Inegalități demonstrate prin studiul funcției

Cum demonstrezi o inegalitate cu derivate: funcția diferență, minimul global, monotonia pe un interval cu valoarea sau limita de la capăt, inegalitățile clasice (eˣ ≥ x + 1, ln x ≤ x − 1) și compararea a două numere prin monotonia unei funcții.

22 min
La BAC: Subiectul al III-lea (1)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Pentru f ≥ g: studiezi h = f − g. Totul se reduce la „h ≥ 0 pe interval”.
02
Trei drumuri: minimul global al lui h e ≥ 0; h crescătoare și h(a) = 0 la capătul stâng; h descrescătoare cu limita 0 la +∞.
Truc: Valea cea mai joasă e deasupra apei, sau pornești de la nivelul apei și doar urci.
03
Clasice: eˣ ≥ x + 1 (toți x) și ln x ≤ x − 1 (x > 0), cu egalitate în 0, respectiv 1.
04
Dacă a) îți dă f′ factorizat, inegalitatea de la c) folosește aproape sigur monotonia lui f.
05
Inegalități între numere: alegi o funcție monotonă, de exemplu ln x/x, descrescătoare pe [e, +∞).

1 din 7

Pe scurt

3 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

Pentru $f (x) \geq g (x)$ pe $I$ : studiezi $h = f - g$ și arăți $h \geq 0$ pe $I$ .
Minim global: tabelul de variație al lui $h$ arată că minimul este $\geq 0$ .
Monotonie + capăt: $h$ crescătoare pe $[a, + \infty)$ și $h (a) \geq 0$ .
Monotonie + limită: $h$ strict descrescătoare pe $(a, + \infty)$ și limita la $+ \infty$ este 0 $\Rightarrow h > 0$ .
Inegalități clasice: $e^{x} \geq x + 1$ , $ln x \leq x - 1$ , $ln (1 + x) \leq x$ , $sin x \leq x$ pentru $x \geq 0$ .

Metoda minimului global

4 min o întrebare la final

Exemplul 1. eˣ ≥ x + 1 și ln x ≤ x − 1

a) $h (x) = e^{x} - x - 1$ , $x \in R$ : $h^{'} (x) = e^{x} - 1$ , negativă pe $(- \infty, 0)$ și pozitivă pe $(0, + \infty)$ . $h$ are minim global în 0, $h (0) = 0$ , deci $h (x) \geq 0$ , adică $e^{x} \geq x + 1$ pentru orice $x$ real.

b) $h (x) = x - 1 - ln x$ , $x > 0$ : $h^{'} (x) = 1 - 1/ x = (x - 1) / x$ . Minim global în 1, $h (1) = 0$ , deci $ln x \leq x - 1$ pentru orice $x > 0$ .

eˣ stă deasupra lui x + 1

Zona colorată este h(x) = eˣ − x − 1: pozitivă peste tot și nulă doar în x = 0, unde h are minimul global. De aici eˣ ≥ x + 1.

Cum demonstrezi ln x ≤ x − 1 pentru x > 0?

Monotonie și valoarea de la capăt

4 min

Dacă $h^{'} (x) \geq 0$ pe $[a, + \infty)$ , atunci $h$ este crescătoare, deci $h (x) \geq h (a)$ pentru $x \geq a$ . Dacă în plus $h (a) = 0$ , rezultă $h (x) \geq 0$ .

Model BAC 2020, III.1.c

$f (x) = x^{2} - 8 x + 8 ln x + 12 - 8 ln 2$ , $f^{'} (x) = 2 (x - 2)^{2} / x$ (de la a)). Punctul $M (a, b)$ este pe graficul lui $g (x) = x^{2} - 8 ln 2 + 8 ln x$ , iar $N (a, c)$ pe graficul lui $h (x) = 8 x - 12$ . Demonstrați că $b \geq c$ , pentru orice $a \in [2, + \infty)$ .

$f^{'} (x) \geq 0$ pentru orice $x > 0$ , deci $f$ este crescătoare pe $(0, + \infty)$ ; cum $f (2) = 4 - 16 + 8 ln 2 + 12 - 8 ln 2 = 0$ , obținem $f (a) \geq 0$ pentru orice $a \in [2, + \infty)$ (2p).

Dar $f (a) = g (a) - h (a) = b - c$ , deci $b \geq c$ , pentru orice $a \in [2, + \infty)$ (3p).

Monotonie și limită la capăt

3 min o întrebare la final

BAC 2020, iunie–iulie, varianta 6, III.1.c

$f (x) = \frac{1}{x - 2} + ln \frac{x - 1}{x}$ , $x > 2$ . Demonstrați că $\frac{1}{x - 2} > ln \frac{x}{x - 1}$ , pentru orice $x \in (2, + \infty)$ .

Din a), $f^{'} (x) = (- 3 x + 4) / (x (x - 1) (x - 2)^{2}) < 0$ pentru $x > 2$ , deci $f$ este strict descrescătoare pe $(2, + \infty)$ ; din b), limita lui $f$ la $+ \infty$ este 0. Rezultă $f (x) > 0$ pentru orice $x \in (2, + \infty)$ (3p).

\frac{1}{x - 2} + ln \frac{x - 1}{x} > 0 ⟺ \frac{1}{x - 2} > - ln \frac{x - 1}{x} = ln \frac{x}{x - 1}

pentru orice $x \in (2, + \infty)$ (2p).

De ce limita dă semnul: dacă $f$ este strict descrescătoare pe $(2, + \infty)$ , pentru $x < t$ avem $f (x) > f (t)$ ; trecând la limită după $t \to + \infty$ , $f (x) \geq 0$ , iar strict: $f (x) > f (x + 1) \geq 0$ .

Dacă h e strict descrescătoare pe (2, +∞) și tinde la 0 la +∞, ce semn are?

Compararea a două numere

5 min o întrebare la final

Exemplul 2. Care e mai mare, eᵖⁱ sau πᵉ?

Logaritmând, comparăm $π$ cu $e ln π$ , adică $1/ e$ cu $(ln π) / π$ . Fie $f (x) = ln x / x$ , $x > 0$ :

f^{'} (x) = \frac{1 - ln x}{x ^{2}} < 0 pentru x > e

deci $f$ este strict descrescătoare pe $[e, + \infty)$ . Cum $e < π$ , $f (e) > f (π)$ , adică $1/ e > (ln π) / π$ , de unde $π > e ln π$ și $e^{π} > π^{e}$ .

BAC 2025, august, varianta 9, III.1.c. Inegalitate din valorile extreme

$f : R \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} + 6}{x ^{2} + 1}$ , cu $f^{'} (x) = \frac{x ( x ^{2} - 4 )}{( x ^{2} + 1 ) x ^{2} + 1}$ . Arătați că $f (7 x) - f (x) \leq 22$ , pentru orice $x \in [0, 1]$ .

Pentru $x \in [0, 2]$ , $f^{'} (x) \leq 0$ , deci $f$ este descrescătoare pe $[0, 2]$ ; pentru $x \in [2, + \infty)$ , $f^{'} (x) \geq 0$ , deci $f$ este crescătoare pe $[2, + \infty)$ (2p).

Pentru $x \in [0, 1]$ : $f (x) \geq f (1) = \frac{7}{2}$ (descreștere). Cum $7 x \in [0, 7]$ , $f (7 x) \leq max {f (0), f (7)}$ , cu $f (0) = 6$ și $f (7) = \frac{55}{50} = \frac{11}{2} > 6$ . Rezultă

f (7 x) - f (x) \leq \frac{11}{2} - \frac{7}{2} = \frac{4}{2} = 22, pentru orice x \in [0, 1]

(3p). Aici nu se studiază o funcție diferență: se majorează separat cei doi termeni, cu ajutorul monotoniei.

Toate inegalitățile au fost verificate și numeric, ca control.

Ce funcție folosești ca să compari eᵖⁱ cu πᵉ?

Ce se cere la BAC

2 mincum apare la examen

III.1.c: o inegalitate „pentru orice $x \in I$ ” (2020 iunie, model 2020, 2025 august), uneori deghizată în limbaj geometric („punctul $M$ este deasupra punctului $N$ ”, „ $b \geq c$ ”).
Aproape întotdeauna, a) dă derivata, b) dă o limită sau o valoare, iar c) le combină.
Redactare: monotonia (cu semnul derivatei), valoarea/limita, apoi transformarea echivalentă până la inegalitatea cerută.

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Verificare pe exemple în loc de demonstrație.
Monotonia fără valoare de referință.
Inegalitate strictă vs. nestrictă: din „crescătoare” și $h (a) = 0$ rezultă doar $h \geq 0$ .
Transformările finale făcute greșit la logaritmi: $- ln \frac{x - 1}{x} = ln \frac{x}{x - 1}$ .
Intervalul pe care e valabilă monotonia nu se potrivește cu cel din enunț.

Termeni-cheie

Funcția diferență: Pentru a arăta f(x) ≥ g(x) pe I, se studiază h = f − g și se arată h(x) ≥ 0 pe I.
Inegalitate prin minim global: Dacă h are pe I minimul global h(x₀) ≥ 0, atunci h(x) ≥ 0 pentru orice x ∈ I.
Inegalitate prin monotonie și capăt: Dacă h este crescătoare pe [a, +∞) și h(a) = 0, atunci h(x) ≥ 0 pe [a, +∞).
Inegalitate prin monotonie și limită: Dacă h este strict descrescătoare pe (a, +∞) și limita la +∞ este 0, atunci h(x) > 0 pe (a, +∞).
Inegalitatea exponențialei: eˣ ≥ x + 1, pentru orice x real, cu egalitate doar în x = 0.
Inegalitatea logaritmului: ln x ≤ x − 1, pentru orice x > 0, cu egalitate doar în x = 1.
Compararea a două numere: Se alege o funcție monotonă f cu a, b în domeniu: dacă f e strict descrescătoare și a < b, atunci f(a) > f(b).

Notițele mele

Salvat local