Rangul unei matrice și compatibilitatea sistemelor (Kronecker–Capelli, Rouché, Gauss)

Rangul cu minori, minorul principal și minorii caracteristici, proprietatea Kronecker–Capelli, proprietatea Rouché, sistemele compatibile nedeterminate cu necunoscute secundare și metoda eliminării a lui Gauss.

28 min
La BAC: Subiectul al II-lea (1)
Verificat pe bareme

Ilustrație generată pentru ZECE (artistică, nu o planșă științifică: pentru detalii exacte vezi schemele din lecție).

ții minte doar fișa asta și ești acoperit

Fișa de aur

01
Rang = ordinul celui mai mare minor nenul. Pentru o matrice pătratică de ordin 3: rang 3 ⇔ det ≠ 0.
02
Rang 2 pentru o matrice 3×3: det = 0 și un minor de ordin 2 nenul (amândouă trebuie scrise).
Truc: „Mare zero, mic nenul.”
03
Kronecker–Capelli: sistem compatibil ⇔ rang A = rang Ā.
04
Rouché: alegi minorul principal, bordezi cu linia secundară și coloana termenilor liberi; compatibil ⇔ toți minorii caracteristici sunt 0.
05
Compatibil și rang mai mic decât nr. necunoscute ⇒ nedeterminat: necunoscutele secundare devin parametri (α, β).
06
Gauss: faci zerouri sub diagonală cu operații pe linii, apoi rezolvi de jos în sus.

1 din 7

Pe scurt

2 minesențialul, de recitit oricând

Culorile din lecție:termenidee-cheie

Rang: ordinul maxim al unui minor nenul. Pentru matrice pătratică de ordin $n$ : rang $n \Leftrightarrow det \neq = 0$ .
Rang 2 la o 3×3: $det A = 0$ și un minor de ordin 2 nenul.
Kronecker–Capelli: compatibil $\Leftrightarrow rang A = rang \overset{ˉ}{A}$ .
Rouché: compatibil $\Leftrightarrow$ toți minorii caracteristici sunt nuli.
Compatibil cu rang mai mic decât numărul de necunoscute: compatibil nedeterminat, cu necunoscute secundare ca parametri.
Gauss: eliminare pe linii până la forma triunghiulară.

Rangul unei matrice

4 min

Pentru $A \in M_{m, n} (C)$ , un minor de ordin k este determinantul format cu elementele de la intersecția a $k$ linii și $k$ coloane.

Definiție. Matricea nenulă $A$ are rangul r dacă are cel puțin un minor nenul de ordin $r$ , iar toți minorii de ordin mai mare decât $r$ (dacă există) sunt nuli. Matricea nulă are rangul 0. Rangul nu depășește $min (m, n)$ .

Exemplul 1. Rangul unei matrice 3×3

$A = 121240361$ . A doua linie este dublul primei, deci $det A = 0$ și rangul este cel mult 2.

Minorul $1120 = 0 - 2 = - 2 \neq = 0$ (liniile 1 și 3, coloanele 1 și 2), deci $rang A = 2$ .

Un minor nenul de ordin 2

det A = 0, deci rangul e mai mic decât 3. Minorul evidențiat (liniile 1 și 3, coloanele 1 și 2) este −2, nenul, deci rang A = 2.

Model BAC 2020, II.1.a–b. Rangul unei matrice cu parametru

$A (a) = a a 1 24 - 1 11 a$ .

a) $det (A (1)) = 111 24 - 1 111 = 4 + (- 1) + 2 - 4 - (- 1) - 2 = 0$ .

b) $det (A (a)) = 2 (a^{2} - 1)$ , pentru orice $a$ real (2p). Minorul $2411 = 2 - 4 = - 2 \neq = 0$ , deci $rang A (a) \geq 2$ pentru orice $a$ ; rangul este 2 $\Leftrightarrow det (A (a)) = 0$ , de unde a = −1 sau a = 1 (3p).

Compatibilitatea: Kronecker–Capelli și Rouché

8 min 3 întrebări la final

Fie un sistem $A X = B$ cu $m$ ecuații și $n$ necunoscute, $\overset{ˉ}{A}$ matricea extinsă și $r = rang A$ .

Proprietatea Kronecker–Capelli. Sistemul este compatibil $\Leftrightarrow rang A = rang \overset{ˉ}{A}$ .

Minorul principal $Δ_{p}$ este un minor nenul de ordin $r$ al lui $A$ . Ecuațiile și necunoscutele ale căror coeficienți intră în $Δ_{p}$ se numesc principale; celelalte, secundare.

Minorii caracteristici se obțin bordând $Δ_{p}$ cu o linie formată din coeficienții necunoscutelor principale dintr-o ecuație secundară (și termenul ei liber) și cu coloana termenilor liberi corespunzători. Sunt atâția câte ecuații secundare există, adică $m - r$ .

Proprietatea Rouché. Sistemul este compatibil $\Leftrightarrow$ toți minorii caracteristici sunt nuli. (Dacă $r = m$ , nu există minori caracteristici și sistemul este compatibil.)

Algoritmul de discuție:

Determinantul
Dacă sistemul e pătratic și $Δ \neq = 0$ : compatibil determinat, Cramer.
Minorul principal
Dacă $Δ = 0$ , alegi $Δ_{p}$ nenul de ordin maxim: îți dă rangul.
Minorii caracteristici
Îi calculezi; dacă unul e nenul, sistemul este incompatibil.
Rezolvarea
Dacă toți sunt nuli, păstrezi ecuațiile principale, muți necunoscutele secundare în membrul drept ca parametri și rezolvi (Cramer pe minorul principal).

Dacă sistemul e compatibil și $r = n$ : compatibil determinat; dacă $r < n$ : compatibil nedeterminat, cu $n - r$ parametri.

Discuția unui sistem, ca arbore

Citești arborele de sus în jos, la fel ca algoritmul de mai sus. Sistemul e compatibil exact când toți minorii caracteristici sunt nuli.

Exemplul 2. Discuție după un parametru

Discutați sistemul $x + y + z = 1$ , $x + 2 y + 3 z = 2$ , $x + 3 y + 5 z = m$ .

$Δ = 111123135 = 1 \cdot (10 - 9) - 1 \cdot (5 - 3) + 1 \cdot (3 - 2) = 0$ . Minor principal $Δ_{p} = 1112 = 1 \neq = 0$ , deci $rang A = 2$ ; a treia ecuație este secundară.

Δ_{c} = 111123 12 m = m - 3

$m \neq = 3$ : $Δ_{c} \neq = 0$ , sistem incompatibil.
$m = 3$ : sistem compatibil nedeterminat. Cu $z = α$ : $x + y = 1 - α$ , $x + 2 y = 2 - 3 α$ , de unde $y = 1 - 2 α$ , $x = α$ . Soluțiile: $(α, 1 - 2 α, α)$ , $α \in R$ .

Verificare în ecuația a treia: $α + 3 - 6 α + 5 α = 3$ .

Ce spune proprietatea Kronecker–Capelli?

Când e compatibil nedeterminat un sistem compatibil?

Ce este un minor caracteristic?

Metoda Gauss (eliminarea)

5 min

Pe matricea extinsă se fac transformări elementare pe linii: schimbarea a două linii, înmulțirea unei linii cu un număr nenul, adunarea la o linie a unui multiplu al alteia. Ele nu schimbă mulțimea soluțiilor. Scopul: zerouri sub diagonală (formă triunghiulară), apoi rezolvarea de jos în sus. O linie de forma $(000 ∣ c)$ cu $c \neq = 0$ arată că sistemul este incompatibil.

Exemplul 3. Metoda Gauss

⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y - z = 2 2 x + y + z = 7 3 x - y + 2 z = 7 123 21 - 1 - 1 12 277 L_{2} - 2 L_{1} L_{3} - 3 L_{1} 100 2 - 3 - 7 - 1 35 231

Din linia a 2-a: $- 3 y + 3 z = 3$ , adică $z = y + 1$ . Înlocuind în linia a 3-a: $- 7 y + 5 y + 5 = 1$ , deci $y = 2$ , $z = 3$ , iar din prima ecuație $x = 2 - 4 + 3 = 1$ .

Soluția: $(1, 2, 3)$ .

Itemi oficiali recenți

6 min

BAC 2026, august, varianta 4, II.1.b. Compatibil nedeterminat (Rouché)

$A (a) = 121 a - 1 - a - 2 a - a 0$ , sistemul $x + a y - 2 a z = - 1$ , $2 x - y - a z = a$ , $x - a y = a$ . Pentru $a = 1$ , arătați că sistemul are o infinitate de soluții.

Pentru $a = 1$ : $x + y - 2 z = - 1$ , $2 x - y - z = 1$ , $x - y = 1$ , iar $det (A (1)) = 0$ (2p).

Δ_{p} = 12 1 - 1 = - 3 \neq = 0, Δ_{c} = 121 1 - 1 - 1 - 1 11 = 0

Singurul minor caracteristic este nul, deci sistemul este compatibil (Rouché); rangul 2 este mai mic decât numărul de necunoscute, deci sistemul are o infinitate de soluții (3p). Explicit: $(α, α - 1, α)$ , $α \in R$ . Aceeași structură are 2025 august, II.1.b ( $a = 1$ , o infinitate de soluții).

Model BAC 2026, II.1.c. Soluția generală, apoi o inegalitate

$A (a) = a 12 011 - 2 1 - a - 2$ , sistemul $a x - 2 z = 4$ , $x + y + (1 - a) z = 3$ , $2 x + y - 2 z = 5$ . Pentru $a = 2$ , arătați că $x_{0} z_{0} + y_{0} \geq 0$ , pentru orice soluție $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ cu elemente reale.

Pentru $a = 2$ , $det (A (2)) = 0$ ; din $2 x - 2 z = 4$ și $x + y - z = 3$ rezultă $x = z + 2$ și $y = 1$ , iar a treia ecuație se verifică. Soluțiile sunt $(α, 1, α - 2)$ , $α \in R$ (3p). Atunci $x_{0} z_{0} + y_{0} = α (α - 2) + 1 = (α - 1)^{2} \geq 0$ (2p).

Toți determinanții și soluțiile de mai sus au fost verificate prin calcul exact și substituție.

Ce se cere la BAC

3 mincum apare la examen

„Determinați a pentru care A(a) are rangul 2” (model 2020, II.1.b): $det (A (a)) = 0$ și un minor de ordin 2 nenul; răspuns $a \in {- 1, 1}$ .
„Determinați m pentru care sistemul este compatibil”: $Δ = 0$ , minor principal, minor caracteristic egal cu 0.
„Pentru a = 1, arătați că sistemul are o infinitate de soluții” (2026 august, 2025 august, II.1.b): $det = 0$ , minor principal nenul, minorul caracteristic nul.
„Rezolvați sistemul pentru a = ...” când $Δ = 0$ : soluția generală cu parametru.
Sisteme omogene: soluții nenule $\Leftrightarrow Δ = 0$ (lecția despre Cramer).

Greșeli care costă puncte

1 mincapcanele de evitat

Rang 2 fără minor de ordin 2 scris explicit.
Minorul caracteristic format cu o coloană de coeficienți în loc de coloana termenilor liberi.
„Δ = 0 ⇒ incompatibil”: fals; poate fi și compatibil nedeterminat.
Soluția generală fără parametru declarat ( $α \in R$ ).
La Gauss: transformări pe coloane amestecate cu cele pe linii.

Termeni-cheie

Minor de ordin k: Determinantul format cu elementele aflate la intersecția a k linii și k coloane ale matricei.
Rangul unei matrice: Numărul r cu proprietatea că matricea are un minor nenul de ordin r, iar toți minorii de ordin mai mare decât r (dacă există) sunt nuli; rang O = 0.
Rang maxim la matrice pătratică: Pentru A ∈ Mn(C): rang A = n ⇔ det A ≠ 0.
Minor principal: Un minor nenul al matricei sistemului, de ordin egal cu rangul ei; dă ecuațiile și necunoscutele principale.
Minor caracteristic: Minorul obținut bordând minorul principal cu linia unei ecuații secundare (coeficienții necunoscutelor principale și termenul liber) și cu coloana termenilor liberi.
Proprietatea Kronecker–Capelli: Un sistem liniar este compatibil dacă și numai dacă rang A = rang Ā.
Proprietatea Rouché: Un sistem liniar este compatibil dacă și numai dacă toți minorii caracteristici sunt nuli.
Necunoscute secundare: Necunoscutele care nu intră în minorul principal; în sistemul compatibil nedeterminat iau valori arbitrare (parametri).
Metoda Gauss: Transformări elementare pe liniile matricei extinse până la o formă triunghiulară (eșalon), apoi rezolvare de jos în sus.
Transformări elementare pe linii: Schimbarea a două linii, înmulțirea unei linii cu un număr nenul, adunarea la o linie a unui multiplu al altei linii.

Notițele mele

Salvat local