Volumul unui corp de rotație

Formula volumului corpului obținut prin rotirea subgraficului unei funcții continue în jurul axei Ox, verificarea pe con și sferă, exemple de calcul și legătura cu integralele din pătratul funcției care apar la punctele b) din subiectele oficiale.

20 min
La BAC: Subiectul al III-lea (2)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
V = π·∫ₐᵇ f²(x) dx: corpul obținut rotind subgraficul lui f în jurul lui Ox.
Truc: Felii subțiri de salam: fiecare e un disc cu aria π·f²(x).
02
Nu uita pătratul și nu uita π: cele două greșeli clasice.
03
Pentru f = x/√(x³ + 1) pe [0, 1] (iunie 2020), f² = x²/(x³ + 1) și V = (π/3)·ln 2.
04
Verificare rapidă: conul πr²h/3, sfera 4πR³/3 ies din formulă.
05
Volumul nu depinde de semnul lui f: contează f².

1 din 6

Pe scurt

1 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie

Corpul $C_{f}$ se obține rotind subgraficul lui $f : [a, b] \to R$ , continuă, în jurul axei $O x$ .
Formula: $V (C_{f}) = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ .
Secțiunea în dreptul lui $x$ este un disc de rază $∣ f (x)∣$ , cu aria $π f^{2} (x)$ .
Verificări: conul ( $\frac{1}{3} π r^{2} h$ ) și sfera ( $\frac{4}{3} π R^{3}$ ).

Formula volumului

3 min 3 întrebări la final

Teoremă. Fie $f : [a, b] \to R$ continuă. Volumul corpului de rotație determinat de $f$ (obținut rotind în jurul axei $O x$ mulțimea dintre grafic, $O x$ și dreptele $x = a$ , $x = b$ ) este

V (C_{f}) = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x .

Interpretare: corpul se „taie” în discuri subțiri perpendiculare pe $O x$ ; discul din dreptul lui $x$ are raza $∣ f (x)∣$ și aria $π f^{2} (x)$ , iar suma volumelor acestor discuri este o sumă Riemann pentru $π f^{2}$ .

Conul tăiat în discuri

Rotit în jurul lui Ox, graficul dă un corp alcătuit din discuri. Adunând ariile π·f²(x) ale discurilor pe [a, b], obții V = π ∫ f²(x) dx.

Scrii formula
$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ , cu capetele din enunț.
Simplifici f²
Deseori pătratul elimină un radical (exact ca la iunie 2020).
Calculezi integrala
Tabel, schimbare de variabilă sau prin părți; apoi înmulțești cu $π$ .

Ce volum are corpul obținut rotind graficul lui 1/x pe [1, 2]?

Model 2021: ∫₀¹ (f² − 4) dx = 4 ln 2. Cât e volumul pe [0, 1]?

Ce volum are sfera de rază R, din formulă?

Verificare pe corpuri cunoscute

2 min

Conul și sfera din formulă

Con de rază $r$ și înălțime $h$ : $f (x) = \frac{r}{h} x$ , $x \in [0, h]$ .

V = π \int_{0}^{h} \frac{r ^{2}}{h ^{2}} x^{2} d x = π \frac{r ^{2}}{h ^{2}} \cdot \frac{h ^{3}}{3} = \frac{π r ^{2} h}{3} .

Sferă de rază $R$ : $f (x) = R^{2} - x^{2}$ , $x \in [- R, R]$ .

V = π \int_{- R}^{R} (R^{2} - x^{2}) d x = π (R^{2} x - \frac{x ^{3}}{3})_{- R}^{R} = π (2 R^{3} - \frac{2 R ^{3}}{3}) = \frac{4 π R ^{3}}{3} .

Exemple rezolvate

9 min

BAC 2024, sesiunea specială, varianta 9, III.2.c

$f (x) = x + 1 + x ln x$ , $x > 0$ , și $g : [1, 3] \to R$ , $g (x) = \frac{1}{( f ( x ) - x l n x ) ^{2}} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}$ . Determinați $a \neq = 0$ pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului lui $g$ în jurul axei $O x$ este $\frac{7 π}{24 a}$ .

V = π \int_{1}^{3} g^{2} (x) d x = π \int_{1}^{3} \frac{1}{( x + 1 ) ^{4}} d x = π (- \frac{1}{3 ( x + 1 ) ^{3}})_{1}^{3} = π (- \frac{1}{192} + \frac{1}{24}) = \frac{7 π}{192} .

$\frac{7 π}{192} = \frac{7 π}{24 a}$ , deci $a = 8$ . Barem oficial: $V = π \int_{1}^{3} g^{2}$ și primitiva 3p; valoarea și $a = 8$ 2p.

BAC 2026, sesiunea august, varianta 4, III.2.c

$f (x) = \frac{x - 2}{x ^{2} - 4 x + 5}$ , $g : [2, 3] \to R$ , $g (x) = f (x)$ . Determinați $m \neq = 0$ pentru care volumul corpului de rotație este $π (1 - \frac{π}{m})$ .

Pătratul elimină radicalul, apoi împarți (același grad sus și jos):

V = π \int_{2}^{3} \frac{x ^{2} - 4 x + 4}{x ^{2} - 4 x + 5} d x = π \int_{2}^{3} (1 - \frac{1}{( x - 2 ) ^{2} + 1}) d x = π (x - arctg (x - 2))_{2}^{3} = π (1 - \frac{π}{4}) .

Deci $m = 4$ . Barem oficial: $V = π \int_{2}^{3} f^{2}$ și primitiva 3p; valoarea și $m = 4$ 2p.

Pornind de la BAC iunie 2020, varianta 6, III.2.b

$f : (- 1, + \infty) \to R$ , $f (x) = x / x^{3} + 1$ . Volumul corpului de rotație determinat de restricția lui $f$ la $[0, 1]$ :

V = π \int_{0}^{1} f^{2} (x) d x = π \int_{0}^{1} \frac{x ^{2}}{x ^{3} + 1} d x = \frac{π}{3} ln (x^{3} + 1)_{0}^{1} = \frac{π}{3} ln 2.

Integrala $\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x = \frac{1}{3} ln 2$ este exact cerința b) din subiect, cu același răspuns în barem.

Pornind de la BAC 2021, model, III.2.b

Funcția din subiect:

f (x) = \frac{2 ( x + 3 )}{x ^{2} + 4 x + 5};

baremul dă $\int_{0}^{1} (f^{2} (x) - 4) d x = 4 ln 2$ . Volumul corpului de rotație pe $[0, 1]$ :

V = π \int_{0}^{1} f^{2} (x) d x = π (\int_{0}^{1} (f^{2} (x) - 4) d x + \int_{0}^{1} 4 d x) = π (4 ln 2 + 4) = 4 π (1 + ln 2) .

Exercițiu de tip BAC: exponențiala și 1/x

a) $f (x) = e^{x}$ , $x \in [0, 1]$ :

V = π \int_{0}^{1} e^{2 x} d x = π \cdot \frac{e ^{2 x}}{2}_{0}^{1} = \frac{π ( e ^{2} - 1 )}{2} .

b) $f (x) = \frac{1}{x}$ , $x \in [1, 2]$ : $V = π \int_{1}^{2} \frac{1}{x ^{2}} d x = π (- \frac{1}{x})_{1}^{2} = \frac{π}{2}$ .

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

Cerința tipică: „Determinați volumul corpului obținut prin rotația, în jurul axei $O x$ , a graficului funcției $g : [a, b] \to R$ , $g (x) = \dots$ ”. De obicei funcția este aleasă astfel încât $f^{2}$ să se simplifice (radicalul dispare).
Volumul a fost cerut explicit la III.2.c: specială 2024, v9 ( $\frac{7 π}{192}$ , $a = 8$ ) și august 2026, v4 ( $π (1 - \frac{π}{4})$ , $m = 4$ ), ambele rezolvate mai sus.
În 2020–2022 volumul nu apare explicit, dar integralele din $f^{2}$ de la iunie 2020 (b) și model 2021 (b) sunt exact integralele de volum, cu factorul $π$ lipsă.
Punctajul se dă pe formula cu $π$ și $f^{2}$ , pe integrala calculată și pe rezultat.

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

$f$ în loc de $f^{2}$ în formulă.
$π$ uitat sau pus doar la final, după un calcul greșit.
Capete schimbate față de intervalul din enunț.
Pătratul unui radical calculat greșit: pătratul lui $x / x^{3} + 1$ este $\frac{x ^{2}}{x ^{3} + 1}$ , cu numitorul fără radical.

Termeni-cheie

Corp de rotație: Corpul C_f obținut prin rotirea subgraficului lui f: [a, b] → ℝ, continuă, în jurul axei Ox.
Formula volumului: Pentru f continuă pe [a, b]: V(C_f) = π·∫ₐᵇ f²(x) dx.
Secțiunea corpului: Secțiunea perpendiculară pe Ox, în dreptul lui x, este un disc de rază |f(x)|, cu aria π·f²(x).
Volumul conului: Rotind f(x) = (r/h)·x pe [0, h] se obține conul cu V = π·r²·h/3.
Volumul sferei: Rotind f(x) = √(R² − x²) pe [−R, R] se obține sfera cu V = 4πR³/3.
Unități de volum: Rezultatul este pozitiv și conține de regulă factorul π; se poate scrie „u.v.”.

Notițele mele

Salvat local

Surse

Programa de examen Matematică M_mate-info, Bacalaureat 2015 (Anexa 2 la OMEN 4430/2014), clasa a XII-a, Aplicații ale integralei definite
BAC 2020, sesiunea iunie, varianta 6, Subiectul al III-lea, 2.b (subiect și barem)
BAC 2021, model, Subiectul al III-lea, 2.b (subiect și barem)
BAC 2024, sesiunea specială, varianta 9, Subiectul al III-lea, 2.c (subiect și barem)
BAC 2026, sesiunea august, varianta 4, Subiectul al III-lea, 2.c (subiect și barem)