Aria unei suprafețe plane

Aria subgraficului unei funcții continue pozitive, aria când funcția schimbă semnul, aria dintre două grafice, cu pașii de redactare (semn, puncte de intersecție, integrală) și interpretarea geometrică a unor itemi oficiali.

22 min
La BAC: Subiectul al III-lea (2)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
f continuă și f ≥ 0 pe [a, b] ⇒ aria subgraficului = ∫ₐᵇ f(x) dx.
02
Dacă f schimbă semnul, aria este ∫ₐᵇ |f(x)| dx: rupi intervalul în zerourile lui f.
Truc: Aria nu poate fi negativă: partea de sub Ox o iei cu minus în față.
03
Între două grafice: aria = ∫ₐᵇ (sus − jos) dx; capetele, dacă lipsesc, din f(x) = g(x).
04
Pași de redactare: semnul funcției (sau care e deasupra) → integrala → valoarea.
05
Orice integrală de la a) sau b) dintr-o funcție pozitivă este și aria subgraficului ei.

1 din 6

Pe scurt

1 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie

Subgrafic $Γ_{f}$ : mulțimea dintre graficul lui $f \geq 0$ , axa $O x$ și dreptele $x = a$ , $x = b$ ; aria lui este $\int_{a}^{b} f (x) d x$ .
Funcție cu semn schimbat: aria este $\int_{a}^{b} ∣ f (x)∣ d x$ , ruptă în zerourile lui $f$ .
Între graficele lui $f \leq g$ : aria este $\int_{a}^{b} (g (x) - f (x)) d x$ .
Capetele lipsă: soluțiile ecuației $f (x) = g (x)$ .

Aria subgraficului

2 min 2 întrebări la final

Definiție. Pentru $f : [a, b] \to [0, + \infty)$ continuă, subgraficul lui $f$ este

Γ_{f} = {(x, y) \in R^{2} ∣ a \leq x \leq b, 0 \leq y \leq f (x)} .

Teoremă. Aria lui $Γ_{f}$ este $A (Γ_{f}) = \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Dacă $f$ schimbă semnul, aria mulțimii cuprinse între grafic, $O x$ și dreptele $x = a$ , $x = b$ este $\int_{a}^{b} ∣ f (x)∣ d x$ : se află zerourile lui $f$ în $[a, b]$ și se integrează pe fiecare porțiune, cu semnul potrivit.

Cât este aria subgraficului lui x² pe [0, 2]?

Aria dintre y = x³ − x și Ox, pe [−1, 1]?

Aria dintre două grafice

2 min

Teoremă. Dacă $f, g : [a, b] \to R$ sunt continue și $f (x) \leq g (x)$ pentru orice $x \in [a, b]$ , aria mulțimii

Γ_{f, g} = {(x, y) \in R^{2} ∣ a \leq x \leq b, f (x) \leq y \leq g (x)}

este $A (Γ_{f, g}) = \int_{a}^{b} (g (x) - f (x)) d x$ .

Capetele
Date în enunț sau soluțiile lui $f (x) = g (x)$ .
Cine e deasupra
Semnul lui $g - f$ pe interval (factorizare, un punct de test, studiu de semn).
Integrala
Sus minus jos, cu Leibniz–Newton.
Concluzia
Valoarea pozitivă a ariei.

Exemple rezolvate

12 min o întrebare la final

Exercițiu de tip BAC: subgrafic și semn schimbat

a) $f (x) = x^{2}$ pe $[0, 2]$ : $f \geq 0$ , deci aria subgraficului este $\int_{0}^{2} x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}_{0}^{2} = \frac{8}{3}$ .

b) $f (x) = sin x$ pe $[0, 2 π]$ : $f \geq 0$ pe $[0, π]$ și $f \leq 0$ pe $[π, 2 π]$ .

A = \int_{0}^{π} sin x d x - \int_{π}^{2 π} sin x d x = 2 - (- 2) = 4.

c) $f (x) = x^{3} - x = x (x - 1) (x + 1)$ pe $[- 1, 1]$ : $f \geq 0$ pe $[- 1, 0]$ , $f \leq 0$ pe $[0, 1]$ ; prin simetrie (funcție impară), $A = 2 \int_{0}^{1} (x - x^{3}) d x = 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2}$ .

Unde funcția e negativă, aria intră cu minus

b = 4,5

Du cursorul până la 2π ≈ 6,28. Fiecare dintre cele două zone are aria 2, deci aria totală este 4, deși integrala lui sin x pe [0, 2π] este 0.

Exercițiu de tip BAC: aria dintre două grafice

Aria mulțimii cuprinse între graficele lui $f (x) = x^{2}$ și $g (x) = x + 2$ .

Intersecții: $x^{2} = x + 2 ⟺ x^{2} - x - 2 = 0 ⟺ x \in {- 1, 2}$ .

Pe $[- 1, 2]$ : $g (x) - f (x) = - (x + 1) (x - 2) \geq 0$ , deci $g$ este deasupra.

A = \int_{- 1}^{2} (x + 2 - x^{2}) d x = (\frac{x ^{2}}{2} + 2 x - \frac{x ^{3}}{3})_{- 1}^{2} = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{9}{2} .

Sus minus jos, între intersecții

Capetele vin din x² = x + 2, iar pe [−1, 2] dreapta e deasupra parabolei. De aceea integrezi x + 2 − x² și obții aria 9/2.

BAC 2024, sesiunea iunie-iulie, varianta 10, III.2.c

$f (x) = \frac{4 x}{3 x ^{2} + 1}$ , $g : (0, + \infty) \to R$ , $g (x) = \frac{4 l n x}{f ( x )}$ . Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul lui $g$ , axa $O x$ și dreptele $x = 1$ , $x = e$ este $\frac{3 e ^{2} + 5}{4}$ .

$g (x) = \frac{( 3 x ^{2} + 1 ) l n x}{x} = 3 x ln x + \frac{l n x}{x}$ , iar pe $[1, e]$ avem $ln x \geq 0$ , deci $g (x) \geq 0$ și $∣ g (x)∣ = g (x)$ :

A = \int_{1}^{e} ∣ g (x)∣ d x = \int_{1}^{e} (\frac{3 x ^{2}}{2})^{'} ln x d x + \frac{ln ^{2} x}{2}_{1}^{e} = 3 (\frac{x ^{2} ln x}{2} - \frac{x ^{2}}{4})_{1}^{e} + \frac{1}{2} = \frac{3 e ^{2}}{4} + \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3 e ^{2} + 5}{4} .

Barem oficial: scrierea ariei ca $\int_{1}^{e} ∣ g (x)∣ d x$ și integrarea (prin părți + $u u^{'}$ ) 3p; valoarea 2p.

BAC 2026, sesiunea specială, varianta 2, III.2.c

$f (x) = 6 + \frac{1}{x} + \frac{l n ^{2} x}{x}$ , $g (x) = \frac{f ( x ) - 6}{x} = \frac{1}{x ^{2}} + \frac{l n ^{2} x}{x ^{2}}$ , $x > 0$ . Determinați $m$ pentru care aria suprafeței delimitate de graficul lui $g$ , axa $O x$ și dreptele $x = 1$ , $x = e$ este $m (1 - \frac{2}{e})$ .

$g > 0$ , deci $A = \int_{1}^{e} g (x) d x$ . Prin părți, cu $(- \frac{1}{x})^{'} = \frac{1}{x ^{2}}$ :

A = - \frac{1}{x}_{1}^{e} - \frac{ln ^{2} x}{x}_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{2 ln x}{x ^{2}} d x = 1 - \frac{1}{e} - \frac{1}{e} - \frac{2 ( 1 + ln x )}{x}_{1}^{e} = 3 - \frac{6}{e} .

$3 - \frac{6}{e} = 3 (1 - \frac{2}{e})$ , deci $m = 3$ . Barem oficial: $A = \int_{1}^{e} ∣ g (x)∣ d x$ și primele integrări 2p; valoarea și $m = 3$ 3p.

Pornind de la BAC august 2020, varianta 3, III.2.b

Funcția din enunț, adusă la același numitor:

f (x) = 1 - \frac{2 x}{x ^{2} + 3} - \frac{2}{x ^{2} + 3} = \frac{x ^{2} + 3 - 2 x - 2}{x ^{2} + 3} = \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x ^{2} + 3} \geq 0, x \in R .

Deci integrala calculată în barem este aria subgraficului lui $f$ pe $[0, 1]$ :

A (Γ_{f}) = \int_{0}^{1} f (x) d x = 1 - ln \frac{4}{3} - \frac{π 3}{9} .

Pornind de la BAC 2020, sesiunea specială, III.2.b; și aria sub ln x

a) $g (x) = (x + 1) / (x^{2} + 2 x + 5)$ este pozitivă pe $[0, 1]$ (numărător și numitor pozitive), deci aria subgraficului ei pe $[0, 1]$ este valoarea din barem, $\frac{1}{2} ln \frac{8}{5}$ .

b) $ln x \geq 0$ pe $[1, e]$ , deci aria mulțimii dintre graficul lui $ln x$ , $O x$ și dreptele $x = 1$ , $x = e$ este $\int_{1}^{e} ln x d x = (x ln x - x)_{1}^{e} = 1$ .

Care e aria dintre graficul lui ln x, Ox și dreptele x = 1, x = e?

Ce se cere la BAC

5 mincum apare la examen

Cerința tipică: „Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $f$ , axa $O x$ și dreptele de ecuații $x = a$ și $x = b$ ” sau „…de graficele funcțiilor $f$ și $g$ ”.
În 2020–2022 aria nu a fost cerută explicit, dar din 2023 apare des, mereu la III.2.c, cu graficul unei funcții $g$ construite din $f$ , axa $O x$ și două drepte verticale:
- august 2023, v7: $g (x) = f (x^{2}) = 6 x^{2} + ln (x^{2} + 1)$ pe $[0, 1]$ , aria $\frac{π}{2} + ln 2 = aπ + ln 2$ , deci $a = \frac{1}{2}$ (cu $\int_{0}^{1} ln (x^{2} + 1) d x$ prin părți);
- iulie 2024, v10: aria $\frac{3 e ^{2} + 5}{4}$ (modelul de mai sus);
- iunie 2025, v1: $g (x) = \frac{e ^{x}}{( e ^{x} + 1 ) ^{3}}$ pe $[- 1, 1]$ , aria $- \frac{1}{2 ( e ^{x} + 1 ) ^{2}}_{- 1}^{1} = \frac{e - 1}{2 ( e + 1 )}$ ;
- specială 2026, v2: $m = 3$ (modelul de mai sus);
- iunie 2026 rezervă, v7: $g (x) = \frac{1}{e ^{x} + 2}$ pe $[0, 1]$ , aria $\frac{1}{2} \int_{0}^{1} (1 - \frac{e ^{x}}{e ^{x} + 2}) d x = \frac{1}{2} ln \frac{3 e}{e + 2}$ .
Integralele de la august 2020 (b) și specială 2020 (b) sunt și ele arii ale subgraficului, pentru că funcțiile sunt pozitive pe intervalele respective.
Barem: corectorul vrea scris $A = \int_{a}^{b} ∣ g (x)∣ d x$ cu semnul lui $g$ justificat, apoi primitiva și valoarea (de regulă 3p + 2p).

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Aria scrisă ca $\int f$ fără justificarea lui $f \geq 0$ .
Integrare peste un zero al funcției fără a rupe intervalul (rezultatul poate ieși 0 sau negativ).
Ordinea „sus minus jos” inversată la aria dintre grafice.
Capete greșite: intersecțiile se verifică înlocuind în ambele funcții.

Termeni-cheie

Subgraficul unei funcții: Pentru f: [a, b] → [0, +∞) continuă: Γ_f = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}, mulțimea dintre grafic, Ox și dreptele x = a, x = b.
Aria subgraficului: Dacă f este continuă și f(x) ≥ 0 pe [a, b], aria lui Γ_f este ∫ₐᵇ f(x) dx.
Aria pentru o funcție cu semn oarecare: Aria mulțimii dintre graficul lui f, Ox și dreptele x = a, x = b este ∫ₐᵇ |f(x)| dx; se rupe intervalul în zerourile lui f.
Aria dintre două grafice: Dacă f(x) ≤ g(x) pe [a, b], aria mulțimii {(x, y) | a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ g(x)} este ∫ₐᵇ (g(x) − f(x)) dx.
Puncte de intersecție: Capetele intervalului, când nu sunt date, sunt soluțiile ecuației f(x) = g(x).
Unități de arie: Rezultatul este un număr pozitiv; se poate scrie „u.a.” (unități de arie).

Notițele mele

Salvat local

Surse

Programa de examen Matematică M_mate-info, Bacalaureat 2015 (Anexa 2 la OMEN 4430/2014), clasa a XII-a, Aplicații ale integralei definite
BAC 2020, sesiunea august, varianta 3, Subiectul al III-lea, 2.b (subiect și barem)
BAC 2020, sesiunea specială, varianta 1, Subiectul al III-lea, 2.b (subiect și barem)
BAC 2024, sesiunea iunie-iulie, varianta 10, Subiectul al III-lea, 2.c (subiect și barem)
BAC 2026, sesiunea specială, varianta 2, Subiectul al III-lea, 2.c (subiect și barem)
BAC 2023 august v7, BAC 2025 iunie v1, BAC 2026 iunie rezervă v7: Subiectul al III-lea, 2.c (arii)