Funcții: grafic, proprietăți și compunere

Definiția funcției, graficul și apartenența unui punct la grafic, intersecția cu axele, paritate, monotonie, mărginire, simetrie, periodicitate și compunerea funcțiilor, cu itemii oficiali de tip I.2.

22 min
La BAC: I.2
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
M(a, b) aparține graficului ⇔ f(a) = b. E primul rând din barem la orice item de tip „punctul aparține graficului”.
02
Intersecția cu Oy: punctul (0, f(0)). Intersecția cu Ox: soluțiile ecuației f(x) = 0.
03
(f ∘ g)(x) = f(g(x)): calculezi întâi funcția din dreapta, apoi aplici f rezultatului.
Truc: Se citește de la dreapta la stânga, ca o pereche de mănuși puse una peste alta.
04
Pară: f(−x) = f(x), grafic simetric față de Oy; impară: f(−x) = −f(x), simetric față de origine.
05
Dreapta x = m e axă de simetrie dacă f(2m − x) = f(x); la parabolă, m este abscisa vârfului.

1 din 7

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie

O funcție $f : A \to B$ asociază fiecărui $x \in A$ un unic $f (x) \in B$ . Domeniul, codomeniul și legea fac parte din funcție.
Graficul: $G_{f} = {(x, f (x)) ∣ x \in A}$ ; $M (a, b) \in G_{f} ⟺ f (a) = b$ .
Intersecția cu axele: cu $O y$ în $(0, f (0))$ , cu $O x$ în punctele $(x, 0)$ cu $f (x) = 0$ .
Proprietăți: monotonie, mărginire, paritate/imparitate, simetrie față de $x = m$ , periodicitate.
Compunerea: $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ , definită când $Im f$ este inclusă în domeniul lui $g$ .
La BAC, itemul I.2 este aproape mereu despre o funcție: o valoare, un punct pe grafic, o compunere, o intersecție.

Funcția și graficul ei

3 min

Reperul cartezian $x O y$ împarte planul în patru cadrane: în cadranul I, $x > 0$ și $y > 0$ ; în II, $x < 0$ , $y > 0$ ; în III, $x < 0$ , $y < 0$ ; în IV, $x > 0$ , $y < 0$ . Dreapta $x = m$ este verticală, dreapta $y = m$ este orizontală.

O corespondență nu este funcție dacă un element din domeniu nu are imagine sau are mai multe imagini. Grafic: o verticală taie graficul unei funcții în cel mult un punct.

Egalitatea a două funcții: același domeniu, același codomeniu și $f (x) = g (x)$ pentru orice $x$ . Funcțiile $f, g : R \to R$ , $f (x) = ∣ x ∣$ și $g (x) = x^{2}$ sunt egale.

Restricția lui $f$ la $X \subset A$ este funcția $f ∣_{X} : X \to B$ , $f ∣_{X} (x) = f (x)$ .

Rezolvarea grafică a ecuației $f (x) = g (x)$ : soluțiile sunt abscisele punctelor comune ale celor două grafice. Inecuația $f (x) \leq g (x)$ are ca soluții abscisele punctelor în care graficul lui $f$ este sub (sau pe) graficul lui $g$ .

Proprietăți ale funcțiilor numerice

5 min o întrebare la final

strict crescătoare

Condiție algebrică

x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2})

Ce se vede pe grafic

urcă de la stânga la dreapta

mărginită

Condiție algebrică

m \leq f (x) \leq M

Ce se vede pe grafic

graficul e între două orizontale

pară

Condiție algebrică

f (- x) = f (x)

Ce se vede pe grafic

simetric față de

O y

impară

Condiție algebrică

f (- x) = - f (x)

Ce se vede pe grafic

simetric față de origine

simetrie față de

x = m

Condiție algebrică

f (2 m - x) = f (x)

Ce se vede pe grafic

oglindire față de verticala

x = m

periodică, de perioadă

T

Condiție algebrică

f (x + T) = f (x)

Ce se vede pe grafic

se repetă la fiecare

T

1 / 6

Proprietate	Condiție algebrică	Ce se vede pe grafic
strict crescătoare	$x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2})$	urcă de la stânga la dreapta
mărginită	$m \leq f (x) \leq M$	graficul e între două orizontale
pară	$f (- x) = f (x)$	simetric față de $O y$
impară	$f (- x) = - f (x)$	simetric față de origine
simetrie față de $x = m$	$f (2 m - x) = f (x)$	oglindire față de verticala $x = m$
periodică, de perioadă $T$	$f (x + T) = f (x)$	se repetă la fiecare $T$

Monotonia prin rata de creștere: $f$ este strict crescătoare pe $I$ dacă $\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{2} )}{x _{1} - x _{2}} > 0$ pentru orice $x_{1} \neq = x_{2}$ din $I$ , și strict descrescătoare dacă raportul este negativ.

Ce relație arată că x = 2 e axă de simetrie pentru f(x) = x² − 4x + 3?

Compunerea funcțiilor

2 min

Pentru $f : A \to B$ și $g : B \to C$ , compusa $g \circ f : A \to C$ este $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ .

Compunerea este asociativă: $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$ .
Compunerea nu este comutativă: pentru $f (x) = 2 x + 1$ , $g (x) = x^{2}$ , $(f \circ g) (x) = 2 x^{2} + 1$ , iar $(g \circ f) (x) = (2 x + 1)^{2}$ .

Valoare a compusei
Pentru $(f \circ f) (a)$ calculezi întâi $f (a)$ , apoi $f$ în rezultat.
Formula compusei
Pentru $(f \circ g) (x)$ înlocuiești în legea lui $f$ fiecare $x$ cu $g (x)$ , apoi desfaci parantezele.

Exemple rezolvate

5 min 2 întrebări la final

Oficial: BAC 2020, model, I.2

Enunț: Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 6 x + 9$ . Arătați că $(f \circ f) (3) = 9$ .

$f (3) = 9 - 18 + 9 = 0$

$(f \circ f) (3) = f (f (3)) = f (0) = 9$

Compunerea, din interior spre exterior

x = 3
Pornești de la valoarea dată
f(3) = 0
Întâi funcția din interior
f(0) = 9
Rezultatul intră în f

Compusa se calculează din interior spre exterior, câte un pas o dată: rezultatul primului calcul devine intrarea celui de-al doilea.

Oficial: BAC 2020, sesiunea specială, varianta 1, I.2

Enunț: Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x + 1$ . Arătați că $(f \circ f) (1) = f (2) + 2$ .

$(f \circ f) (1) = f (f (1)) = f (3) = 7$

$f (2) = 5$ , deci $(f \circ f) (1) = f (2) + 2$

Oficial: BAC 2020, sesiunea august, varianta 3, I.2

Enunț: Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + x + a$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ , știind că punctul $M (0, 2)$ aparține graficului funcției $f$ .

$M (0, 2) \in G_{f} ⟺ f (0) = 2$

$a = 2$

Oficial: BAC 2021, sesiunea august, varianta 4, I.2

Enunț: Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 3 x + 1$ . Determinați numărul real $m$ , știind că punctul $A (1, m)$ aparține graficului funcției $f$ .

$f (1) = m ⟺ 1 - 3 + 1 = m$

$m = - 1$

Intersecția cu axele și formula compusei

Pentru $f, g : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ , $g (x) = x + 1$ :

$G_{f} \cap O y$ : $f (0) = 3$ , punctul $(0, 3)$ .

$G_{f} \cap O x$ : $x^{2} - 4 x + 3 = 0 ⟺ x = 1$ sau $x = 3$ , punctele $(1, 0)$ și $(3, 0)$ .

$(f \circ g) (x) = (x + 1)^{2} - 4 (x + 1) + 3 = x^{2} - 2 x$ , pentru orice număr real $x$ .

Ce citești pe grafic

Punctul de pe Oy vine din f(0), iar cele de pe Ox din f(x) = 0. Linia punctată x = 2 este axa de simetrie a graficului.

f(x) = x² − 3x + 1 și A(1, m) ∈ Gf. Cât e m?

Pentru f(x) = 2x + 1, cât este (f ∘ f)(1)?

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

Punctul aparține graficului: august 2020, varianta 3, I.2 ( $a = 2$ ); august 2021, varianta 4, I.2 ( $m = - 1$ ).
Valoarea unei compuse: model 2020, I.2 ( $(f \circ f) (3) = 9$ ); specială 2020, I.2; M_șt-nat august 2021, I.2 ( $f (x) = x^{2} - 4$ , $(f \circ f) (2) = f (0) = - 4$ ).
Compunere cu parametru (2025–2026): august 2026, varianta 4, I.2: $f (x) = x - 5$ , $g (x) = a x - 1$ , $(f \circ g) (2) = 2$ ; barem: $g (2) = 2 a - 1$ , $(f \circ g) (2) = 2 a - 6$ , deci $a = 4$ . August 2025, varianta 9, I.2: $f (x) = x + 4$ , $g (x) = 2 x + a$ , $(g \circ f) (1) = 1$ ; barem: $(g \circ f) (1) = g (5) = 10 + a$ , deci $a = - 9$ .
O relație între valori, valabilă „pentru orice x”: se tratează ca egalitate de funcții (vezi lecția despre funcția de gradul I).
Intersecții ale graficului cu axele sau cu o dreaptă: ecuația $f (x) = 0$ sau $f (x) = g (x)$ .

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Ordinea la compunere: $(f \circ g) (x) = f (g (x))$ , nu $g (f (x))$ .
Punct pe grafic citit invers: $M (a, b)$ înseamnă $f (a) = b$ , nu $f (b) = a$ .
Paritatea verificată pe un singur exemplu: trebuie $f (- x) = f (x)$ pentru orice $x$ ; un contraexemplu e suficient doar pentru a arăta că funcția nu este pară.
Intersecția cu Oy confundată cu rădăcinile: $G_{f} \cap O y$ este un singur punct, $(0, f (0))$ .

Termeni-cheie

Funcție: Tripletul (A, B, f) în care fiecărui element x din A i se asociază un unic element f(x) din B.
Graficul funcției: Gf = {(x, f(x)) | x ∈ A}; punctul M(a, b) ∈ Gf ⇔ f(a) = b.
Funcții egale: Au același domeniu, același codomeniu și f(x) = g(x) pentru orice x din domeniu.
Imaginea unei mulțimi: f(X) = {f(x) | x ∈ X}; Im f = f(A).
Funcție pară / impară: Domeniul D simetric față de 0 și f(−x) = f(x) (pară), respectiv f(−x) = −f(x) (impară), pentru orice x ∈ D.
Axă de simetrie x = m: Dreapta x = m este axă de simetrie a graficului dacă f(2m − x) = f(x) pentru orice x din domeniu (domeniul simetric față de m).
Funcție periodică: Există T ≠ 0 cu x + T ∈ D și f(x + T) = f(x) pentru orice x ∈ D.
Funcție strict crescătoare: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂); echivalent, (f(x₁) − f(x₂))/(x₁ − x₂) > 0 pentru x₁ ≠ x₂.
Funcție mărginită: Există m, M reale cu m ≤ f(x) ≤ M pentru orice x din domeniu.
Compunerea funcțiilor: Pentru f : A → B și g : B → C, g ∘ f : A → C, (g ∘ f)(x) = g(f(x)).

Notițele mele

Salvat local

Pe scurt

Funcția și graficul ei

Proprietăți ale funcțiilor numerice

Compunerea funcțiilor

Exemple rezolvate

Ce se cere la BAC

Greșeli care costă puncte

Termeni-cheie

Notițele mele

Surse