Regulile lui l'Hospital

Regula lui l'Hospital pentru cazurile 0/0 și ∞/∞, condițiile de aplicare, aducerea cazurilor 0·∞, ∞ − ∞, 1^∞, 0⁰, ∞⁰ la un raport și comparația creșterii: eˣ, puteri, logaritmi.

20 min
La BAC: Subiectul al III-lea (1)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
l'Hospital doar pentru 0/0 și ∞/∞. Verifici cazul înainte de a deriva și îl scrii pe foaie.
02
Derivezi separat: sus și jos. Nu derivezi fracția cu regula câtului.
Truc: Sus cu sus, jos cu jos, ca două ecuații paralele.
03
Se poate aplica de mai multe ori, dacă după derivare rămâne 0/0 sau ∞/∞.
04
0·∞ → scrie ca raport; 1^∞, 0⁰, ∞⁰ → u^v = e^(v ln u), apoi l'Hospital pe exponent.
05
La +∞: eˣ bate orice putere, orice putere bate ln x: xⁿ/eˣ → 0, ln x/x → 0.

1 din 7

Pe scurt

3 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

Regula: dacă $f / g$ este de tip $0/0$ sau $\infty/\infty$ în $x_{0}$ (finit sau $\pm \infty$ ), $f$ și $g$ sunt derivabile lângă $x_{0}$ , $g^{'} \neq = 0$ , și limita lui $f^{'} / g^{'}$ există, atunci limita lui $f / g$ este egală cu ea.
Se derivează separat numărătorul și numitorul; se poate repeta.
Celelalte cazuri ( $0 \cdot \infty$ , $\infty - \infty$ , $1^{\infty}$ , $0^{0}$ , $\infty^{0}$ ) se aduc la $0/0$ sau $\infty/\infty$ .
Comparații la $+ \infty$ : $x^{n} / e^{x} \to 0$ , $ln x / x \to 0$ .

Enunțul

3 min o întrebare la final

Regula lui l'Hospital. Fie $f, g$ derivabile pe o vecinătate $V$ a lui $x_{0}$ (eventual fără $x_{0}$ ), cu $g^{'} (x) \neq = 0$ pe $V ∖ {x_{0}}$ . Dacă

$f (x) \to 0$ și $g (x) \to 0$ (cazul $0/0$ ), sau $∣ g (x)∣ \to + \infty$ (cazul $\infty/\infty$ ), când $x \to x_{0}$ , și
există limita lui $f^{'} (x) / g^{'} (x)$ când $x \to x_{0}$ , egală cu $l$ (finit sau infinit),

atunci

x \to x_{0} lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = x \to x_{0} lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )} = l

Programa folosește denumirea „regulă” pentru că demonstrația nu se cere; aplicarea, da.

Pentru ce cazuri se aplică direct regula lui l'Hospital?

Cazurile 0/0 și ∞/∞

1 min

Exemplul 1. Aplicare repetată

x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1 - x}{x ^{2}} = 0/0 x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{2 x} = 0/0 x \to 0 lim \frac{e ^{x}}{2} = \frac{1}{2}

Analog, $(x - sin x) / x^{3} \to 1/6$ (trei aplicări) și $(1 - cos x) / x^{2} \to 1/2$ .

Exemplul 2. Comparația creșterilor la +∞

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = \infty/\infty x \to + \infty lim \frac{1/ x}{1} = 0, x \to + \infty lim \frac{x ^{2}}{e ^{x}} = \infty/\infty x \to + \infty lim \frac{2 x}{e ^{x}} = \infty/\infty x \to + \infty lim \frac{2}{e ^{x}} = 0

Două rapoarte care tind la 0

Spre +∞, numitorul crește mai repede decât numărătorul: eˣ îl întrece pe x², iar x îl întrece pe ln x. De aceea ambele limite sunt 0.

Cazurile care se aduc la un raport

4 min

CazTransformare

0 \cdot \infty

f \cdot g = f / (1/ g)

g / (1/ f)

\infty - \infty

aducere la același numitor sau factor comun

1^{\infty}

0^{0}

\infty^{0}

u^{v} = exp (v ln u)

, limita exponentului este de tip

0 \cdot \infty

Caz	Transformare
$0 \cdot \infty$	$f \cdot g = f / (1/ g)$ sau $g / (1/ f)$
$\infty - \infty$	aducere la același numitor sau factor comun
$1^{\infty}$ , $0^{0}$ , $\infty^{0}$	$u^{v} = exp (v ln u)$ , limita exponentului este de tip $0 \cdot \infty$

Exemplul 3. 0·∞ și 0⁰

a) Cazul $0 \cdot (- \infty)$ :

x \to 0 x > 0 lim x ln x = x \to 0 x > 0 lim \frac{ln x}{1/ x} = \infty/\infty x \to 0 x > 0 lim \frac{1/ x}{- 1/ x ^{2}} = x \to 0 x > 0 lim (- x) = 0

b) Cazul $0^{0}$ : $x^{x} = exp (x ln x)$ , iar exponentul tinde la 0 (punctul a), deci $x^{x} \to e^{0} = 1$ când $x \to 0$ , $x > 0$ .

Exemplul 4. ∞ − ∞

x \to 0 lim (\frac{1}{x} - \frac{1}{sin x}) = x \to 0 lim \frac{sin x - x}{x sin x} = 0/0 x \to 0 lim \frac{cos x - 1}{sin x + x cos x} = 0/0 x \to 0 lim \frac{- sin x}{2 cos x - x sin x} = \frac{0}{2} = 0

Item oficial rezolvat

5 min 2 întrebări la final

BAC 2020, august, varianta 3, III.1.c

$f (x) = 6^{x} - 3^{x} + 2^{x}$ , $f (0) = 1$ , $f^{'} (0) = ln 4$ . Calculați

x \to 0 lim \frac{ln ( f ( x ) )}{x}

Cazul este $0/0$ : $ln f (x) \to ln 1 = 0$ și $x \to 0$ . Aplicând regula lui l'Hospital (barem):

x \to 0 lim \frac{ln ( f ( x ) )}{x} = x \to 0 lim \frac{f ^{'} ( x ) / f ( x )}{1} = \frac{f ^{'} ( 0 )}{f ( 0 )} = \frac{ln 4}{1} = ln 4

Barem: 3p pentru trecerea la $f^{'} (x) / f (x)$ , 2p pentru valoare. (Aceeași limită se obține și din definiția derivatei, vezi lecția despre derivabilitate.)

BAC 2026, august, varianta 4, III.1.b

$f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 3 - (2 x - 3) e^{2 x}$ , cu $f^{'} (x) = 4 (x - 1) (1 - e^{2 x})$ (de la a)). Arătați că

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x ^{2}} = 4

$f (0) = - 3 + 3 = 0$ , deci cazul este $0/0$ :

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x ^{2}} = 0/0 x \to 0 lim \frac{f ^{'} ( x )}{2 x} = x \to 0 lim (4 (x - 1) \cdot \frac{1 - e ^{2 x}}{2 x}) = 4 \cdot (- 1) \cdot (- 1) = 4

pentru că $\frac{1 - e ^{2 x}}{2 x} \to - 1$ (limită fundamentală) (barem: 3p raportul derivatelor, 2p rezultatul).

BAC 2024, iunie–iulie, varianta 10, III.1.b

$f (x) = e^{x} (2 x - 4) + x^{2} - 2 x + 4$ , cu $f^{'} (x) = 2 (x - 1) (e^{x} + 1)$ . Arătați că

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{1 - e ^{x}} = 4

$f (0) = - 4 + 4 = 0$ și $1 - e^{0} = 0$ , deci cazul este $0/0$ :

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{1 - e ^{x}} = 0/0 x \to 0 lim \frac{f ^{'} ( x )}{- e ^{x}} = x \to 0 lim \frac{2 ( x - 1 ) ( e ^{x} + 1 )}{- e ^{x}} = \frac{2 \cdot ( - 1 ) \cdot 2}{- 1} = 4

(3p + 2p).

Toate limitele au fost verificate numeric.

Cât este lim (x → 0, x > 0) x ln x?

Cât este lim (x → +∞) x²/eˣ?

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

III.1.b/c: o limită de tip $0/0$ cu logaritm sau exponențială (2020 august: $ln 4$ ; 2024 iunie: 4; 2025 specială: 3; 2026 august: 4). Derivata de la a) intră direct în raportul derivatelor, de aceea a) se scrie cu grijă.
Asimptote: limite de forma $lim x / e^{x}$ sau $lim ln x / x$ apar în calculul lui $m$ și $n$ .
Barem: se acceptă l'Hospital ca metodă completă; trebuie scris cazul și limita raportului derivatelor.

Greșeli care costă puncte

2 mincapcanele de evitat

Aplicarea pe un caz care nu e nedeterminat.
Derivarea raportului cu regula câtului.
Concluzie fără existența limitei lui $f^{'} / g^{'}$ (de exemplu, la $(x + sin x) / x$ la $+ \infty$ , raportul derivatelor $1 + cos x$ nu are limită, dar limita inițială există și este 1, prin împărțire la $x$ ).
Puterile nedeterminate tratate direct, fără trecerea prin exponențială.
Semnul la $0 \cdot (- \infty)$ pierdut.

Termeni-cheie

Regula lui l'Hospital (0/0): Dacă f(x) → 0, g(x) → 0 când x → x₀, f și g derivabile lângă x₀, g′ ≠ 0 și limita lui f′/g′ există, atunci lim f/g = lim f′/g′.
Regula lui l'Hospital (∞/∞): Aceeași concluzie dacă |g(x)| → +∞ (iar f/g este de tip ∞/∞), cu aceleași condiții de derivabilitate și existență a limitei lui f′/g′.
Condiția de existență: Regula se aplică doar dacă limita raportului derivatelor există (finită sau infinită); altfel nu se trage nicio concluzie.
Derivare separată: Se derivează separat numărătorul și numitorul, nu raportul ca fracție.
Cazul 0·∞: f·g se scrie f/(1/g) sau g/(1/f), ca să devină 0/0 sau ∞/∞.
Cazurile 1^∞, 0⁰, ∞⁰: u^v = e^(v·ln u); se calculează limita lui v·ln u (caz 0·∞) și se ridică e la acea putere.
Comparația creșterilor: La +∞: lim xⁿ/eˣ = 0 și lim (ln x)/x^a = 0, pentru n natural și a > 0.

Notițele mele

Salvat local