Integrale din funcții raționale: descompunerea în fracții simple

Cum calculezi integrala unui raport de polinoame cu numitorul de grad cel mult 4: împărțirea când gradul numărătorului e prea mare, fracțiile simple, metoda acoperirii și separarea „derivată plus arctangentă”.

26 min
La BAC: Subiectul al III-lea (2)
Verificat pe bareme

$Ilustrație: Integrale din funcții raționale: descompunerea în fracții simple$

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Dacă grad P ≥ grad Q, întâi împarți: P/Q = câtul + rest/Q.
02
Numitor cu rădăcini reale simple: A/(x − a) + B/(x − b); A și B prin metoda acoperirii.
Truc: Acoperi cu degetul factorul x − a și pui x = a în ce rămâne.
03
Rădăcină dublă: A/(x − a) + B/(x − a)². Factor x² + px + q cu Δ < 0: (Bx + C)/(x² + px + q).
04
(Bx + C)/(x² + px + q) = parte de tip u′/u (logaritm) + parte de tip 1/(t² + k²) (arctangentă).
05
Primitivele de bază: ∫ A/(x − a) = A·ln |x − a|, ∫ 1/((x + m)² + k²) = (1/k)·arctg((x + m)/k).

1 din 6

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie

Pentru $\int_{a}^{b} \frac{P ( x )}{Q ( x )} d x$ : dacă $grad P \geq grad Q$ , împarți; altfel descompui direct.
Fiecare rădăcină reală simplă $a$ dă $\frac{A}{x - a}$ ; o rădăcină dublă dă $\frac{A}{x - a} + \frac{B}{( x - a ) ^{2}}$ .
Fiecare factor $x^{2} + p x + q$ cu $Δ < 0$ dă $\frac{B x + C}{x ^{2} + p x + q}$ , care se integrează ca logaritm + arctangentă.
Coeficienții: metoda acoperirii (rădăcini simple) sau identificarea coeficienților.

Pregătirea: gradul numărătorului

2 min

Dacă $grad P \geq grad Q$ , din teorema împărțirii cu rest $P = Q \cdot C + R$ , $grad R < grad Q$ :

\frac{P ( x )}{Q ( x )} = C (x) + \frac{R ( x )}{Q ( x )} .

Exemplu: $x^{3} = (x + 1) (x^{2} - x + 1) - 1$ , deci

\int_{0}^{1} \frac{x ^{3}}{x + 1} d x = \int_{0}^{1} (x^{2} - x + 1 - \frac{1}{x + 1}) d x = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1 - ln 2 = \frac{5}{6} - ln 2.

Fracții simple

6 min o întrebare la final

Pentru $\frac{R}{Q}$ cu $grad R < grad Q \leq 4$ , descompui $Q$ în factori ireductibili peste $R$ și scrii:

x - a

Termeni în descompunere

\frac{A}{x - a}

Primitiva

A ln ∣ x - a ∣

(x - a)^{2}

Termeni în descompunere

\frac{A}{x - a} + \frac{B}{( x - a ) ^{2}}

Primitiva

A ln ∣ x - a ∣ - \frac{B}{x - a}

x^{2} + p x + q

Δ < 0

Termeni în descompunere

\frac{B x + C}{x ^{2} + p x + q}

Primitiva

logaritm + arctangentă

1 / 3

Factor în $Q$	Termeni în descompunere	Primitiva
$x - a$	$\frac{A}{x - a}$	$A ln ∣ x - a ∣$
$(x - a)^{2}$	$\frac{A}{x - a} + \frac{B}{( x - a ) ^{2}}$	$A ln ∣ x - a ∣ - \frac{B}{x - a}$
$x^{2} + p x + q$ , $Δ < 0$	$\frac{B x + C}{x ^{2} + p x + q}$	logaritm + arctangentă

Metoda acoperirii (pentru o rădăcină simplă $a$ ): dacă $Q (x) = (x - a) Q_{1} (x)$ , atunci $A = \frac{R ( a )}{Q _{1} ( a )}$ .

Factorul de gradul 2 fără rădăcini reale. Separi numărătorul în derivata numitorului plus o constantă:

\frac{B x + C}{x ^{2} + p x + q} = \frac{B}{2} \cdot \frac{2 x + p}{x ^{2} + p x + q} + (C - \frac{B p}{2}) \cdot \frac{1}{( x + \frac{p}{2} ) ^{2} + q - \frac{p ^{2}}{4}} .

De unde începi la P/Q

Mai întâi compari gradele. Abia când grad P < grad Q scrii fracțiile simple, iar factorul din numitor spune ce primitivă apare.

Cum descompui 1/(x²(x + 1))?

Exemple rezolvate

10 min 2 întrebări la final

BAC august 2020, varianta 3, III.2.b

f (x) = 1 - \frac{2 x}{x ^{2} + 3} - \frac{2}{x ^{2} + 3}

Arătați că $\int_{0}^{1} f (x) d x = 1 - ln \frac{4}{3} - \frac{π}{9} 3$ .

\int_{0}^{1} f (x) d x = (x - ln (x^{2} + 3) - \frac{2}{3} arctg \frac{x}{3})_{0}^{1} = 1 - ln 4 - \frac{2}{3} \cdot \frac{π}{6} + ln 3 = 1 - ln \frac{4}{3} - \frac{π 3}{9} .

Am folosit:

arctg \frac{1}{3} = \frac{π}{6}, \frac{2}{6 3} = \frac{3}{9} .

Barem oficial: primitivele 3p, rezultatul 2p.

Exercițiu de tip BAC: două rădăcini reale simple

$\int_{0}^{1} \frac{x + 3}{( x + 1 ) ( x + 2 )} d x$ . Scriem $\frac{x + 3}{( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$ .

Acoperire: $x = - 1$ : $A = \frac{- 1 + 3}{- 1 + 2} = 2$ ; $x = - 2$ : $B = \frac{- 2 + 3}{- 2 + 1} = - 1$ .

\int_{0}^{1} (\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}) d x = (2 ln (x + 1) - ln (x + 2))_{0}^{1} = 2 ln 2 - ln 3 + ln 2 = ln \frac{8}{3} .

Exercițiu de tip BAC: diferență de pătrate și rădăcină dublă

a) $\frac{1}{x ^{2} - 1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1})$ , deci

\int_{2}^{3} \frac{1}{x ^{2} - 1} d x = \frac{1}{2} ln \frac{x - 1}{x + 1}_{2}^{3} = \frac{1}{2} (ln \frac{1}{2} - ln \frac{1}{3}) = \frac{1}{2} ln \frac{3}{2} .

b) $\frac{1}{x ^{2} ( x + 1 )} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x ^{2}} + \frac{C}{x + 1}$ . Acoperire: $B = 1$ (pentru $x = 0$ ), $C = 1$ (pentru $x = - 1$ ); din coeficientul lui $x^{2}$ după aducerea la același numitor, $A + C = 0$ , deci $A = - 1$ .

\int_{1}^{2} (- \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{x + 1}) d x = (- ln x - \frac{1}{x} + ln (x + 1))_{1}^{2} = \frac{1}{2} + ln \frac{3}{4} .

BAC 2025, sesiunea iunie, varianta 1, III.2.b (împărțire, apoi logaritm)

$f (x) = \frac{x ^{2}}{( x + 1 ) ^{3}}$ , $x > - 1$ . Arătați că $\int_{0}^{1} f (x) (x + 1) d x = 1 - ln 2$ .

Pe $[0, 1]$ : $f (x) (x + 1) = \frac{x ^{2}}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{x}{x + 1}$ (pentru că $x \geq 0$ ). Numărătorul are același grad cu numitorul, deci împărțim: $\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$ .

\int_{0}^{1} (1 - \frac{1}{x + 1}) d x = (x - ln (x + 1))_{0}^{1} = 1 - ln 2.

Barem oficial: rescrierea și primitiva 3p; valoarea 2p.

Exercițiu de tip BAC: numitor de gradul 4

$x^{4} - 1 = (x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1)$ , iar

\frac{1}{x ^{4} - 1} = \frac{1}{4 ( x - 1 )} - \frac{1}{4 ( x + 1 )} - \frac{1}{2 ( x ^{2} + 1 )},

deci, pe un interval care nu conține $\pm 1$ , o primitivă este $\frac{1}{4} ln \frac{x - 1}{x + 1} - \frac{1}{2} arctg x$ .

Cât este ∫₀¹ (x + 3)/((x + 1)(x + 2)) dx?

Cât este ∫₂³ 1/(x² − 1) dx?

Ce se cere la BAC

4 mincum apare la examen

August 2020, III.2.b: $\int_{0}^{1} f (x) d x = 1 - ln \frac{4}{3} - \frac{π}{9} 3$ , cu $f$ dat deja descompus (logaritm + arctangentă).
Cerințe tipice: „Arătați că $\int_{a}^{b} \dots d x = ln \dots$ ”, cu numitor de gradul 2 sau 3; uneori descompunerea este sugerată de un punct anterior.
Funcțiile raționale apar și la limite de șiruri de integrale (august 2020, c: $0 \leq f (x) \leq \frac{1}{3}$ pe $[0, 1]$ ).
Iunie 2025, III.2.b: $\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$ , rezultat $1 - ln 2$ . August 2026, III.2.c (volum): $\frac{x ^{2} - 4 x + 4}{x ^{2} - 4 x + 5} = 1 - \frac{1}{( x - 2 ) ^{2} + 1}$ , deci apare arctangenta (vezi lecția despre volume). În 2023–2026 descompunerea completă în fracții simple nu a fost cerută; au fost suficiente împărțirea și formele $\frac{u ^{'}}{u}$ , $\frac{1}{u ^{2} + 1}$ .

Greșeli care costă puncte

2 mincapcanele de evitat

Descompunere încercată cu numărătorul de grad prea mare (fără împărțire).
Lipsa termenului pentru puterea a doua la o rădăcină dublă.
Coeficientul $\frac{1}{k}$ uitat la arctangentă: pentru $x^{2} + 3$ , $k = 3$ , deci în fața arctangentei apare $1/ 3$ .
Logaritm fără modul pe intervale unde argumentul e negativ.
Rezultat nesimplificat ( $ln 4 - ln 3$ trebuie adus la forma cerută, $ln \frac{4}{3}$ ).

Termeni-cheie

Funcție rațională: f(x) = P(x)/Q(x), cu P, Q polinoame cu coeficienți reali, Q fără rădăcini în intervalul de integrare.
Fracție proprie: P/Q cu grad P < grad Q; altfel se împarte P la Q: P/Q = C + R/Q, cu grad R < grad Q.
Fracții simple de speța întâi: A/(x − a) și A/(x − a)ᵏ, pentru rădăcinile reale a ale lui Q.
Fracții simple de speța a doua: (Bx + C)/(x² + px + q), cu p² − 4q < 0 (factor ireductibil peste ℝ).
Metoda acoperirii: Pentru o rădăcină simplă a lui Q, coeficientul A al lui A/(x − a) se află acoperind factorul x − a și înlocuind x = a în rest.
Separarea pentru x² + px + q: Bx + C = (B/2)(2x + p) + (C − Bp/2): prima parte dă un logaritm, a doua o arctangentă.
Forma canonică: x² + px + q = (x + p/2)² + (q − p²/4), cu q − p²/4 > 0 când Δ < 0.

Notițele mele

Salvat local

Surse

Programa de examen Matematică M_mate-info, Bacalaureat 2015 (Anexa 2 la OMEN 4430/2014), clasa a XII-a, Metode de calcul
BAC 2020, sesiunea august, varianta 3, Subiectul al III-lea, 2.b (subiect și barem)
BAC 2025, sesiunea iunie, varianta 1, Subiectul al III-lea, 2.b (subiect și barem)