Derivata unei funcții într-un punct. Funcții derivabile

Definiția derivatei ca limită, interpretarea geometrică (panta tangentei), derivatele laterale, legătura derivabil–continuu, punctele unghiulare și de întoarcere și folosirea definiției pentru limite de tipul (f(x) − f(x₀))/(x − x₀).

22 min
La BAC: Subiectul al III-lea (1)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
f′(x₀) = lim (f(x) − f(x₀))/(x − x₀). Când vezi o limită de forma asta într-un enunț, e o derivată deghizată.
02
f′(x₀) = panta tangentei în (x₀, f(x₀)): de aici vine ecuația tangentei.
03
Derivabil ⇒ continuu, nu și invers. De aceea, la funcții pe ramuri, verifici întâi continuitatea, apoi derivatele laterale egale.
Truc: Două condiții, două ecuații: bune pentru doi parametri a și b.
04
Punct unghiular: derivate laterale diferite (ex. |x − 2| în 2). Punct de întoarcere: derivate laterale ±∞ cu semne contrare (ex. √|x| în 0).
05
Derivata +∞ sau −∞ (funcție continuă) înseamnă tangentă verticală, nu derivabilitate.

1 din 7

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

$f^{'} (x_{0})$ este limita raportului $(f (x) - f (x_{0})) / (x - x_{0})$ când $x \to x_{0}$ ; $f$ este derivabilă în $x_{0}$ dacă limita este finită.
Geometric: $f^{'} (x_{0})$ este panta tangentei la grafic în $(x_{0}, f (x_{0}))$ .
Laterale: derivabil în $x_{0}$ interior $\Leftrightarrow f_{s}^{'} (x_{0}) = f_{d}^{'} (x_{0})$ , finite.
Derivabil $\Rightarrow$ continuu; reciproca e falsă.
Puncte speciale: unghiular (derivate laterale diferite), de întoarcere (derivate laterale infinite, de semne contrare), tangentă verticală (derivată infinită).

Definiția derivatei

3 min o întrebare la final

Fie $f : D \to R$ și $x_{0} \in D$ punct de acumulare al lui $D$ . Se numește derivata lui f în x₀ limita (dacă există)

f^{'} (x_{0}) = x \to x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} = h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h}

Dacă $f^{'} (x_{0})$ există și este finită, $f$ este derivabilă în $x_{0}$ .

Exemplul 1. Derivata din definiție

$f (x) = x^{2}$ , $x_{0} = 3$ :

f^{'} (3) = x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = x \to 3 lim (x + 3) = 6

Interpretarea geometrică. Raportul $(f (x) - f (x_{0})) / (x - x_{0})$ este panta coardei dintre punctele $(x_{0}, f (x_{0}))$ și $(x, f (x))$ ale graficului. Când $x \to x_{0}$ , coarda devine tangentă, iar panta ei devine $f^{'} (x_{0})$ . De aici ecuația tangentei (lecția dedicată): $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ .

Coarda devine tangentă

x = 5

Panta coardei este (x² − 9)/(x − 3) = x + 3. Mută cursorul spre 3: panta se apropie de 6 = f′(3), iar coarda se suprapune peste tangentă.

Ce înseamnă geometric f′(x₀)?

Derivate laterale. Derivabil implică continuu

4 min 2 întrebări la final

f_{s}^{'} (x_{0}) = x \to x_{0} x < x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}, f_{d}^{'} (x_{0}) = x \to x_{0} x > x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}

Proprietate. $f$ este derivabilă în $x_{0}$ (interior) dacă și numai dacă $f_{s}^{'} (x_{0})$ și $f_{d}^{'} (x_{0})$ există, sunt finite și egale.

Teoremă. Dacă $f$ este derivabilă în $x_{0}$ , atunci $f$ este continuă în $x_{0}$ . Contrapozitiv: o funcție discontinuă într-un punct nu este derivabilă acolo.

Exemplul 2. Doi parametri: continuitate și derivabilitate

$f (x) = x^{2}$ pentru $x \leq 1$ și $f (x) = a x + b$ pentru $x > 1$ . Determinați $a$ , $b$ reali pentru care $f$ este derivabilă pe $R$ .

Pe $(- \infty, 1)$ și $(1, + \infty)$ , $f$ este polinomială, deci derivabilă. În $x_{0} = 1$ :

Continuitate: $l_{s} (1) = 1 = f (1)$ , $l_{d} (1) = a + b$ , deci $a + b = 1$ .

Derivate laterale (cu $f (1) = 1$ ):

f_{s}^{'} (1) = x \to 1 x < 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = 2, f_{d}^{'} (1) = x \to 1 x > 1 lim \frac{a x + b - 1}{x - 1} = x \to 1 x > 1 lim \frac{a ( x - 1 )}{x - 1} = a

(am folosit $b - 1 = - a$ ). Derivabil $\Leftrightarrow a = 2$ , deci a = 2, b = −1.

Colț sau racordare fără colț

a = 0,5

Cu b = 1 − a, ramurile se întâlnesc mereu în (1, 1), deci f e continuă. Numai la a = 2 dispare colțul: atunci derivatele laterale sunt egale și f e derivabilă.

Este orice funcție continuă derivabilă?

Când e f derivabilă într-un punct interior, cu derivate laterale?

Puncte unghiulare, de întoarcere, tangentă verticală

5 min

f_{s}^{'} (x_{0}) \neq = f_{d}^{'} (x_{0})

, cel puțin una finită

Denumire

punct unghiular

Exemplu

∣ x - 2 ∣

în 2:

f_{s}^{'} = - 1

f_{d}^{'} = 1

f_{s}^{'}

f_{d}^{'}

infinite, de semne contrare

Denumire

punct de întoarcere

Exemplu

radicalul din

∣ x ∣

, în 0:

- \infty

și

+ \infty

f^{'} (x_{0}) = + \infty

- \infty

Denumire

tangentă verticală

x = x_{0}

Exemplu

3 x

în 0:

f^{'} (0) = + \infty

1 / 3

Situația în $x_{0}$ ( $f$ continuă)	Denumire	Exemplu
$f_{s}^{'} (x_{0}) \neq = f_{d}^{'} (x_{0})$ , cel puțin una finită	punct unghiular	$∣ x - 2 ∣$ în 2: $f_{s}^{'} = - 1$ , $f_{d}^{'} = 1$
$f_{s}^{'}$ , $f_{d}^{'}$ infinite, de semne contrare	punct de întoarcere	radicalul din $∣ x ∣$ , în 0: $- \infty$ și $+ \infty$
$f^{'} (x_{0}) = + \infty$ sau $- \infty$	tangentă verticală $x = x_{0}$	$3 x$ în 0: $f^{'} (0) = + \infty$

Derivata ca unealtă de calcul al limitelor

5 min

Orice limită de forma $(f (x) - f (x_{0})) / (x - x_{0})$ este, prin definiție, $f^{'} (x_{0})$ . Baremele folosesc des acest pas.

BAC 2020, august, varianta 3, III.1.a și III.1.c

$f : R \to (0, + \infty)$ , $f (x) = 6^{x} - 3^{x} + 2^{x}$ .

a) $f^{'} (x) = 6^{x} ln 6 - 3^{x} ln 3 + 2^{x} ln 2$ , deci $f^{'} (0) = ln 6 - ln 3 + ln 2 = ln 4$ (barem: 3p derivata, 2p valoarea).

c) Calculați

x \to 0 lim \frac{ln f ( x )}{x}

Cu $g (x) = ln f (x)$ : $g (0) = ln 1 = 0$ , deci limita este chiar

x \to 0 lim \frac{g ( x ) - g ( 0 )}{x - 0} = g^{'} (0)

Cum $g^{'} (x) = f^{'} (x) / f (x)$ :

x \to 0 lim \frac{ln f ( x )}{x} = \frac{f ^{'} ( 0 )}{f ( 0 )} = \frac{ln 4}{1} = ln 4

Baremul scrie același calcul prin regula lui l'Hospital (lecția dedicată): derivă numărătorul și numitorul și obține $f^{'} (0) / f (0) = ln 4$ (3p transformarea, 2p rezultatul).

BAC 2025, sesiunea specială, varianta 3, III.1.b

$f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{2 x - 2 + ln x}{x}$ , cu $f^{'} (x) = \frac{3 - ln x}{x ^{2}}$ (de la a)). Arătați că

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{ln x} = 3

Cum $f (1) = 0$ și $ln 1 = 0$ , pentru $x \neq = 1$ împărțim sus și jos la $x - 1$ :

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{ln x} = x \to 1 lim \frac{\frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1}}{\frac{ln x - ln 1}{x - 1}} = \frac{f ^{'} ( 1 )}{( ln ) ^{'} ( 1 )} = \frac{3}{1} = 3

Baremul aplică regula lui l'Hospital pe $\frac{2 x - 2 + ln x}{x ln x}$ : raportul derivatelor $\frac{2 + \frac{1}{x}}{ln x + 1} \to 3$ (3p transformarea, 2p rezultatul). Ambele rezolvări sunt complete.

Toate valorile au fost verificate numeric.

Ce se cere la BAC

2 mincum apare la examen

III.1.a: o derivată sau o valoare $f^{'} (x_{0})$ (2020 august: $ln 4$ ).
III.1.b sau c: o limită care se recunoaște ca derivată într-un punct (2020 august, c: $ln 4$ ; 2025 specială, b: 3; simulare 2026, b: exponentul $\frac{f ( x ) - f ( 2 )}{x - 2} \to f^{'} (2)$ ); derivabilitatea unei funcții pe ramuri, cu parametri.
Fraza de barem: „ $f$ este derivabilă pe ..., ca operații cu funcții derivabile” când funcția e dată printr-o formulă elementară.

Greșeli care costă puncte

2 mincapcanele de evitat

Continuitatea neverificată la funcții pe ramuri.
Derivata ramurii folosită direct în punctul de racord, fără limite laterale (corect doar cu corolarul lui Lagrange, care cere continuitate).
„f′(x₀) = ∞, deci derivabilă”: derivabilitatea cere derivată finită.
$∣ x ∣$ declarată derivabilă în 0.
În limita ca derivată: uitarea condiției $g (x_{0}) = 0$ (altfel raportul nu e cel din definiție).

Termeni-cheie

Derivata în punctul x₀: f′(x₀) = lim (x → x₀) (f(x) − f(x₀))/(x − x₀), dacă limita există; f e derivabilă în x₀ dacă limita există și este finită.
Interpretarea geometrică: f′(x₀) este panta tangentei la grafic în punctul (x₀, f(x₀)).
Derivata la stânga / la dreapta: Limitele laterale ale raportului (f(x) − f(x₀))/(x − x₀), notate f′s(x₀) și f′d(x₀).
Derivabilitate cu derivate laterale: f derivabilă în x₀ interior ⇔ f′s(x₀) și f′d(x₀) există, sunt finite și egale.
Derivabil implică continuu: Dacă f este derivabilă în x₀, atunci f este continuă în x₀; reciproca este falsă (|x| în 0).
Punct unghiular: Punct în care f este continuă, derivatele laterale există, sunt diferite și cel puțin una este finită.
Punct de întoarcere: Punct în care f este continuă, iar derivatele laterale sunt infinite, de semne contrare.
Tangentă verticală: Dacă f′(x₀) = +∞ sau −∞ (f continuă în x₀), tangenta este dreapta verticală x = x₀.
Funcție derivabilă pe o mulțime: Funcție derivabilă în fiecare punct al mulțimii; derivata ei este funcția f′.

Notițele mele

Salvat local

Pe scurt

Definiția derivatei

Derivate laterale. Derivabil implică continuu

Puncte unghiulare, de întoarcere, tangentă verticală

Derivata ca unealtă de calcul al limitelor

Ce se cere la BAC

Greșeli care costă puncte

Termeni-cheie

Notițele mele

Surse