Puteri, radicali și logaritmi

Puteri cu exponent rațional și real, radicalul de ordin n și proprietățile lui, raționalizarea, logaritmul și regulile de calcul, compararea numerelor, cu itemii oficiali de tip I.1.

22 min
La BAC: I.1
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
logₐ b = c ⇔ aᶜ = b, cu condițiile a > 0, a ≠ 1, b > 0.
02
Produsul devine sumă, câtul devine diferență, puterea iese în față: log(xy) = log x + log y, log(x/y) = log x − log y, log xᵏ = k log x.
Truc: Logaritmul „coboară” fiecare operație cu un nivel: produs → sumă, putere → produs.
03
Coeficientul din fața logaritmului intră ca exponent: 2 log₂ 3 = log₂ 9. Apoi totul se strânge într-un singur logaritm.
04
Fracția cu radical la numitor se raționalizează cu conjugatul: 1/(3 + 2√2) = 3 − 2√2, pentru că (3 + 2√2)(3 − 2√2) = 1.
05
Radicalii se compară ridicând la aceeași putere: ∛3 și √2 la puterea a șasea dau 9 și 8, deci ∛3 > √2.

1 din 7

Pe scurt

3 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie

Pentru $a > 0$ : $a^{x} a^{y} = a^{x + y}$ , $\frac{a ^{x}}{a ^{y}} = a^{x - y}$ , $(a^{x})^{y} = a^{x y}$ , $(ab)^{x} = a^{x} b^{x}$ , $a^{- x} = \frac{1}{a ^{x}}$ , $a^{0} = 1$ .
$a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}$ ; radicalul de ordin par există doar pentru numere $\geq 0$ , cel de ordin impar pentru orice număr real.
Raționalizarea: înmulțirea cu conjugatul, $(a - b) (a + b) = a - b$ .
$lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b$ ( $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$ ); $lo g_{a} 1 = 0$ , $lo g_{a} a = 1$ .
Reguli: produs → sumă, cât → diferență, putere → coeficient; schimbarea bazei $lo g_{a} b = \frac{l o g _{c} b}{l o g _{c} a}$ .
La BAC, I.1 cere des „arătați că numărul este natural” cu radicali sau logaritmi.

Puteri cu exponent real

2 min

Pentru $a > 0$ și $x, y \in R$ au loc regulile din „Pe scurt”. Exponentul rațional se reduce la radicali: $a^{\frac{m}{n}} = n a^{m} = (n a)^{m}$ .

Monotonia puterii în exponent: pentru $a > 1$ , $x < y \Rightarrow a^{x} < a^{y}$ ; pentru $0 < a < 1$ , $x < y \Rightarrow a^{x} > a^{y}$ . Așa se compară $2^{3}$ și $2^{1, 7}$ : cum $3 > 1, 7$ și baza $2 > 1$ , $2^{3} > 2^{1, 7}$ .

Radicali

3 min o întrebare la final

Proprietăți (pentru numere la care radicalii au sens):

n ab = n a n b, n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}, (n a)^{m} = n a^{m}, n m a = nm a, n p a^{m p} = n a^{m} .

Pentru $n$ par: $n a^{n} = ∣ a ∣$ ; pentru $n$ impar: $n a^{n} = a$ .

Raționalizarea: $\frac{1}{a + b} = \frac{a - b}{a - b}$ ; pentru ordinul 3 se folosesc $a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2})$ .

Compararea radicalilor de ordine diferite: aduci la același ordin. $33 = 69$ și $2 = 68$ , deci $33 > 2$ . Aproximările raționale: $1, 7^{2} = 2, 89 < 3 < 3, 24 = 1, 8^{2}$ , deci $1, 7 < 3 < 1, 8$ .

Care număr e mai mare: ∛3 sau √2?

Logaritmi

5 min

Definiție: pentru $a > 0$ , $a \neq = 1$ și $b > 0$ , $lo g_{a} b$ este exponentul la care trebuie ridicat $a$ ca să obții $b$ . Notații: $l g = lo g_{10}$ , $ln = lo g_{e}$ .

RegulăFormulă (x, y > 0)

produs

lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y

cât

lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y

putere

lo g_{a} x^{k} = k lo g_{a} x

schimbarea bazei

lo g_{a} x = \frac{l o g _{b} x}{l o g _{b} a}

baze inverse

lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1

identitatea

a^{l o g_{a} x} = x

Regulă	Formulă (x, y > 0)
produs	$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$
cât	$lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$
putere	$lo g_{a} x^{k} = k lo g_{a} x$
schimbarea bazei	$lo g_{a} x = \frac{l o g _{b} x}{l o g _{b} a}$
baze inverse	$lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$
identitatea	$a^{l o g_{a} x} = x$

Operația de logaritmare: dintr-o egalitate de numere pozitive $x = y$ rezultă $lo g_{a} x = lo g_{a} y$ (și invers, pentru că logaritmul este injectiv). Așa se scot exponenții necunoscuți: $2^{x} = 5 ⟺ x = lo g_{2} 5$ .

Baza schimbă sensul logaritmului

baza a = 0,5

Graficul trece mereu prin (1, 0), pentru că logₐ 1 = 0, și prin (a, 1), pentru că logₐ a = 1. Pentru a > 1 crește, pentru 0 < a < 1 scade, iar a = 1 nu e bază.

Exemple rezolvate

4 min 2 întrebări la final

Oficial: BAC 2021, model, I.1

Enunț: Arătați că numărul $N = lo g_{2} 6 - 2 lo g_{2} 3 + lo g_{2} 24$ este natural.

$N = lo g_{2} 6 - lo g_{2} 9 + lo g_{2} 24 = lo g_{2} \frac{6 \cdot 24}{9} =$

$= lo g_{2} 16 = 4$ , care este număr natural

Oficial: BAC 2020, sesiunea specială, varianta 1, I.1

Enunț: Arătați că numărul $a = 3 + 22 + \frac{1}{3 + 2 2}$ este natural.

$a = 3 + 22 + \frac{3 - 2 2}{9 - 8} =$

$= 3 + 22 + 3 - 22 = 6$ , care este număr natural

Oficial: BAC 2022, model, M_șt-nat, I.1

Enunț: Arătați că numărul $N = lo g_{2} 24 - lo g_{2} 12 + 3$ este pătratul unui număr natural.

$N = lo g_{2} \frac{24}{12} + 3 = lo g_{2} 2 + 3 =$

$= 1 + 3 = 4 = 2^{2}$

Calcule cu radicali și logaritmi

$12 + 27 - 48 = 23 + 33 - 43 = 3$

$8^{\frac{2}{3}} = 3 8^{2} = 364 = 4$ ; $3 - 27 = - 3$

$lo g_{3} 81 = 4$ , pentru că $3^{4} = 81$ ; $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 8 = lo g_{2} 3 \cdot 3 lo g_{3} 2 = 3$

Cât este N = log₂ 6 − 2 log₂ 3 + log₂ 24?

Cât este 2^(log₂ 5)?

Ce se cere la BAC

4 mincum apare la examen

Număr natural din logaritmi: model 2021, I.1 ( $N = 4$ ); M_șt-nat model 2022, I.1 ( $N = 4 = 2^{2}$ ).
Număr natural din radicali: specială 2020, I.1 ( $a = 6$ , prin raționalizare).
Logaritmi zecimali (2024): iunie-iulie 2024, varianta 10, I.1: arătați că $2 l g 100 + l g 2 + l g 5 = 5$ ; barem: $2 \cdot 2 + l g 10 = 4 + 1 = 5$ .
Logaritm cu baza variabilă (2026): simulare 2026, I.3: $(1 + lo g_{x} 2) lo g_{2} x = 5$ ; barem: $lo g_{2} x + lo g_{x} 2 \cdot lo g_{2} x = 5$ , de unde $lo g_{2} x = 4$ și $x = 16$ , care convine (pasul folosește $lo g_{x} 2 \cdot lo g_{2} x = 1$ , valabil pentru $x > 0$ , $x \neq = 1$ ).
Logaritmi și progresii: $lo g_{2} 3$ , $lo g_{2} 6$ , $lo g_{2} 12$ în progresie aritmetică (M_șt-nat model 2021, I.1).
Regulile de calcul sunt pasul obligatoriu în ecuațiile exponențiale și logaritmice de la I.3.

Greșeli care costă puncte

2 mincapcanele de evitat

$lo g (x + y) = lo g x + lo g y$ : falsă.
Coeficientul lăsat în fața logaritmului când se adună logaritmi: întâi îl muți la exponent.
Conjugatul greșit: pentru $3 + 22$ conjugatul este $3 - 22$ , iar produsul lor este $9 - 8 = 1$ .
$a^{2} = a$ fără modul pentru $a$ negativ.
Condițiile de existență ale logaritmului uitate: baza pozitivă și diferită de 1, argumentul strict pozitiv.

Termeni-cheie

Putere cu exponent rațional: Pentru a > 0, m ∈ ℤ, n ∈ ℕ, n ≥ 2: a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ).
Radical de ordin n: Pentru n par și a ≥ 0: ⁿ√a este numărul b ≥ 0 cu bⁿ = a. Pentru n impar și a real: unicul b real cu bⁿ = a.
Raționalizarea numitorului: Amplificarea unei fracții cu conjugatul numitorului, ca să dispară radicalii de la numitor.
Logaritmul: Pentru a > 0, a ≠ 1, b > 0: logₐ b = c ⇔ aᶜ = b.
Logaritmul unui produs: logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y, pentru x, y > 0.
Logaritmul unui cât: logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y, pentru x, y > 0.
Logaritmul unei puteri: logₐ(xᵏ) = k·logₐ x, pentru x > 0, k ∈ ℝ.
Schimbarea bazei: logₐ b = log_c b / log_c a; în particular logₐ b · log_b a = 1.
Identitatea logaritmică: a^(logₐ b) = b și logₐ(aˣ) = x.

Notițele mele

Salvat local