Funcția integrală F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt și limite cu integrale

Teorema de existență a primitivelor unei funcții continue, derivata unei integrale cu limita superioară variabilă (și cu limite u(x), v(x)), primitiva cu o condiție dată, monotonia funcției integrale și limitele calculate cu regula lui l'Hôpital.

24 min
La BAC: Subiectul al III-lea (2)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Pentru f continuă, F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt este derivabilă și F′(x) = f(x); în plus F(a) = 0.
Truc: Derivata „înghite” integrala: rămâne f, evaluată în capătul de sus.
02
Cu limite variabile: (∫ de la u(x) la v(x) f(t) dt)′ = f(v(x))·v′(x) − f(u(x))·u′(x).
03
Primitiva care se anulează în a este ∫ₐˣ f(t) dt: o calculezi cu Leibniz–Newton.
04
Limitele de tipul (∫₀ˣ f(t) dt)/xⁿ, când x → 0, se fac cu l'Hôpital: derivata numărătorului este f(x).
05
Monotonia lui F se citește din semnul lui f, fără a calcula integrala.

1 din 7

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

Teorema de existență a primitivelor: dacă $f$ este continuă pe intervalul $I$ și $a \in I$ , atunci $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ este o primitivă a lui $f$ , cu $F (a) = 0$ .
$(\int_{u (x)}^{v (x)} f (t) d t)^{'} = f (v (x)) v^{'} (x) - f (u (x)) u^{'} (x)$ .
Primitiva lui $f$ care se anulează în $a$ este $\int_{a}^{x} f (t) d t$ .
Limitele de tip $\frac{0}{0}$ cu integrale: regula lui l'Hôpital, derivând integrala cu formula de mai sus.

Teorema de existență a primitivelor

3 min

Teoremă. Fie $f : I \to R$ continuă pe intervalul $I$ și $a \in I$ . Funcția

F : I \to R, F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

este derivabilă pe $I$ , $F^{'} (x) = f (x)$ pentru orice $x \in I$ , și $F (a) = 0$ . Așadar orice funcție continuă pe un interval admite primitive.

Idee: din teorema de medie, $F (x + h) - F (x) = \int_{x}^{x + h} f (t) d t = h f (c_{h})$ cu $c_{h}$ între $x$ și $x + h$ ; când $h \to 0$ , $f (c_{h}) \to f (x)$ (continuitate).

Aria care crește odată cu x

x = 3

Pentru f(t) = arctg t, aria colorată este F(x), integrala de la 0 la x. Când x crește cu puțin, aria crește cu o fâșie de înălțime f(x): de aici F′(x) = f(x).

Cu limite funcții de $x$ . Dacă $f$ este continuă, iar $u, v$ sunt derivabile, cu valori în $I$ , atunci, din $\int_{u (x)}^{v (x)} f (t) d t = F (v (x)) - F (u (x))$ :

(\int_{u (x)}^{v (x)} f (t) d t)^{'} = f (v (x)) v^{'} (x) - f (u (x)) u^{'} (x) .

Primitiva cu o condiție dată

2 min

BAC august 2021, varianta 4, III.2.c (prima parte)

Funcția $f : R \to R$ (aceeași ca la a și b) și $G$ , primitiva lui $f$ cu $G (0) = 0$ :

G (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t = \int_{0}^{x} (1 + \frac{2 t}{t ^{4} + 1}) d t = (t + arctg (t^{2}))_{0}^{x} = x + arctg (x^{2}), x \in R .

(S-a folosit faptul că derivata lui $arctg (t^{2})$ este $2 t$ împărțit la $1 + t^{4}$ .) Barem oficial: această scriere 2p; restul punctului c) este integrarea prin părți (lecția dedicată).

Derivate și monotonie pentru funcții integrale

3 min o întrebare la final

Exercițiu de tip BAC: derivata și monotonia

a) $F : (0, + \infty) \to R$ , $F (x) = \int_{1}^{x^{2}} ln t d t$ . Cu $v (x) = x^{2}$ :

F^{'} (x) = ln (x^{2}) \cdot 2 x = 4 x ln x .

$F^{'} (x) < 0$ pe $(0, 1)$ și $F^{'} (x) > 0$ pe $(1, + \infty)$ , deci $F$ are minim în $x = 1$ , unde $F (1) = \int_{1}^{1} ln t d t = 0$ .

b) $H (x) = \int_{0}^{x} (t^{2} - 1) e^{- t^{2}} d t$ , $x \in R$ . $H^{'} (x) = (x^{2} - 1) e^{- x^{2}}$ , cu semnul lui $x^{2} - 1$ : $H$ este crescătoare pe $(- \infty, - 1]$ și pe $[1, + \infty)$ , descrescătoare pe $[- 1, 1]$ .

Unde e descrescătoare F(x) = ∫₀ˣ (t² − 1)·e^(−t²) dt?

Limite cu integrale

9 min 2 întrebări la final

Când numărătorul este o integrală care tinde la 0 (sau la $\pm \infty$ ), se aplică regula lui l'Hôpital; derivata integralei se scrie cu formula de mai sus.

Exercițiu de tip BAC: limite de tip 0/0

a) Pentru $x \to 0$ , $\int_{0}^{x} t^{2} e^{t} d t \to 0$ și $x^{3} \to 0$ :

x \to 0 lim \frac{\int _{0}^{x} t ^{2} e ^{t} d t}{x ^{3}} = x \to 0 lim \frac{x ^{2} e ^{x}}{3 x ^{2}} = x \to 0 lim \frac{e ^{x}}{3} = \frac{1}{3} .

b) Cu limita superioară $x^{2}$ :

x \to 0 lim \frac{\int _{0}^{x^{2}} ln ( 1 + t ) d t}{x ^{4}} = x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x ^{2} ) \cdot 2 x}{4 x ^{3}} = x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x ^{2} )}{2 x ^{2}} = \frac{1}{2} .

BAC 2023, sesiunea iunie-iulie, varianta 1, III.2.c

$f (x) = (x^{2} + 2 x) e^{- x}$ . Demonstrați că $x \to 0 lim \frac{1}{x ^{2}} \int_{0}^{x} f (t) d t = 1$ .

Numărătorul și numitorul tind la 0, iar $f$ este continuă; cu regula lui l'Hôpital:

x \to 0 lim \frac{\int _{0}^{x} f ( t ) d t}{x ^{2}} = x \to 0 lim \frac{f ( x )}{2 x} = x \to 0 lim \frac{( x + 2 ) e ^{- x}}{2} = 1.

Barem oficial: derivarea numărătorului și a numitorului 2p; calculul limitei 3p.

BAC 2026, sesiunea iunie-iulie, varianta 3, III.2.c

$f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x l n x}$ pe $(1, + \infty)$ , $F$ primitiva lui $f$ cu $F (2) = 0$ . Arătați că $x \to 2 lim \frac{1}{F ^{2} ( x )} \int_{2}^{x} (t - 2) F (t) d t = \frac{l n 2}{4}$ .

Ambele părți ale fracției tind la 0. Aplicăm regula lui l'Hôpital, cu $(F^{2})^{'} = 2 F f$ :

x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) F ( x )}{2 F ( x ) f ( x )} = x \to 2 lim \frac{x - 2}{2 f ( x )} = x \to 2 lim \frac{x ln x}{2 ( x + 2 )} = \frac{2 ln 2}{8} = \frac{ln 2}{4} .

(Fracția are sens: $F^{'} = f < 0$ pe $(1, 2)$ și $F^{'} = f > 0$ pe $(2, + \infty)$ , iar $F (2) = 0$ , deci $F (x) > 0$ pentru $x \neq = 2$ . La ultimul pas, $\frac{x - 2}{x ^{2} - 4} = \frac{1}{x + 2}$ .) Barem oficial: l'Hôpital 3p; limita 2p.

Exercițiu de tip BAC: limită de tip ∞/∞

Pentru $t \geq 1$ , $arctg t \geq \frac{π}{4}$ , deci $\int_{0}^{x} arctg t d t \to + \infty$ când $x \to + \infty$ . Cu l'Hôpital:

x \to + \infty lim \frac{1}{x} \int_{0}^{x} arctg t d t = x \to + \infty lim arctg x = \frac{π}{2} .

Cât este limita, când x → 0, din (1/x³)·∫₀ˣ t²·eᵗ dt?

Ce valoare are F(a) pentru F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt?

Ce se cere la BAC

4 mincum apare la examen

August 2021, III.2.c: primitiva $G$ cu $G (0) = 0$ se scrie $G (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t = x + arctg (x^{2})$ , apoi se calculează $\int_{0}^{1} x G (x) d x = \frac{1}{3} + \frac{π}{8} - \frac{1}{4} ln 2$ .
Limita cu integrală este cel mai frecvent punct c) de la III.2 în 2023–2026: model 2023 ( $lim \frac{1}{e ^{a x} - 1} \int_{0}^{x} f = \frac{1}{2 a} = 1$ , $a = \frac{1}{2}$ ), iunie 2023 (1), specială 2023 ( $\frac{1}{6}$ ), august 2024 ( $lim \frac{1}{x ^{3}} \int_{0}^{x} (f (2 t) - f (t)) d t = 6$ ), august 2025 (1, cu l'Hôpital de două ori), model 2026 (0, cu primitiva $F$ , $F (0) = 0$ ), iunie 2026 ( $\frac{l n 2}{4}$ ). Baremul dă de regulă 2p–3p pe aplicarea regulii lui l'Hôpital (derivata integralei scrisă) și restul pe calculul limitei.
Cerințe tipice: „Arătați că funcția $F (x) = \int_{a}^{x} \dots$ este crescătoare”, „Calculați limita în 0 a lui $\frac{1}{x} \int_{0}^{x} \dots$ ”, „Determinați primitiva care trece prin punctul…”.

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Derivata scrisă în $t$ în loc de $x$ .
Factorul $v^{'} (x)$ uitat când limita superioară este $x^{2}$ , $sin x$ etc.
L'Hôpital fără verificarea nedeterminării sau fără continuitatea lui $f$ .
Constanta greșită la primitiva cu condiție: verifici la final $G (a)$ .

Termeni-cheie

Funcția integrală: Pentru f continuă pe intervalul I și a ∈ I: F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, x ∈ I.
Teorema de existență a primitivelor: Dacă f este continuă pe I, atunci F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt este derivabilă, F′ = f și F(a) = 0: F este primitiva lui f care se anulează în a.
Derivata cu limite variabile: Pentru f continuă și u, v derivabile: (∫ de la u(x) la v(x) din f(t) dt)′ = f(v(x))·v′(x) − f(u(x))·u′(x).
Primitiva cu G(a) = 0: Este unică pe un interval și se scrie G(x) = ∫ₐˣ f(t) dt.
Limită de tip 0/0 cu integrală: Pentru f continuă, lim când x → 0 din (1/x)·∫₀ˣ f(t) dt este f(0) (regula lui l'Hôpital).
Variabila de integrare: În ∫ₐˣ f(t) dt, t este variabila „mută”, iar x este capătul; rezultatul depinde doar de x.

Notițele mele

Salvat local

Surse

Programa de examen Matematică M_mate-info, Bacalaureat 2015 (Anexa 2 la OMEN 4430/2014), clasa a XII-a, Integrala definită
BAC 2021, sesiunea august, varianta 4, Subiectul al III-lea, 2.c (subiect și barem)
BAC 2023, sesiunea iunie-iulie, varianta 1, Subiectul al III-lea, 2.c (subiect și barem)
BAC 2026, sesiunea iunie-iulie, varianta 3, Subiectul al III-lea, 2.c (subiect și barem)
BAC 2023 model/specială, 2024 august, 2025 august, 2026 model: Subiectul al III-lea, 2.c