Derivatele funcțiilor elementare și regulile de derivare

Tabelul derivatelor (puteri, radicali, exponențiale, logaritmi, funcții trigonometrice directe și inverse), regulile pentru sumă, produs, cât și compunere, derivata a doua și cum se scrie „Arătați că f′(x) = ...” ca în barem.

26 min
La BAC: Subiectul al III-lea (1)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Produs: f′g + fg′. Cât: (f′g − fg′)/g², cu minus și g la pătrat.
Truc: La cât: „derivata de sus ori jos, minus sus ori derivata de jos, totul pe jos la pătrat”.
02
Compunere: derivezi „funcția de afară” în u, apoi înmulțești cu u′. (eᵘ)′ = eᵘ·u′, (ln u)′ = u′/u, (√u)′ = u′/(2√u).
03
(aˣ)′ = aˣ ln a și (log_a x)′ = 1/(x ln a): ln a apare la exponențială sus, la logaritm jos.
04
La „Arătați că f′(x) = ...”: derivezi corect, apoi aduci la forma din enunț (factor comun, același numitor). Ultimul pas e punctat separat.
05
Derivata a doua = derivata derivatei; o folosești la convexitate și la semnul lui f′.

1 din 7

Pe scurt

3 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

Reguli: $(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}$ , $(c f)^{'} = c f^{'}$ , $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ , $(f / g)^{'} = (f^{'} g - f g^{'}) / g^{2}$ .
Compunere: $(f \circ u)^{'} = f^{'} (u) \cdot u^{'}$ .
Tabelul de mai jos se știe pe de rost, în ambele variante (cu $x$ și cu $u$ ).
Derivata a doua: $f^{''} = (f^{'})^{'}$ .
La BAC, III.1.a cere aproape mereu „Arătați că $f^{'} (x) = \dots$ ”: derivezi și aduci la forma din enunț.

Regulile de derivare

1 min

Dacă $f$ și $g$ sunt derivabile pe un interval $I$ , atunci pe $I$ :

(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}, (c f)^{'} = c f^{'}, (f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}, (\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}} (g \neq = 0)

(f \circ u)^{'} (x) = f^{'} (u (x)) \cdot u^{'} (x)

Tabelul derivatelor

9 min 3 întrebări la final

c

(constantă)

Derivata

0

x^{n}

Derivata

n x^{n - 1}

Condiție

n \in N^{*}

x^{a}

Derivata

a x^{a - 1}

Condiție

x > 0

a \in R

x

Derivata

1/ (2 x)

Condiție

x > 0

3 x

Derivata

1/ (3 3 x^{2})

Condiție

x \neq = 0

e^{x}

Derivata

e^{x}

a^{x}

Derivata

a^{x} ln a

Condiție

a > 0

a \neq = 1

ln x

Derivata

1/ x

Condiție

x > 0

lo g_{a} x

Derivata

1/ (x ln a)

Condiție

x > 0

sin x

Derivata

cos x

cos x

Derivata

- sin x

tg x

Derivata

1/ cos^{2} x

Condiție

cos x \neq = 0

ctg x

Derivata

- 1/ sin^{2} x

Condiție

sin x \neq = 0

arcsin x

Derivata

1/ 1 - x^{2}

Condiție

x \in (- 1, 1)

arccos x

Derivata

- 1/ 1 - x^{2}

Condiție

x \in (- 1, 1)

arctg x

Derivata

1/ (1 + x^{2})

arcctg x

Derivata

- 1/ (1 + x^{2})

1 / 17

Funcția	Derivata	Condiție
$c$ (constantă)	$0$
$x^{n}$	$n x^{n - 1}$	$n \in N^{*}$
$x^{a}$	$a x^{a - 1}$	$x > 0$ , $a \in R$
$x$	$1/ (2 x)$	$x > 0$
$3 x$	$1/ (3 3 x^{2})$	$x \neq = 0$
$e^{x}$	$e^{x}$
$a^{x}$	$a^{x} ln a$	$a > 0$ , $a \neq = 1$
$ln x$	$1/ x$	$x > 0$
$lo g_{a} x$	$1/ (x ln a)$	$x > 0$
$sin x$	$cos x$
$cos x$	$- sin x$
$tg x$	$1/ cos^{2} x$	$cos x \neq = 0$
$ctg x$	$- 1/ sin^{2} x$	$sin x \neq = 0$
$arcsin x$	$1/ 1 - x^{2}$	$x \in (- 1, 1)$
$arccos x$	$- 1/ 1 - x^{2}$	$x \in (- 1, 1)$
$arctg x$	$1/ (1 + x^{2})$
$arcctg x$	$- 1/ (1 + x^{2})$

Forma cu funcție compusă ( $u$ derivabilă, cu condițiile de domeniu de mai sus pentru $u (x)$ ):

FuncțiaDerivata

u^{n}

n u^{n - 1} u^{'}

u

u^{'} / (2 u)

e^{u}

e^{u} u^{'}

a^{u}

a^{u} ln a \cdot u^{'}

ln u

u^{'} / u

sin u

cos u

cos u \cdot u^{'}

- sin u \cdot u^{'}

tg u

u^{'} / cos^{2} u

arcsin u

u^{'} / 1 - u^{2}

arctg u

u^{'} / (1 + u^{2})

Funcția	Derivata
$u^{n}$	$n u^{n - 1} u^{'}$
$u$	$u^{'} / (2 u)$
$e^{u}$	$e^{u} u^{'}$
$a^{u}$	$a^{u} ln a \cdot u^{'}$
$ln u$	$u^{'} / u$
$sin u$ , $cos u$	$cos u \cdot u^{'}$ , $- sin u \cdot u^{'}$
$tg u$	$u^{'} / cos^{2} u$
$arcsin u$	$u^{'} / 1 - u^{2}$
$arctg u$	$u^{'} / (1 + u^{2})$

Câteva verificări rapide: $(sin x^{2})^{'} = 2 x cos x^{2}$ ; $(e^{- x})^{'} = - e^{- x}$ ; $(ln cos x)^{'} = - tg x$ ; $((2 x + 1)^{5})^{'} = 10 (2 x + 1)^{4}$ .

Derivata măsoară panta

x₀ = 1panta = 0,54

Mută cursorul: panta tangentei la sin x în x₀ este chiar cos x₀, adică ordonata punctului de pe curba punctată. Așa se citește (sin x)′ = cos x.

Care e derivata lui arctg x?

Care e derivata lui √(u(x))?

Care e derivata lui 3ˣ?

Exemple rezolvate

2 min

Exemplul 1. Produs, compunere, cât

a) $f (x) = x^{3} e^{x}$ : $f^{'} (x) = 3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} = (x^{3} + 3 x^{2}) e^{x}$ , $x \in R$ .

b) $f (x) = ln (x^{2} + 1)$ :

f^{'} (x) = \frac{( x ^{2} + 1 ) ^{'}}{x ^{2} + 1} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}, f^{''} (x) = \frac{2 ( x ^{2} + 1 ) - 2 x \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{2 - 2 x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

c) $f (x) = (x - 1) / (x + 1)$ , $x \neq = - 1$ :

f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( x + 1 ) - ( x - 1 ) \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{2}{( x + 1 ) ^{2}}

d) Radicalul unei expresii mereu pozitive, $x^{2} + 4 x + 5 = (x + 2)^{2} + 1 > 0$ :

f (x) = x^{2} + 4 x + 5, f^{'} (x) = \frac{2 x + 4}{2 x ^{2} + 4 x + 5} = \frac{x + 2}{x ^{2} + 4 x + 5}

Itemi oficiali: „Arătați că f′(x) = ...”

7 min

Model BAC 2022, III.1.a

$f (x) = (x^{3} + 3 x + 1) e^{- x}$ . Arătați că $f^{'} (x) = (2 - x) (x^{2} - x + 1) e^{- x}$ , $x \in R$ .

f^{'} (x) = (x^{3} + 3 x + 1)^{'} e^{- x} + (x^{3} + 3 x + 1) (e^{- x})^{'} = (3 x^{2} + 3) e^{- x} - (x^{3} + 3 x + 1) e^{- x} =

= (- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 2) e^{- x} = (2 - x) (x^{2} - x + 1) e^{- x}, x \in R

Barem: 3p pentru prima linie, 2p pentru factorizare. Verificarea factorizării: $(2 - x) (x^{2} - x + 1) = 2 x^{2} - 2 x + 2 - x^{3} + x^{2} - x = - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 2$ .

BAC 2020, sesiunea specială, varianta 1, III.1.a

$f (x) = x^{4} - x^{2} + 1$ . Arătați că

f^{'} (x) = \frac{4 x ^{3} - 2 x}{2 x ^{4} - x ^{2} + 1} = \frac{x ( 2 x ^{2} - 1 )}{x ^{4} - x ^{2} + 1}, x \in R

(derivata radicalului unei funcții compuse; barem 3p + 2p).

Model BAC 2021, III.1.a

$f (x) = \frac{x e ^{x}}{e ^{x} + 2}$ . Cu regula câtului:

f^{'} (x) = \frac{( e ^{x} + x e ^{x} ) ( e ^{x} + 2 ) - x e ^{x} \cdot e ^{x}}{( e ^{x} + 2 ) ^{2}} = \frac{e ^{2 x} + 2 e ^{x} + 2 x e ^{x}}{( e ^{x} + 2 ) ^{2}} = \frac{e ^{x} ( e ^{x} + 2 x + 2 )}{( e ^{x} + 2 ) ^{2}}, x \in R

BAC 2026, iunie–iulie, varianta 3, III.1.a

$f (x) = \frac{x ^{3} - 4 x}{x ^{2} + 5}$ . Arătați că $f^{'} (x) = \frac{( x ^{2} - 1 ) ( x ^{2} + 20 )}{( x ^{2} + 5 ) ^{2}}$ , $x \in R$ .

f^{'} (x) = \frac{( 3 x ^{2} - 4 ) ( x ^{2} + 5 ) - ( x ^{3} - 4 x ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + 5 ) ^{2}} = \frac{x ^{4} + 19 x ^{2} - 20}{( x ^{2} + 5 ) ^{2}} = \frac{( x ^{2} - 1 ) ( x ^{2} + 20 )}{( x ^{2} + 5 ) ^{2}}, x \in R

(barem: 3p regula câtului, 2p forma finală). Factorizarea se verifică: $(x^{2} - 1) (x^{2} + 20) = x^{4} + 19 x^{2} - 20$ .

Toate derivatele au fost verificate simbolic și prin diferențe finite.

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

III.1.a (5p): „Arătați că $f^{'} (x) = \dots$ ” (model 2022, 2020 specială, model 2021, 2020 iunie, 2021 august, model 2020; în 2024–2026, în toate cele 17 lucrări). Barem tipic: 3p derivarea, 2p forma finală.
Derivata a doua apare la convexitate (III.1) și la primitive (III.2.b: „ $F$ este convexă”, cu $F^{''} = f^{'}$ ).
Forma factorizată din a) este cheia pentru b) și c): din ea citești semnul lui $f^{'}$ .

Greșeli care costă puncte

2 mincapcanele de evitat

Produs derivat ca produs de derivate.
Minusul și pătratul uitate la regula câtului.
Factorul $u^{'}$ uitat la compunere.
$ln a$ pus greșit la $a^{x}$ și la $lo g_{a} x$ .
Domeniul omis la final („ $x \in (0, + \infty)$ ”): baremul îl scrie în rezultat.

Termeni-cheie

Derivata sumei: (f + g)′ = f′ + g′; (c·f)′ = c·f′, c constantă.
Derivata produsului: (f·g)′ = f′·g + f·g′.
Derivata câtului: (f/g)′ = (f′·g − f·g′)/g², unde g ≠ 0.
Derivata funcției compuse: (f ∘ u)′(x) = f′(u(x))·u′(x).
Derivata puterii: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹; (xᵃ)′ = a·xᵃ⁻¹ pentru x > 0, a real.
Derivata radicalului: (√x)′ = 1/(2√x), x > 0; (√u)′ = u′/(2√u).
Derivata exponențialei: (eˣ)′ = eˣ; (aˣ)′ = aˣ·ln a, a > 0, a ≠ 1.
Derivata logaritmului: (ln x)′ = 1/x, x > 0; (log_a x)′ = 1/(x·ln a); (ln u)′ = u′/u.
Derivatele trigonometrice: (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (tg x)′ = 1/cos²x, (ctg x)′ = −1/sin²x.
Derivatele funcțiilor inverse trigonometrice: (arcsin x)′ = 1/√(1 − x²), (arccos x)′ = −1/√(1 − x²) pe (−1, 1); (arctg x)′ = 1/(1 + x²), (arcctg x)′ = −1/(1 + x²).
Derivata a doua: f″ = (f′)′, dacă f′ este derivabilă.

Notițele mele

Salvat local

Pe scurt

Regulile de derivare

Tabelul derivatelor

Exemple rezolvate

Itemi oficiali: „Arătați că f′(x) = ...”

Ce se cere la BAC

Greșeli care costă puncte

Termeni-cheie

Notițele mele

Surse