Integrarea prin schimbare de variabilă

Prima și a doua formulă de schimbare de variabilă pentru integrala definită, schimbarea capetelor, recunoașterea formei f(u(x))·u′(x), integrale din funcții pare și impare și doi itemi oficiali rezolvați ca în barem.

24 min
La BAC: Subiectul al III-lea (2)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
∫ₐᵇ f(u(x))·u′(x) dx = ∫ de la u(a) la u(b) din f(t) dt: schimbi funcția și capetele.
Truc: Schimbi „moneda”: și prețul, și suma de plată se convertesc.
02
Cauți în integrand o funcție compusă și derivata funcției din interior; constanta lipsă o compensezi.
03
Impară pe [−a, a] ⇒ integrala e 0; pară ⇒ 2·∫₀ᵃ.
04
Substituții frecvente: t = ln x (cu 1/x), t = cos x (cu sin x), t = x³ + 1 (cu x²).
05
După schimbarea capetelor nu te mai întorci la x: calculezi direct în t.

1 din 7

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

Prima formulă: $\int_{a}^{b} f (u (x)) u^{'} (x) d x = \int_{u (a)}^{u (b)} f (t) d t$ .
A doua formulă: $x = φ (t)$ , $d x = φ^{'} (t) d t$ , iar capetele devin $φ^{- 1} (a)$ , $φ^{- 1} (b)$ .
Cel mai des la BAC: integrandul are forma $u^{'} / u$ sau $u^{n} u^{'}$ (substituție „ascunsă”).
Funcție impară continuă pe $[- a, a]$ : integrala e 0; pară: $2 \int_{0}^{a}$ .
După substituție se lucrează numai în noua variabilă, cu noile capete.

Prima formulă de schimbare de variabilă

2 min

Teoremă. Fie $u : [a, b] \to J$ derivabilă, cu $u^{'}$ continuă, și $f : J \to R$ continuă. Atunci

\int_{a}^{b} f (u (x)) u^{'} (x) d x = \int_{u (a)}^{u (b)} f (t) d t .

Demonstrație: dacă $F$ este o primitivă a lui $f$ , atunci $(F \circ u)^{'} = (f \circ u) u^{'}$ și ambele integrale sunt egale cu $F (u (b)) - F (u (a))$ .

Alegi t = u(x)
Funcția interioară a compunerii, a cărei derivată apare (până la o constantă) în integrand.
Calculezi dt = u′(x) dx și noile capete
$x = a \mapsto t = u (a)$ , $x = b \mapsto t = u (b)$ .
Rescrii și calculezi în t
Fără să mai revii la $x$ .

A doua formulă de schimbare de variabilă

1 min

Teoremă. Dacă $φ : [α, β] \to [a, b]$ este bijectivă, cu $φ^{'}$ continuă, $φ (α) = a$ , $φ (β) = b$ , și $f$ este continuă pe $[a, b]$ , atunci

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} f (φ (t)) φ^{'} (t) d t .

Exemplu: $x = sin t$ , $t \in [0, \frac{π}{2}]$ , pentru $1 - x^{2}$ (vezi ultimul model).

Funcții pare și impare

1 min

Pentru $f$ continuă pe $[- a, a]$ , cu substituția $x = - t$ :

f impar \overset{a}{˘} \Rightarrow \int_{- a}^{a} f (x) d x = 0, f par \overset{a}{˘} \Rightarrow \int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \int_{0}^{a} f (x) d x .

Funcție impară: ariile se anulează

Pentru g(x) = x³ cos x, din exemplele de mai jos, partea de sub axă și cea de deasupra sunt simetrice față de origine. Se anulează în integrală, deci ∫₋₁¹ g(x) dx = 0.

Exemple rezolvate

12 min 3 întrebări la final

BAC iunie 2020, varianta 6, III.2.b

f (x) = \frac{x}{x ^{3} + 1}, \int_{0}^{1} f^{2} (x) d x = \int_{0}^{1} \frac{x ^{2}}{x ^{3} + 1} d x = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} \frac{( x ^{3} + 1 ) ^{'}}{x ^{3} + 1} d x = \frac{1}{3} ln (x^{3} + 1)_{0}^{1} = \frac{1}{3} ln 2.

Echivalent, cu $t = x^{3} + 1$ , $d t = 3 x^{2} d x$ , capetele $1$ și $2$ : $\frac{1}{3} \int_{1}^{2} \frac{d t}{t} = \frac{1}{3} ln 2$ .

Barem oficial: forma cu $(x^{3} + 1)^{'}$ 3p, rezultatul 2p.

BAC 2021, model, III.2.b

f (x) = \frac{2 ( x + 3 )}{x ^{2} + 4 x + 5}, f^{2} (x) - 4 = \frac{4 ( x + 3 ) ^{2} - 4 ( x ^{2} + 4 x + 5 )}{x ^{2} + 4 x + 5} = \frac{4 ( 2 x + 4 )}{x ^{2} + 4 x + 5}

\int_{0}^{1} (f^{2} (x) - 4) d x = 4 \int_{0}^{1} \frac{( x ^{2} + 4 x + 5 ) ^{'}}{x ^{2} + 4 x + 5} d x = 4 ln (x^{2} + 4 x + 5)_{0}^{1} = 4 (ln 10 - ln 5) = 4 ln 2.

BAC 2023, sesiunea august, varianta 7, III.2.b (t = ln(x + 1))

$f (x) = 6 x + ln (x + 1)$ , $x > - 1$ . Arătați că $\int_{0}^{e - 1} \frac{f ( x ) - 6 x}{x + 1} d x = \frac{1}{2}$ .

Integrandul este $ln (x + 1) \cdot (ln (x + 1))^{'}$ , de forma $u \cdot u^{'}$ :

\int_{0}^{e - 1} ln (x + 1) (ln (x + 1))^{'} d x = \frac{ln ^{2} ( x + 1 )}{2}_{0}^{e - 1} = \frac{ln ^{2} e}{2} - \frac{ln ^{2} 1}{2} = \frac{1}{2} .

Echivalent, cu $t = ln (x + 1)$ , capetele devin $0$ și $1$ : $\int_{0}^{1} t d t = \frac{1}{2}$ . Barem oficial: forma $u \cdot u^{'}$ și primitiva 3p; valoarea 2p.

BAC 2024, simulare, III.2.c (t = xⁿ în șiruri de integrale)

$f (x) = \frac{x + 1}{e ^{x}}$ și $I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n - 1}}{f ( x ^{n} )} d x$ , $n \geq 2$ . Demonstrați că $\frac{l n 2}{n} \leq I_{n} \leq \frac{e - 1}{n}$ .

$\frac{x ^{n - 1}}{f ( x ^{n} )} = \frac{x ^{n - 1} e ^{x^{n}}}{x ^{n} + 1}$ . Cu $t = x^{n}$ , $d t = n x^{n - 1} d x$ , capetele rămân 0 și 1:

I_{n} = \frac{1}{n} \int_{0}^{1} \frac{( x ^{n} ) ^{'} e ^{x^{n}}}{x ^{n} + 1} d x = \frac{1}{n} \int_{0}^{1} \frac{e ^{t}}{t + 1} d t .

Pe $[0, 1]$ : $1 \leq e^{t} \leq e$ și $\frac{1}{t + 1} \leq 1$ , deci $\frac{1}{t + 1} \leq \frac{e ^{t}}{t + 1} \leq e^{t}$ . Integrând, $\frac{l n 2}{n} \leq I_{n} \leq \frac{e - 1}{n}$ .

Barem oficial: schimbarea de variabilă 3p; cele două inegalități 2p.

Exercițiu de tip BAC: substituții cu cos x și ln x

a) Cu $t = cos x$ , $d t = - sin x d x$ ; pentru $x = 0$ , $t = 1$ ; pentru $x = \frac{π}{2}$ , $t = 0$ :

\int_{0}^{π /2} sin x cos^{2} x d x = - \int_{1}^{0} t^{2} d t = \int_{0}^{1} t^{2} d t = \frac{1}{3} .

b) Cu $t = ln x$ , $d t = \frac{1}{x} d x$ ; capetele $x = 1 \mapsto t = 0$ , $x = e \mapsto t = 1$ :

\int_{1}^{e} \frac{ln x}{x} d x = \int_{0}^{1} t d t = \frac{1}{2} .

Exercițiu de tip BAC: a doua formulă și paritatea

a) Cu $x = sin t$ , $t \in [0, \frac{π}{2}]$ , $d x = cos t d t$ , iar $1 - sin^{2} t = cos^{2} t$ cu $cos t \geq 0$ , deci radicalul este $cos t$ :

\int_{0}^{1} 1 - x^{2} d x = \int_{0}^{π /2} cos^{2} t d t = \int_{0}^{π /2} \frac{1 + cos 2 t}{2} d t = \frac{π}{4} .

b) $g (x) = x^{3} cos x$ este continuă și impară ( $g (- x) = - g (x)$ ), deci $\int_{- 1}^{1} x^{3} cos x d x = 0$ .

Cât este ∫₁ᵉ (ln x)/x dx?

Cât este ∫₀^(π/2) sin x·cos²x dx?

Model 2021, b): de ce ∫₀¹ (f²(x) − 4) dx = 4 ln 2?

Ce se cere la BAC

4 mincum apare la examen

Iunie 2020, III.2.b: $\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x = \frac{1}{3} ln 2$ (forma $u^{'} / u$ cu $u = x^{3} + 1$ ).
Model 2021, III.2.b: $\int_{0}^{1} (f^{2} (x) - 4) d x = 4 ln 2$ (după aducerea la același numitor).
Specială 2020, III.2.b: $\frac{1}{2} ln \frac{8}{5}$ (forma $u^{'} / u$ cu $u = x^{2} + 2 x + 5$ ).
August 2023, III.2.b: $\frac{l n ^{2} ( x + 1 )}{2}$ între 0 și $e - 1$ , rezultat $\frac{1}{2}$ ; aceeași formă $u^{2} u^{'}$ la iunie 2025 rezervă și specială 2026 ( $\int_{1}^{e} \frac{l n ^{2} x}{x} d x = \frac{1}{3}$ ).
Simulare 2024, III.2.c: $t = x^{n}$ transformă $I_{n}$ în $\frac{1}{n} \int_{0}^{1} \frac{e ^{t}}{t + 1} d t$ (3p + 2p).
Model 2023, III.2.b: $\int_{- m}^{m} \frac{1}{1 + e ^{- x}} d x = \int_{- m}^{m} \frac{( e ^{x} + 1 ) ^{'}}{e ^{x} + 1} d x = m$ .
La c), schimbarea de variabilă $t = x^{n}$ sau simetria intervalului ajută la șirurile de integrale.

Greșeli care costă puncte

2 mincapcanele de evitat

Capete neschimbate după substituție.
Semnul de la $d t = - sin x d x$ uitat (inversează capetele).
Factorul constant lipsă: $x^{2} d x = \frac{1}{3} d t$ , nu $d t$ .
Paritate fără verificare: scrie explicit $g (- x) = - g (x)$ și că funcția e continuă pe un interval simetric.
Radicalul simplificat greșit: radicalul din $cos^{2} t$ este $∣ cos t ∣$ ; pe $[0, \frac{π}{2}]$ este $cos t$ .

Termeni-cheie

Prima formulă de schimbare de variabilă: Dacă u: [a, b] → J are derivata continuă și f: J → ℝ este continuă, atunci ∫ₐᵇ f(u(x))·u′(x) dx = ∫ de la u(a) la u(b) din f(t) dt.
A doua formulă de schimbare de variabilă: Dacă φ: [α, β] → [a, b] este bijectivă, cu derivata continuă, și f este continuă, atunci ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ din f(φ(t))·φ′(t) dt, cu capetele φ⁻¹(a), φ⁻¹(b).
Schimbarea capetelor: La substituția t = u(x), capătul x = a devine t = u(a), iar x = b devine t = u(b); nu se mai revine la x.
Forma f(u)·u′: Integrandul conține o funcție compusă și derivata funcției interioare (până la o constantă).
Funcție impară pe [−a, a]: Dacă f este continuă și impară, ∫ de la −a la a din f(x) dx = 0.
Funcție pară pe [−a, a]: Dacă f este continuă și pară, ∫ de la −a la a din f(x) dx = 2·∫₀ᵃ f(x) dx.
Substituții uzuale: t = ln x pentru (ln x)/x; t = cos x pentru sin x·g(cos x); t = x² + c pentru x·g(x² + c); x = sin t pentru √(1 − x²).

Notițele mele

Salvat local

Surse

Programa de examen Matematică M_mate-info, Bacalaureat 2015 (Anexa 2 la OMEN 4430/2014), clasa a XII-a, Metode de calcul
BAC 2020, sesiunea iunie, varianta 6, Subiectul al III-lea, 2.b (subiect și barem)
BAC 2021, model, Subiectul al III-lea, 2.b (subiect și barem)
BAC 2023, sesiunea august, varianta 7, Subiectul al III-lea, 2.b (subiect și barem)
BAC 2024, simulare, Subiectul al III-lea, 2.c (subiect și barem)