condiția „pentru orice m”: O egalitate polinomială în m adevărată pentru orice m impune coeficienții nuli.

Notițele mele

Salvat local

Surse

Programa de examen Matematică M_mate-info, Bacalaureat 2015 (Anexa 2 la OMEN 4430/2014), clasa a XII-a
BAC 2020, sesiunea iunie, varianta 6, Subiectul al II-lea, 2 (subiect și barem)
BAC 2021, sesiunea august, varianta 4, Subiectul al II-lea, 2 (subiect și barem)
BAC 2020, sesiunea specială, varianta 1, Subiectul al II-lea, 2.c
BAC 2022, model, Subiectul al II-lea, 2.c
BAC 2026, sesiunea iunie-iulie, varianta 3, Subiectul al II-lea, 2 (subiect și barem)
BAC 2025, sesiunea iunie, rezervă (varianta 5), Subiectul al II-lea, 2.c
BAC 2023, sesiunea specială, varianta 6, Subiectul al II-lea, 2.c