Sisteme de ecuații liniare: forma matriceală și regula lui Cramer

Matricea sistemului și matricea extinsă, sistemul de tip Cramer și formulele x = Δx/Δ, metoda matriceală X = A⁻¹B, sistemele omogene și condiția de soluție unică folosită la Subiectul al II-lea.

25 min
La BAC: Subiectul al II-lea (1)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Sistemul AX = B are soluție unică ⇔ det A ≠ 0 (pentru n ecuații cu n necunoscute).
02
Cramer: x = Δx/Δ, y = Δy/Δ, z = Δz/Δ; Δx = Δ cu coloana lui x înlocuită de termenii liberi.
Truc: Fiecare necunoscută își „împrumută” coloana termenilor liberi.
03
Când Δ depinde de un parametru: soluție unică ⇔ parametrul nu e rădăcină a lui Δ. Scrie mulțimea exclusă înainte de orice calcul.
04
Sistem omogen: are mereu soluția (0, 0, 0); are și soluții nenule ⇔ Δ = 0.
05
Verifică soluția în toate ecuațiile: dacă a doua sau a treia nu se verifică, ai greșit un semn.

1 din 7

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

Un sistem liniar se scrie AX = B: $A$ matricea sistemului, $\overset{ˉ}{A}$ matricea extinsă (cu coloana termenilor liberi).
Tip Cramer: $n$ ecuații, $n$ necunoscute, $Δ = det A \neq = 0$ ; soluția unică $x_{i} = Δ_{i} /Δ$ .
Metoda matriceală: $X = A^{- 1} B$ (același rezultat).
Sistem omogen: compatibil mereu; soluții nenule $\Leftrightarrow Δ = 0$ .
La BAC: $Δ$ depinde de un parametru; „soluție unică” înseamnă exact $Δ \neq = 0$ .

Forma matriceală

1 min

Sistemul

⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x + a_{12} y + a_{13} z = b_{1} a_{21} x + a_{22} y + a_{23} z = b_{2} a_{31} x + a_{32} y + a_{33} z = b_{3}

se scrie $A X = B$ , cu

A = a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33}, X = x y z, B = b_{1} b_{2} b_{3}, \overset{ˉ}{A} = a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33} b_{1} b_{2} b_{3}

Un triplet $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ este soluție dacă verifică toate ecuațiile. După numărul de soluții, sistemul este compatibil determinat, compatibil nedeterminat sau incompatibil.

Regula lui Cramer

4 min 2 întrebări la final

Teoremă. Dacă sistemul are $n$ ecuații, $n$ necunoscute și $Δ = det A \neq = 0$ (sistem de tip Cramer), atunci el este compatibil determinat, iar soluția este

x = \frac{Δ _{x}}{Δ}, y = \frac{Δ _{y}}{Δ}, z = \frac{Δ _{z}}{Δ}

unde $Δ_{x}$ , $Δ_{y}$ , $Δ_{z}$ se obțin din $Δ$ înlocuind coloana coeficienților necunoscutei respective cu coloana termenilor liberi.

Legătura cu inversa: dacă $Δ \neq = 0$ , din $A X = B$ rezultă $X = A^{- 1} B = Δ^{- 1} A^{*} B$ ; formulele lui Cramer sunt exact elementele acestui produs. Pe foaie poți folosi oricare metodă; pentru o singură necunoscută cerută, Cramer e mai rapid.

Metoda substituției/reducerii rămâne corectă și punctată integral („orice soluție corectă se punctează”). Când coeficienții sunt simpli, e adesea cea mai scurtă.

Exemplul 1. Sistem numeric

⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 6 x - y + 2 z = 5 2 x + y - z = 1 Δ = 112 1 - 1 1 12 - 1 = 1 \cdot (1 - 2) - 1 \cdot (- 1 - 4) + 1 \cdot (1 + 2) = 7 \neq = 0

Sistemul este de tip Cramer.

Δ_{x} = 651 1 - 1 1 12 - 1 = 7, Δ_{y} = 112651 12 - 1 = 14, Δ_{z} = 112 1 - 1 1 651 = 21

$x = 1$ , $y = 2$ , $z = 3$ . Verificare în a doua ecuație: $1 - 2 + 6 = 5$ .

Cum se obține Δₓ

Termenii liberi 6, 5, 1 iau locul coloanei lui x din Δ. Rezultă Δₓ = 7 și, cum Δ = 7, x = 1.

Când are un sistem de 3 ecuații cu 3 necunoscute soluție unică?

Cum se obține Δy?

Sisteme omogene

3 min o întrebare la final

Un sistem cu toți termenii liberi nuli are întotdeauna soluția $(0, 0, \dots, 0)$ . Pentru $n$ ecuații cu $n$ necunoscute:

dacă $Δ \neq = 0$ , soluția nulă este unică;
dacă $Δ = 0$ , sistemul are și soluții nenule (este compatibil nedeterminat).

Exemplul 2. Sistem omogen cu parametru

Determinați $m \in R$ pentru care sistemul $x + y + z = 0$ , $x + 2 y + m z = 0$ , $x + 4 y + m^{2} z = 0$ are soluții nenule.

$Δ = 111124 1 m m^{2}$ este un determinant Vandermonde cu $1, 2, m$ (linia a doua: $1, 2, m$ ; linia a treia: pătratele lor), deci $Δ = (2 - 1) (m - 1) (m - 2)$ .

Soluții nenule $\Leftrightarrow Δ = 0 \Leftrightarrow m \in {1, 2}$ . De exemplu, pentru $m = 1$ , $(1, 0, - 1)$ este o soluție nenulă.

Când are un sistem omogen soluții nenule?

Itemi oficiali rezolvați

12 min

Model BAC 2020, II.1.c

$A (a) = a a 1 24 - 1 11 a$ și sistemul $a x + 2 y + z = 4$ , $a x + 4 y + z = 6$ , $x - y + a z = 1$ . Determinați $a$ real, știind că sistemul are soluție unică $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ și $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} + z_{0}^{2} = 3$ .

Din b), $det (A (a)) = 2 (a^{2} - 1)$ . Soluție unică $\Leftrightarrow det (A (a)) \neq = 0 \Leftrightarrow a \in R ∖ {- 1, 1}$ . Scăzând primele două ecuații: $2 y = 2$ , deci $y_{0} = 1$ ; apoi se obține

(x_{0}, y_{0}, z_{0}) = (\frac{2}{a + 1}, 1, \frac{2}{a + 1})

\frac{4}{( a + 1 ) ^{2}} + 1 + \frac{4}{( a + 1 ) ^{2}} = 3 \Leftrightarrow (a + 1)^{2} = 4 \Leftrightarrow a \in {- 3, 1}

Cum $a \neq = 1$ , obținem a = −3 (barem: 3p soluția, 2p condiția și eliminarea lui $a = 1$ ). Verificare: pentru $a = - 3$ , soluția $(- 1, 1, - 1)$ verifică toate cele trei ecuații.

BAC 2020, sesiunea specială, varianta 1, II.1.c

Sistemul $x + (2 - a) y + a z = 1$ , $a x + y + z = 2 - a$ , $a x + (2 a - 5) y + (a - 2) z = - 4$ . Determinați numărul natural $a$ pentru care sistemul are soluție unică $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ , cu $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ numere naturale.

Din b), $det (A (a)) = (a - 1) (a - 3) (3 a + 1)$ . Soluție unică $\Leftrightarrow det (A (a)) \neq = 0$ , deci pentru $a \in N$ : $a \in N ∖ {1, 3}$ .

Din a doua ecuație, $a x_{0} + y_{0} + z_{0} = 2 - a$ , iar membrul stâng este natural, deci $2 - a \in N$ , adică $a \in {0, 2}$ (3p).

$a = 2$ : soluția unică este $(- \frac{9}{7}, \frac{10}{7}, \frac{8}{7})$ , care nu convine.
$a = 0$ : sistemul $x + 2 y = 1$ , $y + z = 2$ , $- 5 y - 2 z = - 4$ are soluția $(1, 0, 2)$ , care convine.

Deci a = 0 (2p).

BAC 2026, iunie–iulie, varianta 3, II.1.c

Sistemul $x + a y + a z = 1$ , $a x + 3 y + a z = 0$ , $2 y + z = 0$ , cu $det (A (a)) = (a - 1)^{2} + 2 \neq = 0$ (de la b)), deci cu soluție unică pentru orice $a$ . Determinați numărul natural nenul $a$ pentru care soluția $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ verifică $z_{0} = n x_{0}$ , unde $n$ este număr natural.

Din a treia ecuație, $z = - 2 y$ ; înlocuind, $x - a y = 1$ și $a x + (3 - 2 a) y = 0$ , de unde

x_{0} = \frac{3 - 2 a}{a ^{2} - 2 a + 3}, y_{0} = \frac{- a}{a ^{2} - 2 a + 3}, z_{0} = \frac{2 a}{a ^{2} - 2 a + 3}

Condiția $z_{0} = n x_{0}$ devine $2 a = n (3 - 2 a)$ (3p). Cum $a \geq 1$ , membrul stâng este pozitiv, deci $3 - 2 a > 0$ , adică $a = 1$ (și atunci $n = 2$ ): a = 1 (2p).

BAC 2025, august, varianta 9, II.1.c

$A (a) = a a 1 111 2 a 0 - a$ și sistemul $a x + y + 2 a z = a + 1$ , $a x + y = 0$ , $x + y - a z = - 1$ . Determinați $a$ real pentru care sistemul are soluție unică $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ și $x_{0} = a$ .

$det (A (a)) = 2 a^{2} - 2 a$ , deci soluția este unică pentru $a \in R ∖ {0, 1}$ (2p). Scăzând a doua ecuație din prima: $2 a z = a + 1$ , $z_{0} = \frac{a + 1}{2 a}$ ; din a doua, $y = - a x$ ; în a treia: $(1 - a) x_{0} = \frac{a + 1}{2} - 1 = \frac{a - 1}{2}$ , deci $x_{0} = - \frac{1}{2}$ . Din $x_{0} = a$ : a = −1/2, care convine (3p).

Toate soluțiile au fost verificate prin substituție în fiecare ecuație.

Ce se cere la BAC

2 mincum apare la examen

a) $det (A (valoare))$ sau o verificare (de exemplu, că un triplet dat este soluție).
b) forma lui $det (A (a))$ , des factorizată, sau „pentru ce $a$ sistemul este compatibil determinat”.
c) soluție unică + condiție pe soluție: model 2020 ( $a = - 3$ ), 2020 specială ( $a = 0$ ), 2026 iunie ( $a = 1$ ), 2025 august ( $a = - \frac{1}{2}$ ). Baremul punctează explicit eliminarea valorilor care anulează determinantul.

Greșeli care costă puncte

2 mincapcanele de evitat

Valorile interzise ( $Δ = 0$ ) uitate: în model 2020, $a = 1$ satisface ecuația finală, dar nu convine.
Coloana greșită la $Δ_{x}$ , $Δ_{y}$ , $Δ_{z}$ .
Soluția neverificată: un semn greșit la $Δ_{y}$ se vede imediat într-o ecuație.
La „numere naturale”: lipsa argumentului de divizibilitate sau de semn care reduce cazurile.
„Sistem omogen incompatibil”: un sistem omogen nu este niciodată incompatibil.

Termeni-cheie

Matricea sistemului: Matricea A a coeficienților necunoscutelor; sistemul se scrie AX = B, cu X coloana necunoscutelor și B coloana termenilor liberi.
Matricea extinsă: Matricea Ā obținută adăugând la A coloana termenilor liberi.
Sistem compatibil determinat: Sistem cu soluție unică.
Sistem compatibil nedeterminat: Sistem cu o infinitate de soluții.
Sistem incompatibil: Sistem fără soluții.
Sistem de tip Cramer: Sistem cu numărul de ecuații egal cu numărul de necunoscute și determinantul matricei sistemului nenul.
Regula lui Cramer: Un sistem de tip Cramer are soluția unică x_i = Δ_i/Δ, unde Δ_i se obține înlocuind coloana i din Δ cu coloana termenilor liberi.
Sistem omogen: Sistem cu toți termenii liberi 0; are mereu soluția nulă.
Soluții nenule ale sistemului omogen: Un sistem omogen pătratic are și soluții nenule dacă și numai dacă Δ = 0.

Notițele mele

Salvat local