Trigonometrie: cercul trigonometric, reducerea la primul cadran, formule

Radianul, cercul trigonometric, funcțiile sin, cos, tg, ctg, valorile remarcabile, semnele pe cadrane, reducerea la primul cadran, formulele sumei, ale unghiului dublu și transformarea sumei în produs, cu itemii oficiali de tip I.6.

26 min
La BAC: I.6
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Pe cercul trigonometric, cos x = abscisa, sin x = ordonata. De aici semnele: cadranul I toate +, II doar sin +, III doar tg +, IV doar cos +.
Truc: „Toți Sunt Tari Cuminți”: Toate, Sin, Tg, Cos, pe cadranele I–IV.
02
sin²x + cos²x = 1: din sin x afli cos x, dar semnul îl dă cadranul.
03
cos 2x are trei forme: cos²x − sin²x, 2cos²x − 1, 1 − 2sin²x. Alegi forma care lasă o singură funcție în ecuație.
04
Reducerea: π − x păstrează sin, π + x schimbă semnul la sin și cos, 2π − x păstrează cos.
05
Valori: sin π/6 = 1/2, sin π/4 = √2/2, sin π/3 = √3/2; tg π/6 = √3/3, tg π/4 = 1, tg π/3 = √3.

1 din 7

Pe scurt

3 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie

Radianul: $π rad = 18 0^{\circ}$ ; pe cercul trigonometric fiecărui număr real $x$ îi corespunde un punct $M (cos x, sin x)$ .
$sin, cos : R \to [- 1, 1]$ , perioada $2 π$ ; $tg : R ∖ {\frac{π}{2} + k π} \to R$ , $ctg : R ∖ {k π} \to R$ , perioada $π$ .
$sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ ; $tg x = \frac{s i n x}{c o s x}$ ; $1 + tg^{2} x = \frac{1}{c o s ^{2} x}$ .
Reducerea la primul cadran cu $π - x$ , $π + x$ , $2 π - x$ , $\frac{π}{2} - x$ .
Formule: $sin (a \pm b)$ , $cos (a \pm b)$ , $sin 2 a$ , $cos 2 a$ , transformarea sumei în produs.
La BAC, I.6 este o expresie, o ecuație sau o relație în triunghi cu aceste formule.

Cercul trigonometric și valorile remarcabile

3 min

sin x

0

\frac{\pi}{6}

\frac{1}{2}

\frac{\pi}{4}

\frac{2}{2}

\frac{\pi}{3}

\frac{3}{2}

\frac{\pi}{2}

1

\pi

0

cos x

1

\frac{\pi}{6}

\frac{3}{2}

\frac{\pi}{4}

\frac{2}{2}

\frac{\pi}{3}

\frac{1}{2}

\frac{\pi}{2}

0

\pi

- 1

tg x

0

\frac{\pi}{6}

\frac{3}{3}

\frac{\pi}{4}

1

\frac{\pi}{3}

3

\frac{\pi}{2}

nu există

\pi

0

1 / 3

$x$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$π$
$sin x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$0$
$cos x$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- 1$
$tg x$	$0$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$	nu există	$0$

Semnele pe cadrane:

Interval

(0, \frac{π}{2})

\sin

\cos

\operatorname{tg}

Interval

(\frac{π}{2}, π)

\sin

\cos

−

\operatorname{tg}

−

III

Interval

(π, \frac{3 π}{2})

\sin

−

\cos

−

\operatorname{tg}

Interval

(\frac{3 π}{2}, 2 π)

\sin

−

\cos

\operatorname{tg}

−

1 / 4

Cadran	Interval	$sin$	$cos$	$tg$
I	$(0, \frac{π}{2})$	+	+	+
II	$(\frac{π}{2}, π)$	+	−	−
III	$(π, \frac{3 π}{2})$	−	−	+
IV	$(\frac{3 π}{2}, 2 π)$	−	+	−

Paritate: $sin (- x) = - sin x$ , $cos (- x) = cos x$ , $tg (- x) = - tg x$ .

Cosinusul și sinusul, citite pe cerc

x (radiani) = 0,52

Mută cursorul prin toate cele patru cadrane și urmărește semnele. La x ≈ 0,52, adică π/6, punctul este (√3/2, 1/2).

Reducerea la primul cadran

2 min

sin (π - x) = sin x, cos (π - x) = - cos x, sin (π + x) = - sin x, cos (π + x) = - cos x,

sin (2 π - x) = - sin x, cos (2 π - x) = cos x, sin (\frac{π}{2} - x) = cos x, cos (\frac{π}{2} - x) = sin x .

Pentru tangentă: $tg (π - x) = - tg x$ , $tg (π + x) = tg x$ . Exemple: $sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $cos 12 0^{\circ} = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ , $tg 13 5^{\circ} = - tg 4 5^{\circ} = - 1$ .

Patru puncte simetrice pe cerc

x (radiani) = 0,6

Punctele au aceleași valori absolute ale coordonatelor, doar semnele diferă. De exemplu, π − x păstrează sinusul și schimbă semnul cosinusului.

Formule trigonometrice

5 min

sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b, cos (a \pm b) = cos a cos b \mp sin a sin b,

sin 2 a = 2 sin a cos a, cos 2 a = cos^{2} a - sin^{2} a = 2 cos^{2} a - 1 = 1 - 2 sin^{2} a .

Transformarea sumei în produs:

sin a + sin b = 2 sin \frac{a + b}{2} cos \frac{a - b}{2}, sin a - sin b = 2 sin \frac{a - b}{2} cos \frac{a + b}{2},

cos a + cos b = 2 cos \frac{a + b}{2} cos \frac{a - b}{2}, cos a - cos b = - 2 sin \frac{a + b}{2} sin \frac{a - b}{2} .

Din sin x afli restul. Dacă $sin x = \frac{3}{5}$ și $x \in (\frac{π}{2}, π)$ : $cos^{2} x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ și, cum cosinusul e negativ în cadranul II, $cos x = - \frac{4}{5}$ . Apoi $tg x = - \frac{3}{4}$ , $sin 2 x = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot (- \frac{4}{5}) = - \frac{24}{25}$ , $cos 2 x = 1 - 2 \cdot \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$ .

Itemi oficiali rezolvați

7 min 3 întrebări la final

Oficial: BAC 2026, sesiunea iunie-iulie, varianta 3, I.6

Enunț: Se consideră expresia $E (x) = (1 + tg^{2} x) sin \frac{x}{2} + cos 3 x$ , unde $x \in (0, \frac{π}{2})$ . Arătați că $E (\frac{π}{3}) = 1$ .

$tg \frac{π}{3} = 3$ , $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ , $cos π = - 1$

$E (\frac{π}{3}) = (1 + (3)^{2}) \cdot \frac{1}{2} + (- 1) = 4 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 1$

Oficial: BAC 2020, sesiunea specială, varianta 1, I.6

Enunț: Se consideră $x \in (0, \frac{π}{2})$ pentru care $3 cos x - 2 = 2 cos 2 x$ . Calculați $cos x$ .

$3 cos x - 2 = 4 cos^{2} x - 2 ⟺ 4 cos^{2} x - 3 cos x = 0 ⟺ cos x (4 cos x - 3) = 0$

Cum $x \in (0, \frac{π}{2})$ , obținem $cos x = \frac{3}{4}$

Oficial: BAC 2021, sesiunea august, varianta 4, I.6

Enunț: Se consideră triunghiul ascuțitunghic $A B C$ în care $sin 2 A \cdot cos A = sin A$ . Arătați că $A = \frac{π}{4}$ .

În $△ A B C$ , $2 sin A \cdot cos A \cdot cos A = sin A$ , deci $cos^{2} A = \frac{1}{2}$ (pentru că $sin A \neq = 0$ )

Cum unghiul $A$ este ascuțit, obținem $cos A = \frac{2}{2}$ , deci $A = \frac{π}{4}$

Oficial: BAC 2020, model, M_șt-nat, I.6

Enunț: Arătați că, dacă $x$ este număr real pentru care $sin x = cos x$ , atunci $cos 2 x = 0$ .

$cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x =$

$= (cos x - sin x) (cos x + sin x) = 0 \cdot (cos x + sin x) = 0$

Formule: sumă și transformare în produs

$sin 7 5^{\circ} = sin (4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}) = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 + 2}{4}$

$sin 7 5^{\circ} + sin 1 5^{\circ} = 2 sin 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} = 2 \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6}{2}$

Cât este E(π/3) pentru E(x) = (1 + tg²x) sin(x/2) + cos 3x?

x ∈ (0, π/2) și 3cos x − 2 = 2cos 2x. Cât este cos x?

Cât sunt sin 150°, cos 120° și tg 135°?

Ce se cere la BAC

4 mincum apare la examen

Valoarea unei expresii în puncte remarcabile: iunie-iulie 2026, varianta 3, I.6 ( $E (\frac{π}{3}) = 1$ ).
O ecuație cu $cos 2 x$ pe un interval: specială 2020, varianta 1, I.6 ( $cos x = \frac{3}{4}$ ).
Valoare trigonometrică (2026): august 2026, varianta 4, I.6: $E (x) = 3 tg \frac{x}{3} + sin x - 2 sin \frac{2 x}{3}$ , arătați că $E (\frac{π}{2}) = 1$ ; barem: $tg \frac{π}{6} = \frac{1}{3}$ , $sin \frac{π}{2} = 1$ , $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ , deci $E (\frac{π}{2}) = 3 + 1 - 3 = 1$ .
O relație în triunghi cu unghiul dublu: august 2021, varianta 4, I.6 ( $A = \frac{π}{4}$ ).
O identitate valabilă pentru orice $x$ : M_șt-nat model 2022, I.6: $(sin x + cos x)^{2} - (sin x - cos x)^{2} = 4 sin x cos x = 2 sin 2 x = 2 cos (\frac{π}{2} - 2 x)$ .

Greșeli care costă puncte

2 mincapcanele de evitat

Semnul funcției în cadranul greșit (cos negativ în cadranul II).
Forma lui cos 2x aleasă greșit, care lasă și sin, și cos în ecuație.
Împărțirea la sin A fără să scrii că $sin A \neq = 0$ (în triunghi este adevărat; baremul de la august 2021 nu o scrie explicit, dar justificarea te protejează acolo unde numitorul s-ar putea anula).
Grade și radiani amestecate în aceeași expresie.
tg în $\frac{π}{2}$ : nu există.

Termeni-cheie

Radian: Măsura unghiului la centru care subîntinde un arc de lungime egală cu raza; π rad = 180°.
Cercul trigonometric: Cercul cu centrul în origine și raza 1, parcurs în sens trigonometric (invers acelor de ceasornic) de la punctul A(1, 0).
sin x și cos x: Pentru punctul M de pe cercul trigonometric asociat lui x: cos x = abscisa lui M, sin x = ordonata lui M.
tg x și ctg x: tg x = sin x / cos x (cos x ≠ 0), ctg x = cos x / sin x (sin x ≠ 0).
Formula fundamentală: sin²x + cos²x = 1, pentru orice x real.
Paritate și periodicitate: sin și tg sunt impare, cos este pară; sin, cos au perioada 2π, tg, ctg au perioada π.
Reducerea la primul cadran: sin(π − x) = sin x, cos(π − x) = −cos x; sin(π + x) = −sin x, cos(π + x) = −cos x; sin(2π − x) = −sin x, cos(2π − x) = cos x.
Formulele sumei: sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b; cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b.
Unghiul dublu: sin 2a = 2 sin a cos a; cos 2a = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a.
Transformarea sumei în produs: sin a + sin b = 2 sin((a + b)/2) cos((a − b)/2); cos a + cos b = 2 cos((a + b)/2) cos((a − b)/2); și formulele analoage pentru diferențe.
Complementul: sin(π/2 − x) = cos x, cos(π/2 − x) = sin x, tg(π/2 − x) = ctg x.

Notițele mele

Salvat local

Pe scurt

Cercul trigonometric și valorile remarcabile

Reducerea la primul cadran

Formule trigonometrice

Itemi oficiali rezolvați

Ce se cere la BAC

Greșeli care costă puncte

Termeni-cheie

Notițele mele

Surse