Numere complexe în formă algebrică

Mulțimea ℂ, forma algebrică, conjugatul, modulul, puterile lui i, operații, interpretarea geometrică, ecuația de gradul al doilea cu Δ < 0 și ecuațiile bipătrate, cu itemii oficiali de tip I.1.

22 min
La BAC: I.1
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
i² = −1: înlocuiești imediat i² cu −1 în orice calcul. Puterile lui i se repetă din 4 în 4.
02
z·z̄ = a² + b² = |z|² e număr real pozitiv: de aceea împarți la z înmulțind cu z̄ sus și jos.
Truc: Conjugatul e „oglinda” lui z față de axa Ox.
03
z este real ⇔ partea imaginară e 0; un produs (a − bi)(a + bi) e mereu real.
04
Δ < 0 ⇒ x₁,₂ = (−b ± i√(−Δ))/(2a), rădăcini conjugate; Viète rămâne valabil.
05
„Arătați că z verifică ecuația”: înlocuiești z, desfaci parantezele, grupezi partea reală și cea imaginară și ajungi la 0.

1 din 7

Pe scurt

3 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie

$C = {a + bi ∣ a, b \in R}$ , $i^{2} = - 1$ ; $R \subset C$ .
Operații: aduni/scazi pe componente; înmulțești ca la polinoame și înlocuiești $i^{2} = - 1$ ; împarți amplificând cu conjugatul numitorului.
$\overset{z}{ˉ} = a - bi$ , $z \overset{z}{ˉ} = a^{2} + b^{2} = ∣ z ∣^{2}$ , $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ .
Puterile lui $i$ au perioada 4: $i^{4 k} = 1$ , $i^{4 k + 1} = i$ , $i^{4 k + 2} = - 1$ , $i^{4 k + 3} = - i$ .
Geometric: $z = a + bi$ este punctul $M (a, b)$ ; suma corespunde regulii paralelogramului.
Ecuația de gradul al II-lea cu $Δ < 0$ are rădăcinile conjugate $\frac{- b \pm i - Δ}{2 a}$ .

Forma algebrică și operațiile

2 min

Pentru $z_{1} = a + bi$ și $z_{2} = c + d i$ :

z_{1} \pm z_{2} = (a \pm c) + (b \pm d) i, z_{1} z_{2} = (a c - b d) + (a d + b c) i, \frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{z _{1} z _{2} ˉ}{z _{2} z _{2} ˉ} = \frac{( a c + b d ) + ( b c - a d ) i}{c ^{2} + d ^{2}} .

Formulele de calcul prescurtat rămân valabile: $(a + bi)^{2} = a^{2} - b^{2} + 2 abi$ și $(a - bi) (a + bi) = a^{2} + b^{2}$ .

Conjugatul și modulul

4 min

ProprietateFormulă

conjugatul sumei, produsului

\overline{z_{1} + z_{2}} = \overset{z_{1}}{ˉ} + \overset{z_{2}}{ˉ}

\overline{z_{1} z_{2}} = \overset{z_{1}}{ˉ} \overset{z_{2}}{ˉ}

sumă și produs cu conjugatul

z + \overset{z}{ˉ} = 2 Re z

z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2}

z real

z = \overset{z}{ˉ}

modulul produsului, câtului

∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣ ∣ z_{2} ∣

\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{∣ z _{1} ∣}{∣ z _{2} ∣}

Proprietate	Formulă
conjugatul sumei, produsului	$\overline{z_{1} + z_{2}} = \overset{z_{1}}{ˉ} + \overset{z_{2}}{ˉ}$ , $\overline{z_{1} z_{2}} = \overset{z_{1}}{ˉ} \overset{z_{2}}{ˉ}$
sumă și produs cu conjugatul	$z + \overset{z}{ˉ} = 2 Re z$ , $z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2}$
z real	$z = \overset{z}{ˉ}$
modulul produsului, câtului	$∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣ ∣ z_{2} ∣$ , $\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{∣ z _{1} ∣}{∣ z _{2} ∣}$

Interpretarea geometrică. Fiecărui număr $z = a + bi$ îi corespunde punctul $M (a, b)$ (afixul) și vectorul $O M$ . Suma $z_{1} + z_{2}$ corespunde diagonalei paralelogramului construit pe $O M_{1}$ și $O M_{2}$ ; diferența $z_{1} - z_{2}$ corespunde vectorului $M_{2} M_{1}$ , deci $∣ z_{1} - z_{2} ∣ = M_{1} M_{2}$ . Înmulțirea cu un număr real $k$ înmulțește vectorul cu $k$ (îl dilată, iar pentru $k < 0$ îi schimbă sensul).

Numărul, conjugatul și modulul

Conjugatul e simetricul lui z față de axa reală. Modulul este distanța până la origine: |3 − 4i| = √(3² + 4²) = 5, același pentru amândouă.

Ecuația de gradul al II-lea în ℂ și ecuațiile bipătrate

2 min o întrebare la final

Pentru $a x^{2} + b x + c = 0$ cu $a, b, c \in R$ și $Δ = b^{2} - 4 a c < 0$ :

x_{1, 2} = \frac{- b \pm i - Δ}{2 a}, x_{2} = \overline{x_{1}}, x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} .

Ecuația bipătrată $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ : notezi $t = x^{2}$ , rezolvi $a t^{2} + b t + c = 0$ , apoi $x^{2} = t_{1}$ și $x^{2} = t_{2}$ . Pentru $t < 0$ , $x^{2} = t$ are în $C$ soluțiile $\pm i - t$ .

Soluțiile în ℂ ale ecuației x⁴ + 3x² − 4 = 0?

Exemple rezolvate

6 min 2 întrebări la final

Oficial: BAC 2020, sesiunea august, varianta 3, I.1

Enunț: Se consideră numărul complex $z = 2 + i$ . Arătați că $z^{2} - 4 z + 5 = 0$ .

$z^{2} - 4 z + 5 = (2 + i)^{2} - 4 (2 + i) + 5 = 4 + 4 i + i^{2} - 8 - 4 i + 5 =$

$= i^{2} + 1 = - 1 + 1 = 0$

Oficial: BAC 2020, sesiunea iunie, varianta 6, I.1

Enunț: Arătați că numărul $z = (1 - i 2) (1 + i 2)$ este natural, unde $i^{2} = - 1$ .

$z = 1 - (i 2)^{2} = 1 - 2 i^{2} = 1 - 2 (- 1) =$

$= 1 + 2 = 3$ , care este număr natural

Oficial: BAC 2026, sesiunea iunie-iulie, varianta 3, I.1

Enunț: Se consideră numărul complex $z = 3 - i$ . Arătați că $z (z + 2 i) = 10$ .

$z (z + 2 i) = (3 - i) (3 + i) = 9 - i^{2} =$

$= 9 - (- 1) = 10$

Împărțire, modul, putere a lui i

$\frac{1 + 2 i}{1 - i} = \frac{( 1 + 2 i ) ( 1 + i )}{( 1 - i ) ( 1 + i )} = \frac{1 + i + 2 i + 2 i ^{2}}{2} = \frac{- 1 + 3 i}{2}$

$∣3 - 4 i ∣ = 3^{2} + (- 4)^{2} = 25 = 5$

$2026 = 4 \cdot 506 + 2$ , deci $i^{2026} = i^{2} = - 1$

Puterile lui i merg în cerc

n = 2

Mută cursorul: i⁰ = 1, i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, apoi rezultatele se repetă din 4 în 4. De aceea contează doar restul împărțirii exponentului la 4.

Ecuații în ℂ

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$ : $Δ = 4 - 20 = - 16$ , $x_{1, 2} = \frac{2 \pm 4 i}{2} = 1 \pm 2 i$ .

$x^{4} + 3 x^{2} - 4 = 0$ : cu $t = x^{2}$ , $t^{2} + 3 t - 4 = 0$ , deci $t = 1$ sau $t = - 4$ .

$x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ ; $x^{2} = - 4 \Rightarrow x = \pm 2 i$ . Mulțimea soluțiilor: ${- 1, 1, - 2 i, 2 i}$ .

Arătați că z = 2 + i verifică z² − 4z + 5 = 0.

Cât este z(z + 2i) pentru z = 3 − i?

Ce se cere la BAC

4 mincum apare la examen

Verificarea unei ecuații: august 2020, varianta 3, I.1 ( $z = 2 + i$ , $z^{2} - 4 z + 5 = 0$ ).
Număr natural sau real dintr-un produs cu conjugatul: iunie 2020, varianta 6, I.1 ( $z = 3$ ); iunie-iulie 2026, varianta 3, I.1 ( $z (z + 2 i) = 10$ ).
Calcule recente cu i: iunie 2025, varianta 1, I.1: $z_{1} = 1 - i$ , $z_{2} = 2 + i$ ; barem: $2 z_{1} + i z_{2} = 2 - 2 i + 2 i + i^{2} = 2 - 1 = 1$ . Rezervă iunie-iulie 2026, varianta 7, I.1; barem: $3 i (2 + i) + 2 (2 - 3 i) = 6 i + 3 i^{2} + 4 - 6 i = - 3 + 4 = 1$ .
Calcul cu i combinat cu operații: M_șt-nat august 2021, I.1: $3 (4 - i) + 3 i (1 + i) = 12 - 3 i + 3 i + 3 i^{2} = 9$ .
Numerele complexe revin în Subiectul II (matrice cu elemente complexe) și la polinoame (rădăcini complexe conjugate).

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

$i^{2} = 1$ sau uitarea înlocuirii lui $i^{2}$ .
Împărțire fără conjugat: un rezultat de forma „ $\frac{1 + 2 i}{1 - i}$ ” nu este scris în formă algebrică.
Modulul calculat fără pătrate.
Rădăcinile ecuației cu Δ < 0 scrise ca „nu are soluții”: în $C$ are întotdeauna două rădăcini.
Propoziția de concluzie lipsă la „arătați că numărul este natural”.

Termeni-cheie

Forma algebrică: z = a + bi, cu a, b ∈ ℝ și i² = −1; a = Re z (partea reală), b = Im z (partea imaginară).
Egalitatea numerelor complexe: a + bi = c + di ⇔ a = c și b = d.
Conjugatul: Pentru z = a + bi, z̄ = a − bi; z + z̄ = 2a, z·z̄ = a² + b².
Modulul: |z| = √(a² + b²); |z|² = z·z̄; |z₁z₂| = |z₁|·|z₂|.
Puterile lui i: i⁰ = 1, i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1; iⁿ depinde de restul împărțirii lui n la 4.
Număr real / imaginar: z ∈ ℝ ⇔ Im z = 0 ⇔ z = z̄; z pur imaginar ⇔ Re z = 0, z ≠ 0.
Afixul unui punct: Numărului z = a + bi îi corespunde punctul M(a, b) din plan; |z| este distanța OM.
Ecuația de gradul II cu Δ < 0: ax² + bx + c = 0, a, b, c reale, Δ < 0: x₁,₂ = (−b ± i√(−Δ))/(2a), rădăcini complexe conjugate.
Ecuație bipătrată: ax⁴ + bx² + c = 0, a ≠ 0; se rezolvă cu substituția t = x².

Notițele mele

Salvat local