Relațiile lui Viète și expresii simetrice în rădăcini

Relațiile lui Viète pentru gradele 2, 3 și 4, sume de pătrate, de inverse și de puteri ale rădăcinilor, polinomul cu rădăcini date și rădăcini în progresie.

22 min
La BAC: Subiectul al II-lea (2)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Gradul 3, aX³ + bX² + cX + d: S₁ = −b/a, S₂ = c/a, S₃ = −d/a. Semnele alternează: minus, plus, minus.
Truc: Coeficienții după cel dominant, împărțiți la a, cu semnele − + − + …
02
Suma pătratelor = S₁² − 2S₂. Dacă iese negativă, rădăcinile nu sunt toate reale.
03
Suma inverselor (gradul 3) = S₂/S₃; la gradul 4: S₃/S₄.
04
Pentru sume de cuburi (sau puteri mai mari) scrii că fiecare rădăcină verifică ecuația și aduni relațiile.
05
Rădăcini în progresie aritmetică la gradul 3: rădăcina din mijloc este S₁/3; o impui ca rădăcină cu f(S₁/3) = 0.

1 din 6

Pe scurt

1 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

Gradul 2: $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .
Gradul 3: $S_{1} = - \frac{b}{a}$ , $S_{2} = \frac{c}{a}$ , $S_{3} = - \frac{d}{a}$ .
Gradul 4: $S_{1} = - \frac{b}{a}$ , $S_{2} = \frac{c}{a}$ , $S_{3} = - \frac{d}{a}$ , $S_{4} = \frac{e}{a}$ .
$\sum x_{i}^{2} = S_{1}^{2} - 2 S_{2}$ ; dacă e negativă, nu toate rădăcinile sunt reale.
Puterile mari: fiecare rădăcină verifică ecuația; aduni relațiile.

Relațiile lui Viète

3 min

Fie $f \in C [X]$ cu rădăcinile $x_{1}, \dots, x_{n}$ (numărate cu multiplicitate). Atunci $f = a (X - x_{1}) \dots (X - x_{n})$ și, identificând coeficienții:

Polinomul

a X^{2} + b X + c

Relațiile

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

;

x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

Polinomul

a X^{3} + b X^{2} + c X + d

Relațiile

S_{1} = - \frac{b}{a}

;

S_{2} = \frac{c}{a}

;

S_{3} = - \frac{d}{a}

Polinomul

a X^{4} + b X^{3} + c X^{2} + d X + e

Relațiile

S_{1} = - \frac{b}{a}

;

S_{2} = \frac{c}{a}

;

S_{3} = - \frac{d}{a}

;

S_{4} = \frac{e}{a}

1 / 3

Gradul	Polinomul	Relațiile
2	$a X^{2} + b X + c$	$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ; $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$
3	$a X^{3} + b X^{2} + c X + d$	$S_{1} = - \frac{b}{a}$ ; $S_{2} = \frac{c}{a}$ ; $S_{3} = - \frac{d}{a}$
4	$a X^{4} + b X^{3} + c X^{2} + d X + e$	$S_{1} = - \frac{b}{a}$ ; $S_{2} = \frac{c}{a}$ ; $S_{3} = - \frac{d}{a}$ ; $S_{4} = \frac{e}{a}$

unde $S_{k}$ este suma produselor rădăcinilor luate câte $k$ ; la gradul 3:

S_{1} = x_{1} + x_{2} + x_{3}, S_{2} = x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}, S_{3} = x_{1} x_{2} x_{3} .

Reciproc, polinomul monic de gradul 3 cu rădăcinile $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ este $X^{3} - S_{1} X^{2} + S_{2} X - S_{3}$ .

Expresii simetrice uzuale

2 min

ExpresiaFormula (gradul 3)

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}

S_{1}^{2} - 2 S_{2}

\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \frac{1}{x _{3}}

\frac{S _{2}}{S _{3}}

\frac{1}{x _{1}^{2}} + \frac{1}{x _{2}^{2}} + \frac{1}{x _{3}^{2}}

(\frac{S _{2}}{S _{3}})^{2} - 2 \cdot \frac{S _{1}}{S _{3}}

(1 - x_{1}) (1 - x_{2}) (1 - x_{3})

\frac{f ( 1 )}{a}

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3}

din ecuație:

a \sum x_{i}^{3} + b \sum x_{i}^{2} + c \sum x_{i} + 3 d = 0

Expresia	Formula (gradul 3)
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$	$S_{1}^{2} - 2 S_{2}$
$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \frac{1}{x _{3}}$	$\frac{S _{2}}{S _{3}}$
$\frac{1}{x _{1}^{2}} + \frac{1}{x _{2}^{2}} + \frac{1}{x _{3}^{2}}$	$(\frac{S _{2}}{S _{3}})^{2} - 2 \cdot \frac{S _{1}}{S _{3}}$
$(1 - x_{1}) (1 - x_{2}) (1 - x_{3})$	$\frac{f ( 1 )}{a}$
$x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3}$	din ecuație: $a \sum x_{i}^{3} + b \sum x_{i}^{2} + c \sum x_{i} + 3 d = 0$

Relația $(1 - x_{1}) (1 - x_{2}) (1 - x_{3}) = \frac{f ( 1 )}{a}$ vine direct din $f = a (X - x_{1}) (X - x_{2}) (X - x_{3})$ pentru $X = 1$ ; analog, $(t - x_{1}) (t - x_{2}) (t - x_{3}) = \frac{f ( t )}{a}$ pentru orice $t$ .

Exemple rezolvate

9 min 3 întrebări la final

Exercițiu de tip BAC: gradul 3, trei expresii

$f = X^{3} - 2 X^{2} + 3 X - 4$ , cu rădăcinile $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ .

Relațiile lui Viète: $S_{1} = 2$ , $S_{2} = 3$ , $S_{3} = 4$ .

a) $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = S_{1}^{2} - 2 S_{2} = 4 - 6 = - 2$ . Cum suma pătratelor este negativă, $f$ nu are toate rădăcinile reale.

b) $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \frac{1}{x _{3}} = \frac{S _{2}}{S _{3}} = \frac{3}{4}$ .

c) Fiecare rădăcină verifică $x_{i}^{3} = 2 x_{i}^{2} - 3 x_{i} + 4$ . Adunând pentru $i = 1, 2, 3$ :

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3} = 2 (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) - 3 (x_{1} + x_{2} + x_{3}) + 12 = 2 \cdot (- 2) - 3 \cdot 2 + 12 = 2.

Exercițiu de tip BAC: rădăcini în progresie aritmetică

Determinați $m \in R$ pentru care $f = X^{3} - 6 X^{2} + 11 X + m$ are rădăcinile în progresie aritmetică.

Dacă $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ sunt în progresie aritmetică, $x_{1} + x_{3} = 2 x_{2}$ , deci $S_{1} = 3 x_{2} = 6$ și $x_{2} = 2$ .

$f (2) = 8 - 24 + 22 + m = 6 + m = 0$ , deci $m = - 6$ .

Verificare: $f = X^{3} - 6 X^{2} + 11 X - 6 = (X - 1) (X - 2) (X - 3)$ , rădăcinile $1, 2, 3$ sunt în progresie aritmetică.

Rădăcinile 1, 2, 3 și suma lor

m = −4,5

Din S₁ = 6 și x₁ + x₃ = 2x₂ rezultă x₂ = 2, deci graficul trebuie să treacă prin (2, 0). Mută cursorul la m = −6: curba taie Ox în 1, 2 și 3.

Exercițiu de tip BAC: gradul 4

$f = X^{4} - 2 X^{3} + 3 X^{2} - 4 X + 5$ , cu rădăcinile $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ .

Viète: $S_{1} = 2$ , $S_{2} = 3$ , $S_{3} = 4$ , $S_{4} = 5$ .

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = S_{1}^{2} - 2 S_{2} = 4 - 6 = - 2 < 0$ , deci $f$ nu are toate rădăcinile reale.

$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \frac{1}{x _{3}} + \frac{1}{x _{4}} = \frac{S _{3}}{S _{4}} = \frac{4}{5}$ .

Exercițiu de tip BAC: produs de forma (t − xᵢ)

Pentru $f = X^{3} - 2 X^{2} + 3 X - 4$ : $(2 - x_{1}) (2 - x_{2}) (2 - x_{3}) = f (2) = 8 - 8 + 6 - 4 = 2$ .

BAC 2024, sesiunea august, varianta 3, II.2.c

$f = X^{3} + a X^{2} + X + 2 - a$ , cu rădăcinile $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ . Determinați $a$ pentru care $(x_{1} - x_{1}^{2}) (x_{2} - x_{2}^{2}) (x_{3} - x_{3}^{2}) = 4$ .

$x_{i} - x_{i}^{2} = x_{i} (1 - x_{i})$ , deci produsul este $x_{1} x_{2} x_{3} \cdot (1 - x_{1}) (1 - x_{2}) (1 - x_{3})$ .

Din Viète, $x_{1} x_{2} x_{3} = - (2 - a) = a - 2$ , iar $(1 - x_{1}) (1 - x_{2}) (1 - x_{3}) = f (1) = 4$ (polinom monic). Produsul este $4 (a - 2) = 4$ , deci $a = 3$ .

Barem oficial: $x_{1} x_{2} x_{3} = - 2 + a$ și produsul egal cu $(- 2 + a) f (1)$ 3p; $a = 3$ 2p.

BAC 2025, sesiunea iunie, varianta 1, II.2.c

$f = a X^{3} + 3 X^{2} - a X - 6$ , $a \neq = 0$ , cu rădăcinile $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ . Determinați $a$ pentru care $(1 + x_{1}) (1 + x_{2}) (1 + x_{3}) = 1$ .

Din $f = a (X - x_{1}) (X - x_{2}) (X - x_{3})$ , pentru $X = - 1$ : $f (- 1) = - a (1 + x_{1}) (1 + x_{2}) (1 + x_{3})$ , deci produsul este $- \frac{f ( - 1 )}{a}$ .

$f (- 1) = - a + 3 + a - 6 = - 3$ , deci $\frac{3}{a} = 1$ și $a = 3$ .

Barem oficial: $(1 + x_{1}) (1 + x_{2}) (1 + x_{3}) = - \frac{f ( - 1 )}{a}$ 3p; $a = 3$ 2p.

Care e polinomul monic cu rădăcinile 1, 2, 3?

Cât este 1/x₁ + 1/x₂ + 1/x₃ pentru X³ − 2X² + 3X − 4?

Pentru ce m are X³ − 6X² + 11X + m rădăcinile în progresie aritmetică?

Ce se cere la BAC

5 mincum apare la examen

Problema 2 de la Subiectul al II-lea, când este despre polinoame (cum e modelul 2021, în $Z_{3} [X]$ ), are la a) un calcul de valori, la b) o condiție de divizibilitate sau o expresie în rădăcini, la c) o proprietate a rădăcinilor.
Cerințe tipice cu Viète: „Arătați că $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = \dots$ ”, „Demonstrați că polinomul nu are toate rădăcinile reale”, „Determinați $m$ pentru care rădăcinile verifică relația…”.
În 2020–2022 relațiile lui Viète nu apar în subiectele din arhivă, dar din 2023 sunt la aproape fiecare sesiune, la II.2.c (uneori b):
- august 2024, v3: produsul $\prod (x_{i} - x_{i}^{2}) = (a - 2) f (1)$ , $a = 3$ ;
- iunie 2025, v1: $\prod (1 + x_{i}) = - \frac{f ( - 1 )}{a}$ , $a = 3$ ;
- august 2025, v9, b): gradul 4, $(x_{1} x_{2} x_{3} x_{4})^{2} - (x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}) = m^{2} - 3 = 1$ , $m \in {- 2, 2}$ ;
- specială 2026, v2, c): $f = m X^{4} - m X^{2} + X + 1$ , $x_{1}^{3} + \dots + x_{4}^{3} = 1$ ; fiecare rădăcină verifică $m x_{i}^{3} = m x_{i} - 1 - \frac{1}{x _{i}}$ , cu $\sum x_{i} = 0$ și $\sum \frac{1}{x _{i}} = \frac{S _{3}}{S _{4}} = - 1$ , deci $m \sum x_{i}^{3} = - 3$ și $m = - 3$ ;
- august 2026, v4, c): $X^{3} + X^{2} + a X + 8$ cu raportul a două rădăcini egal cu 2: din $x_{2} = 2 x_{1}$ , $S_{1} = - 1$ , $S_{3} = - 8$ rezultă $x_{1} = 1$ , deci $f (1) = 0$ și $a = - 10$ (rădăcinile 1, 2, −4);
- model 2023, c): $X^{4} + a X^{3} + a X^{2} + 8 X - 8$ nu are toate rădăcinile întregi (din $S_{1} = - a \in Z$ și $∣ x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} ∣ = 8$ , una ar avea modulul 1, dar $f (- 1) = - 15 \neq = 0$ , iar $f (1) = 0$ dă $a = - \frac{1}{2} \in / Z$ ).

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Semne greșite în relații (în special $S_{1} = - \frac{b}{a}$ și $S_{3} = - \frac{d}{a}$ ).
Uitarea împărțirii la $a$ când polinomul nu e monic.
$(x_{1} + x_{2} + x_{3})^{2}$ în loc de suma pătratelor.
Concluzia „toate rădăcinile sunt reale” dintr-o sumă de pătrate pozitivă (nu rezultă).
Relațiile nescrise: corectorul acordă puncte pentru scrierea lor explicită.

Termeni-cheie

Relațiile lui Viète, gradul 2: Pentru aX² + bX + c cu rădăcinile x₁, x₂: x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a.
Relațiile lui Viète, gradul 3: Pentru aX³ + bX² + cX + d: x₁ + x₂ + x₃ = −b/a; x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a; x₁x₂x₃ = −d/a.
Relațiile lui Viète, gradul 4: Pentru aX⁴ + bX³ + cX² + dX + e: S₁ = −b/a, S₂ = c/a, S₃ = −d/a, S₄ = e/a (sumele produselor de câte 1, 2, 3, 4 rădăcini).
Suma pătratelor rădăcinilor: x₁² + x₂² + … + xₙ² = S₁² − 2S₂.
Suma inverselor rădăcinilor: Pentru gradul 3: 1/x₁ + 1/x₂ + 1/x₃ = S₂/S₃ (rădăcini nenule).
Puterile rădăcinilor: Fiecare rădăcină verifică ecuația, de exemplu x³ = −(b·x² + c·x + d)/a; însumând, sumele de puteri se reduc la puteri mai mici.
Polinomul cu rădăcini date: Polinomul monic de gradul 3 cu rădăcinile x₁, x₂, x₃ este X³ − S₁X² + S₂X − S₃.
Test pentru rădăcini nereale: Dacă f are coeficienți reali și x₁² + … + xₙ² < 0, atunci f nu are toate rădăcinile reale.

Notițele mele

Salvat local

Surse

Programa de examen Matematică M_mate-info, Bacalaureat 2015 (Anexa 2 la OMEN 4430/2014), clasa a XII-a, Inele de polinoame
BAC 2021, model, Subiectul al II-lea, 2 (structura unei probleme cu polinoame)
BAC 2024, sesiunea august, varianta 3, Subiectul al II-lea, 2.c (subiect și barem)
BAC 2025, sesiunea iunie, varianta 1, Subiectul al II-lea, 2.c (subiect și barem)
BAC 2025 august v9 (2.b), BAC 2026 specială v2 (2.c), BAC 2026 august v4 (2.c), BAC 2023 model (2.c)