Funcții trigonometrice inverse și ecuații trigonometrice

arcsin, arccos, arctg, arcctg și proprietățile lor; ecuațiile sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a și sin f(x) = sin g(x) etc.; selectarea soluțiilor dintr-un interval, cu itemul oficial de tip I.6.

24 min
La BAC: I.6
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
arcsin, arctg iau valori în [−π/2, π/2]; arccos, arcctg în [0, π]. Valoarea e un unghi din intervalul principal.
Truc: arccos(−1/2) = 2π/3, nu −π/3: arccos nu dă niciodată unghiuri negative.
02
sin x = a: x = (−1)ᵏ arcsin a + kπ. cos x = a: x = ±arccos a + 2kπ. tg x = a: x = arctg a + kπ.
03
sin f = sin g ⇒ f = g + 2kπ sau f = π − g + 2kπ; cos f = cos g ⇒ f = ±g + 2kπ.
04
Pe un interval dat, după formula generală dai valori lui k și păstrezi doar soluțiile din interval.
05
Ecuațiile cu sin 2x se factorizează: sin 2x + 2sin²x = 2 sin x (cos x + sin x).

1 din 6

Pe scurt

4 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

Inversele: $arcsin : [- 1, 1] \to [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ , $arccos : [- 1, 1] \to [0, π]$ , $arctg : R \to (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , $arcctg : R \to (0, π)$ .
$arcsin x + arccos x = \frac{π}{2}$ , $arctg x + arcctg x = \frac{π}{2}$ .
$sin x = a \Rightarrow x = (- 1)^{k} arcsin a + k π$ ; $cos x = a \Rightarrow x = \pm arccos a + 2 k π$ ; $tg x = a \Rightarrow x = arctg a + k π$ .
$sin f = sin g \Rightarrow f = g + 2 k π$ sau $f = π - g + 2 k π$ ; $cos f = cos g \Rightarrow f = \pm g + 2 k π$ ; $tg f = tg g \Rightarrow f = g + k π$ .
Pe un interval: dai valori întregi lui $k$ și păstrezi soluțiile din interval.
La BAC, ecuația trigonometrică de la I.6 este de obicei pe un interval și se rezolvă prin factorizare.

Funcțiile trigonometrice inverse

5 min o întrebare la final

Funcțiile trigonometrice nu sunt injective pe $R$ (sunt periodice). Restrânse la un interval pe care sunt strict monotone, devin bijective și au inversă:

arcsin

Domeniu → codomeniu

[- 1, 1] \to [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

Inversa restricției lui

sin

[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

Exemple

arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{3}{2}) = - \frac{π}{3}

arccos

Domeniu → codomeniu

[- 1, 1] \to [0, π]

Inversa restricției lui

cos

[0, π]

Exemple

arccos \frac{1}{2} = \frac{π}{3}

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

arctg

Domeniu → codomeniu

R \to (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

Inversa restricției lui

tg

(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

Exemple

arctg 1 = \frac{π}{4}

arctg 3 = \frac{π}{3}

arcctg

Domeniu → codomeniu

R \to (0, π)

Inversa restricției lui

ctg

(0, π)

Exemple

arcctg 1 = \frac{π}{4}

arcctg (- 1) = \frac{3 π}{4}

1 / 4

Funcție	Domeniu → codomeniu	Inversa restricției lui	Exemple
$arcsin$	$[- 1, 1] \to [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$	$sin$ pe $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$	$arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}$ , $arcsin (- \frac{3}{2}) = - \frac{π}{3}$
$arccos$	$[- 1, 1] \to [0, π]$	$cos$ pe $[0, π]$	$arccos \frac{1}{2} = \frac{π}{3}$ , $arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}$
$arctg$	$R \to (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$	$tg$ pe $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$	$arctg 1 = \frac{π}{4}$ , $arctg 3 = \frac{π}{3}$
$arcctg$	$R \to (0, π)$	$ctg$ pe $(0, π)$	$arcctg 1 = \frac{π}{4}$ , $arcctg (- 1) = \frac{3 π}{4}$

Proprietăți: $sin (arcsin x) = x$ pentru $x \in [- 1, 1]$ ; $arcsin (sin x) = x$ doar pentru $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ . $arcsin$ și $arctg$ sunt impare și strict crescătoare; $arccos$ și $arcctg$ sunt strict descrescătoare, cu $arccos (- x) = π - arccos x$ .

arcsin este oglinda lui sin

sin nu e injectivă pe ℝ, dar restrânsă la [−π/2, π/2] are o inversă. Graficul inversei e simetricul graficului față de y = x.

Cât este arcsin(1/2) + arccos(1/2)?

Ecuațiile trigonometrice fundamentale

7 min o întrebare la final

sin x = a

Condiție

a \in [- 1, 1]

Mulțimea soluțiilor

{(- 1)^{k} arcsin a + k π ∣ k \in Z}

cos x = a

Condiție

a \in [- 1, 1]

Mulțimea soluțiilor

{\pm arccos a + 2 k π ∣ k \in Z}

tg x = a

Condiție

a \in R

Mulțimea soluțiilor

{arctg a + k π ∣ k \in Z}

ctg x = a

Condiție

a \in R

Mulțimea soluțiilor

{arcctg a + k π ∣ k \in Z}

1 / 4

Ecuația	Condiție	Mulțimea soluțiilor
$sin x = a$	$a \in [- 1, 1]$	${(- 1)^{k} arcsin a + k π ∣ k \in Z}$
$cos x = a$	$a \in [- 1, 1]$	${\pm arccos a + 2 k π ∣ k \in Z}$
$tg x = a$	$a \in R$	${arctg a + k π ∣ k \in Z}$
$ctg x = a$	$a \in R$	${arcctg a + k π ∣ k \in Z}$

Pentru $∣ a ∣ > 1$ , ecuațiile $sin x = a$ și $cos x = a$ nu au soluții reale.

Ecuații de forma $sin f (x) = sin g (x)$ : $f (x) = g (x) + 2 k π$ sau $f (x) = π - g (x) + 2 k π$ . Pentru cosinus: $f (x) = \pm g (x) + 2 k π$ . Pentru tangentă și cotangentă: $f (x) = g (x) + k π$ , cu condiția ca ambii membri să fie definiți.

Strategia generală pentru ecuații mai complicate: (1) aduci la un singur unghi (cu formulele unghiului dublu); (2) aduci la o singură funcție ( $sin^{2} = 1 - cos^{2}$ ) sau factorizezi; (3) rezolvi ecuațiile fundamentale obținute; (4) selectezi soluțiile din interval. Exemplu: $2 cos^{2} x - cos x - 1 = 0$ cu $t = cos x$ dă $t = 1$ sau $t = - \frac{1}{2}$ ; pe $[0, 2 π)$ : $x = 0$ , $x = \frac{2 π}{3}$ , $x = \frac{4 π}{3}$ . Este aceeași ecuație ca $cos 2 x = cos x$ , scrisă cu $cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1$ .

Soluțiile ecuației sin 3x = sin x pe [0, π]?

Item oficial și exemple

4 min o întrebare la final

Oficial: BAC 2021, model, I.6

Enunț: Determinați $x \in (0, π)$ , știind că $sin 2 x + 2 sin^{2} x = 0$ .

$2 sin x cos x + 2 sin^{2} x = 0 ⟺ 2 sin x (cos x + sin x) = 0$

Cum $x \in (0, π)$ , $sin x \neq = 0$ , deci $cos x + sin x = 0$ , adică $tg x = - 1$ ; obținem $x = \frac{3 π}{4}$

Ecuații fundamentale pe un interval

$sin x = \frac{1}{2}$ , $x \in [0, 2 π]$ : $x = \frac{π}{6}$ sau $x = π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}$ .

$tg x = 3$ , $x \in (0, π)$ : $x = \frac{π}{3} + k π$ , iar în interval doar $x = \frac{π}{3}$ .

Soluțiile lui sin x = a pe [0, 2π]

a = 0,5

Soluțiile sunt abscisele intersecțiilor: arcsin a și π − arcsin a, plus perioadele. La a = 1/2 ai π/6 ≈ 0,52 și 5π/6 ≈ 2,62, ca în exemplu.

Ecuații de forma sin f = sin g, cos f = cos g

$cos 2 x = cos x$ , $x \in [0, 2 π)$ : $2 x = x + 2 k π \Rightarrow x = 2 k π$ ; $2 x = - x + 2 k π \Rightarrow x = \frac{2 k π}{3}$ . Soluțiile din interval: $0$ , $\frac{2 π}{3}$ , $\frac{4 π}{3}$ .

$sin 3 x = sin x$ , $x \in [0, π]$ : $3 x = x + 2 k π \Rightarrow x = k π$ ; $3 x = π - x + 2 k π \Rightarrow x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}$ . Soluțiile din interval: $0$ , $\frac{π}{4}$ , $\frac{3 π}{4}$ , $π$ .

Calcule cu funcții inverse

$arcsin \frac{1}{2} + arccos \frac{1}{2} = \frac{π}{6} + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}$

$arccos (- \frac{1}{2}) = π - arccos \frac{1}{2} = \frac{2 π}{3}$ ; $arctg 1 + arcctg 1 = \frac{π}{2}$

Rezolvați sin 2x + 2sin²x = 0 pe (0, π).

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

Ecuație pe un interval, prin factorizare: model 2021, I.6 ( $x = \frac{3 π}{4}$ ); specială 2020, I.6 (ecuația în $cos x$ , vezi lecția despre formule).
Din tangentă la sinusul dublu: M_șt-nat rezervă iunie 2021, I.6: din $tg x = 1$ , $x \in (0, \frac{π}{2})$ rezultă $x = \frac{π}{4}$ și $sin 2 x = sin \frac{π}{2} = 1$ .
În 2024–2026: în cele 11 lucrări M_mate-info verificate (iunie-iulie și august 2024; iunie, august, specială 2025; iunie-iulie, rezervă, august, specială, simulare, model 2026), I.6 a fost o valoare trigonometrică sau un triunghi, nu o ecuație; ecuațiile trigonometrice rămân în programă. Funcția $arctg$ a apărut în Subiectul al III-lea, de exemplu la august 2026, III.2.c (volum, primitiva $x - arctg (x - 2)$ ) și august 2021, III.2.c.
Funcțiile inverse apar mai ales în Subiectul III (derivatele și primitivele lui $arctg$ ) și în calcule de valori.

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

O singură familie de soluții la $sin x = a$ sau $cos x = a$ .
Perioada greșită: $k π$ la tangentă, $2 k π$ la sinus și cosinus (în formula cu $\pm$ ).
Soluții din afara intervalului păstrate sau soluții din interval omise.
Valori ale inverselor în afara intervalului principal: $arccos (- \frac{1}{2}) \neq = - \frac{π}{3}$ .
Împărțirea la o funcție care se poate anula, fără justificare.

Termeni-cheie

arcsin: arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2], inversa restricției lui sin la [−π/2, π/2]; arcsin a este unghiul din [−π/2, π/2] cu sinusul a.
arccos: arccos : [−1, 1] → [0, π], inversa restricției lui cos la [0, π].
arctg: arctg : ℝ → (−π/2, π/2), inversa restricției lui tg la (−π/2, π/2).
arcctg: arcctg : ℝ → (0, π), inversa restricției lui ctg la (0, π).
Simetrii ale funcțiilor inverse: arcsin(−x) = −arcsin x, arctg(−x) = −arctg x, arccos(−x) = π − arccos x, arcctg(−x) = π − arcctg x.
Relații complementare: arcsin x + arccos x = π/2 pentru x ∈ [−1, 1]; arctg x + arcctg x = π/2 pentru x ∈ ℝ.
Ecuația sin x = a: Pentru a ∈ [−1, 1]: x ∈ {(−1)ᵏ arcsin a + kπ | k ∈ ℤ}; pentru |a| > 1 nu are soluții.
Ecuația cos x = a: Pentru a ∈ [−1, 1]: x ∈ {±arccos a + 2kπ | k ∈ ℤ}.
Ecuația tg x = a: x ∈ {arctg a + kπ | k ∈ ℤ}, pentru orice a real; analog ctg x = a: x ∈ {arcctg a + kπ}.
Ecuația sin f(x) = sin g(x): f(x) = g(x) + 2kπ sau f(x) = π − g(x) + 2kπ, k ∈ ℤ.
Ecuația cos f(x) = cos g(x): f(x) = g(x) + 2kπ sau f(x) = −g(x) + 2kπ, k ∈ ℤ.

Notițele mele

Salvat local

Pe scurt

Funcțiile trigonometrice inverse

Ecuațiile trigonometrice fundamentale

Item oficial și exemple

Ce se cere la BAC

Greșeli care costă puncte

Termeni-cheie

Notițele mele

Surse