Polinoame peste ℤₚ și ecuații algebrice: rădăcini întregi, conjugate, binome, bipătrate, reciproce

Rădăcini întregi și raționale, rădăcini complexe și iraționale conjugate, ecuațiile binome, bipătrate și reciproce, plus calculul cu polinoame în ℤₚ[X] și argumentele de numărare din subiectele cu ℤ₃.

26 min
La BAC: Subiectul al II-lea (2)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Coeficienți întregi: o rădăcină întreagă divide termenul liber; încerci divizorii, apoi Horner.
02
Coeficienți reali: rădăcinile nereale vin în perechi a ± bi. Coeficienți raționali: și a ± b√d.
03
Bipătrată: t = x². Reciprocă de gradul 4: împarți la x², t = x + 1/x, și x² + 1/x² = t² − 2.
Truc: Reciprocă = coeficienții se citesc la fel de la ambele capete, ca un palindrom.
04
Binomă xⁿ = a: n rădăcini; pentru x³ = 8: 2, −1 + i√3, −1 − i√3.
05
În ℤₚ[X] încerci toate cele p valori. Model 2021: f(0̂) + f(1̂) + f(2̂) = 2̂ ≠ 0̂ arată că valorile nu pot fi toate distincte.

1 din 7

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termencifră, datăidee-cheie

Rădăcini întregi ale unui polinom cu coeficienți întregi: divizori ai termenului liber; raționale $\frac{p}{q}$ : $p ∣ a_{0}$ , $q ∣ a_{n}$ .
Coeficienți reali: rădăcinile nereale apar în perechi conjugate $a \pm bi$ .
Coeficienți raționali: rădăcinile de forma $a + b d$ apar împreună cu $a - b d$ .
Bipătrate: $t = x^{2}$ . Reciproce (gradul 4): $t = x + \frac{1}{x}$ . Binome: $x^{n} = a$ , cu $n$ rădăcini complexe.
În $Z_{p} [X]$ : încerci toate clasele; gradul 2 sau 3 fără rădăcini $\Rightarrow$ ireductibil.

Rădăcini întregi și raționale

2 min

Proprietate. Dacă $f = a_{n} X^{n} + \dots + a_{0} \in Z [X]$ și $\frac{p}{q}$ (cu $(p, q) = 1$ ) este rădăcină, atunci $p ∣ a_{0}$ și $q ∣ a_{n}$ . În particular, o rădăcină întreagă divide $a_{0}$ .

Exercițiu de tip BAC: rădăcini întregi

Rezolvați în $R$ ecuația $x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = 0$ .

Candidații întregi: divizorii lui 6. $f (1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ , deci 1 este rădăcină.

Horner cu $a = 1$ pe coeficienții $1, - 2, - 5, 6$ : $1, - 1, - 6, 0$ , deci $f = (X - 1) (X^{2} - X - 6) = (X - 1) (X - 3) (X + 2)$ .

Soluțiile: $x \in {- 2, 1, 3}$ .

Rădăcini conjugate

6 min 2 întrebări la final

Proprietate. Dacă $f \in R [X]$ și $z = a + bi$ , $b \neq = 0$ , este rădăcină, atunci $\overset{z}{ˉ} = a - bi$ este rădăcină (cu același ordin de multiplicitate), iar $X^{2} - 2 a X + a^{2} + b^{2}$ divide $f$ .

Proprietate. Dacă $f \in Q [X]$ și $a + b d$ este rădăcină ( $a, b \in Q$ , $b \neq = 0$ , $d \in / Q$ ), atunci și $a - b d$ este rădăcină.

Exercițiu de tip BAC: rădăcină complexă dată

Determinați $a, b \in R$ pentru care $1 + i$ este rădăcină a lui $f = X^{3} + a X + b$ .

Coeficienții sunt reali, deci și $1 - i$ este rădăcină. Fie $x_{3}$ a treia rădăcină. Din Viète, $S_{1} = 0$ : $(1 + i) + (1 - i) + x_{3} = 0$ , deci $x_{3} = - 2$ .

$(X - 1 - i) (X - 1 + i) = X^{2} - 2 X + 2$ , deci $f = (X + 2) (X^{2} - 2 X + 2) = X^{3} - 2 X + 4$ .

Prin identificare: $a = - 2$ , $b = 4$ .

BAC 2023, sesiunea august, varianta 7, II.2.c (rădăcină irațională)

$f = X^{4} + 2 X^{3} - 8 X^{2} + 3 m X + m$ . Determinați numărul rațional $m$ pentru care $f$ are rădăcina $x_{1} = 1 + 3$ .

Pentru $m$ rațional, $f$ are coeficienți raționali, deci și $x_{2} = 1 - 3$ este rădăcină. Fie $x_{3}, x_{4}$ celelalte rădăcini. Din Viète, $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = - 2$ și $S_{2} = - 8$ ; cum $x_{1} + x_{2} = 2$ și $x_{1} x_{2} = - 2$ :

x_{3} + x_{4} = - 4, x_{1} x_{2} + (x_{1} + x_{2}) (x_{3} + x_{4}) + x_{3} x_{4} = - 8 \Rightarrow - 2 - 8 + x_{3} x_{4} = - 8 \Rightarrow x_{3} x_{4} = 2.

Atunci $m = x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} = - 2 \cdot 2 = - 4$ și se verifică (rădăcinile sunt $1 \pm 3$ și $- 2 \pm 2$ ), deci $m = - 4$ , care convine.

Barem oficial: conjugata $1 - 3$ și relațiile lui Viète 2p; $x_{3} + x_{4} = - 4$ , $x_{3} x_{4} = 2$ și $m = - 4$ 3p.

Determină a, b reali dacă X³ + aX + b are rădăcina 1 + i.

Ce rădăcini reale are x³ = 8?

Ecuații binome, bipătrate, reciproce

6 min

Binome: $x^{n} = a$ , $a \in C^{*}$ . Dacă $a = r (cos t + i sin t)$ , soluțiile sunt

x_{k} = n r (cos \frac{t + 2 k π}{n} + i sin \frac{t + 2 k π}{n}), k = 0, 1, \dots, n - 1.

Exemplu: $x^{3} = 8$ , cu $8 = 8 (cos 0 + i sin 0)$ , are soluțiile

x_{0} = 2, x_{1} = 2 (cos \frac{2 π}{3} + i sin \frac{2 π}{3}) = - 1 + i 3, x_{2} = 2 (cos \frac{4 π}{3} + i sin \frac{4 π}{3}) = - 1 - i 3 .

Soluțiile lui x³ = 8 împart cercul în trei

Toate soluțiile au modulul 2, deci stau pe cercul de rază 2. Argumentele lor diferă prin 2π/3, așa că împart cercul în trei arce egale.

Bipătrate: $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ ; cu $t = x^{2}$ obții $a t^{2} + b t + c = 0$ , apoi $x = \pm t$ (în $C$ , și pentru $t < 0$ ).

Reciproce de gradul 4: $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + b x + a = 0$ , $a \neq = 0$ . Cum $x = 0$ nu e soluție, împarți la $x^{2}$ :

a (x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}) + b (x + \frac{1}{x}) + c = 0, t = x + \frac{1}{x}, x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = t^{2} - 2.

Reciproca de gradul 3 $a x^{3} + b x^{2} + b x + a = 0$ are rădăcina $x = - 1$ și se reduce la gradul 2 cu Horner.

Exercițiu de tip BAC: ecuație reciprocă

Rezolvați $x^{4} - 5 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ .

$x = 0$ nu este soluție. Împărțim la $x^{2}$ : $(x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}) - 5 (x + \frac{1}{x}) + 8 = 0$ .

Cu $t = x + \frac{1}{x}$ : $t^{2} - 2 - 5 t + 8 = 0 ⟺ t^{2} - 5 t + 6 = 0 ⟺ t \in {2, 3}$ .

$x + \frac{1}{x} = 2 ⟺ (x - 1)^{2} = 0 ⟺ x = 1$ (rădăcină dublă).

$x + \frac{1}{x} = 3 ⟺ x^{2} - 3 x + 1 = 0$ , cu $Δ = 5$ .

x = \frac{3 \pm 5}{2}, S = {1, \frac{3 - 5}{2}, \frac{3 + 5}{2}} .

Exercițiu de tip BAC: ecuație bipătrată

$x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ . Cu $t = x^{2}$ : $t^{2} - 5 t + 4 = 0$ , $t \in {1, 4}$ , deci $x \in {- 2, - 1, 1, 2}$ .

Polinoame cu coeficienți în ℤₚ

5 min o întrebare la final

În $Z_{p} [X]$ se calculează cu clase de resturi. Fiind doar $p$ valori, rădăcinile se găsesc încercând toate clasele. Un polinom de gradul 2 sau 3 fără rădăcini în $Z_{p}$ este ireductibil peste $Z_{p}$ .

Exemplu: $f = X^{3} + X + \hat{1} \in Z_{5} [X]$ are $f (\hat{0}) = \hat{1}$ , $f (\hat{1}) = \hat{3}$ , $f (\hat{2}) = \hat{1}$ , $f (\hat{3}) = \hat{1}$ , $f (\hat{4}) = \hat{4}$ : nicio rădăcină, deci $f$ este ireductibil peste $Z_{5}$ .

BAC 2021, model, II.2.c

În $Z_{3} [X]$ : $f = X^{4} + a X^{3} + \hat{2} X + b$ . Arătați că, pentru orice $a, b \in Z_{3}$ , există $x, y \in Z_{3}$ , $x \neq = y$ , cu $f (x) = f (y)$ .

$f (\hat{0}) = b$ , $f (\hat{1}) = \hat{1} + a + \hat{2} + b = a + b$ , $f (\hat{2}) = \hat{1} + \hat{2} a + \hat{1} + b = \hat{2} + \hat{2} a + b$ .

Suma: $f (\hat{0}) + f (\hat{1}) + f (\hat{2}) = \hat{3} a + \hat{3} b + \hat{2} = \hat{2}$ , pentru orice $a, b \in Z_{3}$ .

Dacă $f (\hat{0}), f (\hat{1}), f (\hat{2})$ ar fi distincte două câte două, ar fi exact $\hat{0}, \hat{1}, \hat{2}$ într-o ordine oarecare, cu suma $\hat{0} + \hat{1} + \hat{2} = \hat{0} \neq = \hat{2}$ . Contradicție, deci există $x \neq = y$ cu $f (x) = f (y)$ .

Barem oficial: suma $\hat{2}$ 3p, argumentul 2p.

Are X³ + X + 1̂ rădăcini în ℤ₅?

Ce se cere la BAC

4 mincum apare la examen

Model 2021, II.2.c (în $Z_{3} [X]$ ): argumentul cu suma valorilor, răspuns de barem $f (\hat{0}) + f (\hat{1}) + f (\hat{2}) = \hat{2}$ .
August 2023, v7, II.2.c: rădăcina $1 + 3$ cu $m$ rațional aduce conjugata $1 - 3$ ; răspuns $m = - 4$ (2p + 3p). La b), pentru $m = 0$ : $f = X^{2} (X^{2} + 2 X - 8)$ , rădăcinile $0, 0, - 4, 2$ .
Iunie 2026 rezervă, v7, II.2.c: $f = X^{4} - X^{3} + a X^{2} + b X - 6$ , cu $a, b$ naturale și două rădăcini opuse $x_{1}$ , $- x_{1}$ . Din $f (x_{1}) + f (- x_{1}) = 0$ și $f (x_{1}) - f (- x_{1}) = 0$ : $x_{1}^{4} + a x_{1}^{2} - 6 = 0$ și $x_{1}^{3} - b x_{1} = 0$ ; cum $x_{1} \neq = 0$ ( $f (0) = - 6$ ), $x_{1}^{2} = b$ și $b (a + b) = 6$ , deci $(a, b) \in {(1, 2), (5, 1)}$ (2p + 3p).
Iulie 2024, v10, II.2.c: $f = X^{3} - 2 X^{2} - a X + 2 a = (X - 2) (X^{2} - a)$ ; pentru $a > 0$ rădăcinile sunt $2, \pm a$ , iar $∣ x_{1} ∣ + ∣ x_{2} ∣ + ∣ x_{3} ∣ = 2 + 2 a = 8$ dă $a = 9$ .
Cerințe tipice: „Rezolvați în mulțimea numerelor complexe ecuația…”, „Determinați $a, b$ știind că $1 + i$ este rădăcină”, „Arătați că $f$ nu are rădăcini raționale / în $Z_{5}$ ”.

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Rădăcini conjugate folosite fără să spui că polinomul are coeficienți reali (raționali).
Împărțire la $x^{2}$ fără a verifica că $x = 0$ nu e soluție.
Bipătrata în $R$ cu $t < 0$ păstrat (nu dă soluții reale) sau, invers, pierdut în $C$ .
În $Z_{p}$ , calcule nereduse: $\hat{2}^{4} = 16 = \hat{1}$ în $Z_{3}$ .
Binoma cu o singură soluție: $x^{n} = a$ are $n$ soluții în $C$ .

Termeni-cheie

Rădăcini întregi: Dacă f are coeficienți întregi și k ∈ ℤ este rădăcină, atunci k divide termenul liber a₀.
Rădăcini raționale: Dacă p/q (fracție ireductibilă) este rădăcină a lui f cu coeficienți întregi, atunci p divide a₀ și q divide aₙ.
Rădăcini complexe conjugate: Dacă f are coeficienți reali și a + bi (b ≠ 0) este rădăcină, atunci și a − bi este rădăcină, cu același ordin de multiplicitate.
Rădăcini iraționale conjugate: Dacă f are coeficienți raționali și a + b√d este rădăcină (a, b ∈ ℚ, b ≠ 0, √d ∉ ℚ), atunci și a − b√d este rădăcină.
Ecuație binomă: xⁿ = a, a ∈ ℂ*; are n rădăcini complexe distincte, obținute din forma trigonometrică a lui a.
Ecuație bipătrată: ax⁴ + bx² + c = 0; cu t = x² devine o ecuație de gradul 2.
Ecuație reciprocă: Coeficienții egal depărtați de extremi sunt egali; la gradul 4 se împarte la x² și se notează t = x + 1/x.
Polinoame în ℤₚ[X]: Rădăcinile se caută încercând toate cele p clase; un polinom de gradul 2 sau 3 fără rădăcini în ℤₚ este ireductibil.

Notițele mele

Salvat local

Surse

Programa de examen Matematică M_mate-info, Bacalaureat 2015 (Anexa 2 la OMEN 4430/2014), clasa a XII-a, Inele de polinoame
BAC 2021, model, Subiectul al II-lea, 2.c (subiect și barem)
BAC 2023, sesiunea august, varianta 7, Subiectul al II-lea, 2 (subiect și barem)
BAC 2026, sesiunea iunie-iulie, rezervă (varianta 7), Subiectul al II-lea, 2.c
BAC 2024, sesiunea iunie-iulie, varianta 10, Subiectul al II-lea, 2.c