Ecuații matriceale

Ecuațiile AX = B, XA = B și AXB = C rezolvate cu inversa, de ce contează partea pe care înmulțești, ce faci când matricea nu e inversabilă și cum găsești matricele care comută cu o matrice dată.

20 min
La BAC: Subiectul al II-lea (1)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
AX = B ⇒ X = A⁻¹B (A⁻¹ la stânga). XA = B ⇒ X = BA⁻¹ (A⁻¹ la dreapta).
Truc: Inversa se pune lângă A, pe partea unde stă A.
02
Cele două soluții sunt în general diferite, pentru că înmulțirea nu e comutativă.
03
AXB = C ⇒ X = A⁻¹CB⁻¹, dacă A și B sunt inversabile.
04
Dacă det A = 0, nu există A⁻¹: scrii X = (x y; z t), egalezi elementele și rezolvi sistemul; pot fi 0 sau infinit de multe soluții.
05
Verifică soluția: înmulțește înapoi. E un control de 30 de secunde care prinde aproape orice greșeală de semn.

1 din 7

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

AX = B, A inversabilă: $X = A^{- 1} B$ , unică.
XA = B, A inversabilă: $X = B A^{- 1}$ , unică. În general $A^{- 1} B \neq = B A^{- 1}$ .
AXB = C, A, B inversabile: $X = A^{- 1} C B^{- 1}$ .
A neinversabilă: necunoscute pe poziții, sistem liniar; poate avea zero sau o infinitate de soluții.
Comutare: $A X = X A$ se rezolvă tot egalând elemente.
Orice soluție se verifică prin înmulțire înapoi.

Rezolvarea cu matricea inversă

3 min

Dacă $A \in M_{n} (C)$ este inversabilă:

A X = B \Rightarrow A^{- 1} (A X) = A^{- 1} B \Rightarrow (A^{- 1} A) X = A^{- 1} B \Rightarrow X = A^{- 1} B

X A = B \Rightarrow (X A) A^{- 1} = B A^{- 1} \Rightarrow X = B A^{- 1}

Pe foaie se scrie: „Cum $det A \neq = 0$ , matricea $A$ este inversabilă; înmulțind la stânga cu $A^{- 1}$ , obținem $X = A^{- 1} B$ .”

De ce parte înmulțești cu inversa

Inversa se pune de partea unde stă A: la stânga lui X sau la dreapta. Înmulțirea matricelor nu e comutativă, deci A⁻¹B și BA⁻¹ sunt, în general, diferite.

Exemplul 1. AX = B și XA = B pentru aceleași matrice

$A = (2153)$ , $B = (1201)$ . $det A = 1 \neq = 0$ , $A^{- 1} = (3 - 1 - 5 2)$ .

A X = B : X = A^{- 1} B = (3 - 1 - 5 2) (1201) = (- 7 3 - 5 2)

X A = B : X = B A^{- 1} = (1201) (3 - 1 - 5 2) = (35 - 5 - 8)

Verificare pentru prima: $(2153) (- 7 3 - 5 2) = (- 14 + 15 - 7 + 9 - 10 + 10 - 5 + 6) = (1201) = B$ .

Exemplul 2. AXB = C

$A = (1011)$ , $B = (2001)$ , $C = (2031)$ . Ambele au determinantul nenul (1, respectiv 2).

X = A^{- 1} C B^{- 1} = (10 - 1 1) (2031) (\frac{1}{2} 0 01) = (2021) (\frac{1}{2} 0 01) = (1021)

Când matricea nu este inversabilă

3 min o întrebare la final

Dacă $det A = 0$ , scrii necunoscuta cu elemente: pentru o coloană $X = (x y)$ , pentru o matrice pătratică $X = (x z y t)$ . Egalitatea de matrice dă un sistem liniar.

Exemplul 3. Matrice singulară

$A = (1224)$ , $det A = 0$ . Rezolvați $A X = (36)$ .

Cu $X = (x y)$ : $x + 2 y = 3$ și $2 x + 4 y = 6$ . A doua ecuație este dublul primei, deci soluțiile sunt $X = (3 - 2 t t)$ , $t \in R$ : o infinitate.

Pentru membrul drept $(35)$ am obține $x + 2 y = 3$ și $2 x + 4 y = 5$ , adică $6 = 5$ : nicio soluție.

Ce tip are X în AX = B, cu A 2×2 și B 2×1?

Matricele care comută cu o matrice dată

2 min o întrebare la final

Exemplul 4. AX = XA

Determinați matricele $X \in M_{2} (R)$ care comută cu $A = (1011)$ .

X = (a c b d) : A X = (a + c c b + d d), X A = (a c a + b c + d)

Egalând: $a + c = a \Rightarrow c = 0$ ; $b + d = a + b \Rightarrow d = a$ ; restul se verifică. Deci $X = (a 0 b a)$ , cu $a, b \in R$ .

Ce matrice comută cu (1 1; 0 1)?

Ecuație cu necunoscută ascunsă într-un produs (item oficial)

6 min o întrebare la final

BAC 2020, august, varianta 3, II.1.c

$A (x) = 100 0 x 0 1 + ln x 01$ , $x > 0$ . Determinați numărul natural $n$ pentru care

A (\frac{1}{3}) A (\frac{1}{2}) A (1) A (2) A (3) = 100010 n 01

Din b), $A (x) A (y) = A (y) A (x)$ , deci factorii se pot reordona. Cu formula de la b):

A (\frac{1}{3}) A (3) = 100010201, A (\frac{1}{2}) A (2) = 100010201

A (\frac{1}{3}) A (3) \cdot A (\frac{1}{2}) A (2) \cdot A (1) = 100010401100010101 = 100010501

deci n = 5 (barem: 2p produsele grupate, 3p rezultatul).

Model BAC 2024, II.1.c. AXB = I₃

$A (a) = 0 a 1 0 - 1 0 1 a 0$ , $a \in R$ ; la b) s-a arătat că $A (a) A (b) = A (a) - A (b) + I_{3}$ , pentru orice $a, b$ reali. Determinați matricea $X \in M_{3} (R)$ pentru care $A (1) \cdot X \cdot A (0) = I_{3}$ .

Pentru $b = a$ , relația de la b) dă $A (a) A (a) = I_{3}$ , deci $(A (1))^{- 1} = A (1)$ și $(A (0))^{- 1} = A (0)$ (2p). Atunci

X = (A (1))^{- 1} (A (0))^{- 1} = A (1) A (0) = A (1) - A (0) + I_{3} = 110010011

(3p). Verificare: $A (1) X A (0) = I_{3}$ .

Model BAC 2025, II.1.c. AX = B cu matrice-parametru

$A = 0 - 1 0 00 - 1 100$ , $B (x) = 10 - x x 10 0 x 1$ . Pentru fiecare $x$ real, $C (x)$ este matricea cu $A \cdot C (x) = B (x)$ . Arătați că $C (x) - C (y) = (y - x) A$ , pentru orice $x, y$ reali.

Cum $det A = 1 \neq = 0$ (de la a)), $A$ este inversabilă și $C (x) = A^{- 1} B (x)$ :

A^{- 1} = 001 - 1 00 0 - 1 0, C (x) = A^{- 1} B (x) = 0 x 1 - 1 0 x - x - 1 0

(3p), deci

C (x) - C (y) = 0 x - y 0 00 x - y y - x 00 = (y - x) A

(2p).

Toate soluțiile au fost verificate prin înmulțire înapoi.

Care e soluția ecuației XA = B?

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

c) „Determinați matricea X pentru care ...”: aproape mereu cu o matrice inversabilă găsită la b); baremul punctează inversabilitatea, inversa, produsul (model 2024: $X = A (1) A (0)$ ; model 2025: $C (x) = A^{- 1} B (x)$ ).
c) cu necunoscută-număr: produse de matrice dintr-o familie (2020 august: $n = 5$ ), egalități $A^{n} = \dots$ , comutare.
Formulări-capcană: „ $X \in M_{2} (Z)$ ” (soluția trebuie să aibă elemente întregi), „ $X$ cu $det X = \dots$ ” (o condiție în plus).

Greșeli care costă puncte

2 mincapcanele de evitat

Partea greșită: $X = B A^{- 1}$ pentru $A X = B$ .
Inversa folosită fără justificare ( $det A \neq = 0$ nescris).
Tipul lui X greșit (o coloană tratată ca matrice pătratică).
La matrice singulară: concluzia „nu are soluții” fără să rezolvi sistemul (poate avea o infinitate).
Reordonarea factorilor fără să citezi comutarea demonstrată la b).

Termeni-cheie

Ecuația AX = B: Dacă A este inversabilă, are soluția unică X = A⁻¹B (înmulțire la stânga cu A⁻¹).
Ecuația XA = B: Dacă A este inversabilă, are soluția unică X = BA⁻¹ (înmulțire la dreapta cu A⁻¹).
Ecuația AXB = C: Dacă A și B sunt inversabile: X = A⁻¹CB⁻¹.
Matrice necunoscută: Când A nu este inversabilă, scrii X cu elemente necunoscute (x, y, z, t) și rezolvi sistemul obținut prin egalarea elementelor.
Matrice care comută cu A: Matricele X cu AX = XA; se găsesc egalând elementele celor două produse.
Tipul necunoscutei: Din AX = B cu A de tip (m, n) și B de tip (m, p) rezultă X de tip (n, p).

Notițele mele

Salvat local